64-ma’ruza Oshkormas funksiyalar 10. Oshkormas funksiya tushunchasi

3⁰. Oshkormas funksiyaning hosilalari. Oshkormas funksiyaning hosilasini aniqlaydigan teoremani keltiramiz.

2-teorema. Faraz qilaylik, funksiya nuqtaning biror atrofi da berilgan bо‘lib, quyidagi shartlarni bajarsin:

1. 
   da uzluksiz;
   
2. 
   da uzluksiz xususiy hosilalarga ega va ;
   
3. 
   .
   

U holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, tenglama ni ning oshkormas funksiyasi sifatida aniqlaydi va bu funksiya da uzluksiz differensial-lanuvchi bо‘lib,

bо‘ladi.

◄Teoremaning shartiga kо‘ra funksiya da uzluksiz va . Aytaylik, bо‘lsin. Uzluksiz funksiya xossasiga kо‘ra nuqtaning shunday atrofi topiladiki, da bо‘ladi. Bundan esa har bir tayin da funksiya о‘zgaruvchining funksiyai sifatida о‘suvchi bо‘lishi kelib chiqadi. U holda 1-teoremaga kо‘ra tenglama da ni ning oshkormas funksiyasi sifatida aniqlaydi va oshkormas funksiya da uzluksiz bо‘lib, bо‘ladi.

Aytaylik, bо‘lsin. Ravshanki,

bо‘lib,

(4)

bо‘ladi.

Teoremaning shartidan funksiyaning nuqtada differensialanuvchi bо‘lishi kelib chiqadi. Binobarin,

(5)

bо‘lib, da bо‘ladi.

(4) va (5) munosabatlardan topamiz:

.

Keyingi tenglikda da limitga о‘tsak, unda

hosil bо‘ladi.

da xususiy hosilalar uzluksiz va bо‘lishidan oshkormas funksiyaning hosilasi

ning da uzluksiz bо‘lishi kelib chiqadi.►