64-ma’ruza Oshkormas funksiyalar 10. Oshkormas funksiya tushunchasi

2⁰. Oshkormas funksiyaning mavjudligi.

1-teorema. Faraz qilaylik, funksiya nuqtaning biror atrofi

da berilgan bо‘lib, quyidagi shartlarni bajarsin:

1. 
   funksiya da uzluksiz;
   
2. 
   Har bir tayin da о‘zgaruvchining funksiyasi sifatida о‘suvchi;
   
3. 
   .
   

U holda nuqtaning shunday atrofi

topiladiki,

a) da

tenglama yagona yechimga ega, ya’ni tenglama yordamida oshkormas funksiya aniqlanadi,

b) bо‘ladi

v) funksiya da uzluksiz bо‘ladi.

◄ atrofga tegishli bо‘lgan

nuqtalarni olib, segmentda

funksiyani qaraymiz. Teoremaning 2)-shartiga kо‘ra о‘suvchi, 3)-shartiga kо‘ra bо‘ladi. Bunda esa

,

bо‘lishi kelib chiqadi.

Teoremaning 1)-shartiga kо‘ra funksiya da uzluksiz. Unda uzluksiz funksiyaning xossasiga kо‘ra, nuqtaning shunday atrofi topiladiki, da

(3)

bо‘ladi.

Endi nuqtaning

atrofida

tenglama ni ning oshkormas funksiyasi sifatida aniqlashini kо‘rsatamiz.

Ixtiyoriy nuqtani olib, da ushbu

funksiyani qaraymiz. Ravshanki, bu funksiya segmentda uzluksiz va ayni paytda (3) munosabatga binoan

bо‘ladi. Unda Bolsano-Koshining teoremasiga kо‘ra shunday nuqta topiladiki,

bо‘ladi.

Ayni paytda, funksiya da о‘suvchi (qat’iy о‘suvchi) bо‘lganligi sababli shu oraliqqa bittadan ortiq nuqtada nolga aylanmaydi.

Shunday qilib, ixtiyoriy uchun yagona topiladiki,

bо‘ladi. Bu esa da tenglama ni ning oshkormas funksiyasi sifatida aniqlashni bildiradi:

Aytaylik, bо‘lsin. Unda teoremaning 3) shartiga kо‘ra

bо‘ladi. Binobarin, aniqlangan oshkormas funksiyaning nuqtadagi qiymati bо‘ladi.

Modomiki, uchun ga kо‘ra unga mos keladigan bо‘lar ekan, unda

bо‘ladi. Demak, oshkormas funksiya nuqtada uzluksiz.

Oshkormas funksiyaning nuqtada uzluksiz bо‘lishini kо‘rsatish bu funksiyaning nuqtada uzluksiz bо‘lishini kо‘rsatish kabidir. Demak, mavjudligi kо‘rsatilgan oshkormas funksiya da uzluksiz bо‘ladi.►