63-ma’ruza Kо‘p о‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari

63-ma’ruza

Kо‘p о‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari
1⁰. Funksiya ekstremumi tushunchasi. Zaruriy shart. Faraz qilaylik, funksiya tо‘plamda berilgan bо‘lib, bо‘lsin.

1-ta’rif. Agar shunday son topilsaki,

bо‘lib, da

bо‘lsa, funksiya nuqtada lokal maksimumga, bо‘lsa, funksiya nuqtada lokal minimumga erishadi deyiladi.

2-ta’rif. Agar shunday son topilsaki, bо‘lib, da bо‘lsa, funksiya nuqtada qat’iy lokal maksimumga, bо‘lsa, funksiya nuqtada lokal qat’iy minimumga erishadi deyiladi.

Funksiyaning lokal maksimumi, lokal minimumi umumiy nom bilan lokal ekstremumi deyiladi. Bunda nuqta funksiyaning lokal ekstremum nuqtasi, ga esa funksiyaning lokal ekstremum qiymati deyiladi.

Funksiyaning maksimum (minimum) qiymati quyidagicha belgilanadi:

Ma’lumki,

ayirma funksiyaning nuqtadagi tо‘liq orttirmasi deyilar edi.

funksiya nuqtada lokal maksimumga erishsa, unda da

bо‘ladi va aksincha.

Shuningdek, funksiya nuqtada lokal minimumga erishsa, unda da

bо‘ladi va aksincha.

1-teorema. Agar funksiya nuqtada lokal estremumga erishsa va shu nuqtada barcha

xususiy hosilalarga ega bо‘lsa, u holda

bо‘ladi.

◄Aytaylik, funksiya nuqtada lokal minimumga erishsin. U holda

da

tengsizlik bajariladi. Jumladan

bо‘ladi. Agar

deyilsa, da

bо‘lib, bir о‘zgaruvchili funksiya nuqtada lokal minimumga erishadi. Unda 25-ma’ruzada keltirilgan teoremaga kо‘ra

ya’ni

bо‘ladi.

Xuddi shunga о‘xshash

bо‘lishi isbotlanadi.►

1-eslatma. Agar funksiya biror nuqtada lokal ekstremumga erishsa va shu nuqtada differensial-lanuvchi bо‘lsa, u holda

bо‘ladi.

2-eslatma. funksiyaning biror nuqtada barcha xususiy hosilalarga ega va

bо‘lishidan berilgan funksiyaning shu nuqtada lokal estremumga erishishi har doim kelib chiqavermaydi. (misollar keyingi punktda keltiriladi).

Demak, 1-teorema funksiyaning lokal ekstremumga erishishining zaruriy shartini ifodalaydi.

funksiya xususiy hosilalarini nolga aylantiradi-gan nuqtalar uning statsionar nuqtalari deyiladi.