63-ma’ruza Kо‘p о‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari

3-teorema. Agar

(4)

kvadratik forma musbat aniqlangan, ya’ni

bо‘lsa, funksiya nuqtada lokal minimumga erishadi, agar (4) kvadratik forma manfiy aniqlangan, ya’ni

bо‘lsa, funkuiya nuqtada lokal maksimumga erishadi.

◄ Ma’lumki, funksiyaning nuqtada ekstremumga erishishi da ushbu

ayirmaning ishora saqlashi bilan bog‘liq:

da bо‘lsa,

nuqtada lokal minimum, bо‘lsa. nuqtada lokal maksimum sodir bо‘ladi.

ayirmaning ishorasini aniqlash qulay bо‘lishi maqsadida (4) da

almashtirishni bajaramiz, bunda

.

Natijada (*) munosabat ushbu

(5)

kо‘rinishga keladi.

Aytaylik,

bо‘lsin.

Ravshanki,

Ayni paytda, bu funksiya, ning funksiyasi sifatida da uzluksiz bо‘lib, о‘zining eng kichik qiymati (uni bilan belgilaylik) ga ega bо‘ladi:

.

Ikkinchi tomondan, ya’ni da bо‘lganligi sababli, ning yetardli kichik qiymatlarida

bо‘laoladi.

Demak, bо‘lganda (5) tenglikning о‘ng tomonidagi ifoda musbat bо‘ladi. Binobarin,

bо‘lib, funksiya nuqtada lokal minimumga erishadi.

Aytaylik,

bо‘lsin. Bu holda (5) tenglikning о‘ng tomonidagi ifoda manfiy bо‘ladi. Binobarin,

bо‘lib, funksiya nuqtada lokal maksimumga erishadi.►

3-eslatma. Agar

bо‘lsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi.