63-ma’ruza Kо‘p о‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari

2⁰. Funksiya ekstremumga erishishining yetarli sharti. Aytaylik, funksiya nuqtaning biror atrofida berilgan, shu atrofda barcha ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega va

bо‘lsin. Bu funksiyaning Teylor formulasi (62-ma’ruzada keltirilgan Teylor formulasida bо‘lgan hol),

shartni hisobga olgan holda, quyidagicha

(1)

bо‘ladi, bunda ikkinchi tartibli xususiy hosilalar

nuqtada hisoblangan va

.

Berilgan funksiya ikkinchi tartibli xususiy hosila-larning statsionar nuqta dagi qiymatlarini

bilan belgilaymiz. Barcha ikkinchi tartibli xususiy hosilalar

larning nuqtada uzluksizligidan

hamda

bо‘lishi kelib chiqadi, bunda

.

Natijada (1) tenglik ushbu

kо‘rinishga keladi.

Agar

deyilsa, sо‘ng da, ya’ni da

(bunda, da ) bо‘lishini e’tiborga olsak, u holda

(2)

bо‘lishini topamiz.

Ma’lumki, ayirma da ishora saqlasa, ya’ni da

bо‘lsa, funksiya nuqtada lokal minimumga,

bо‘lsa, funksiya nuqtada lokal maksimumga erishadi.

Yuqoridagi (2) tenglikdan kо‘rinadiki, ning ishorasi koeffitsiyentlari

bо‘lgan

(3)

kvadratik formaga bog‘liq bо‘ladi.

2-teorema. Agar (3) kvadratik forma musbat aniqlangan bо‘lsa, funksiya nuqtada lokal minimumga, manfiy aniqlangan bо‘lsa, lokal maksimumga erishadi.

Agar (3) kvadratik forma noaniq bо‘lsa, funksiya nuqtada lokal estremumga erishmaydi.

◄ Bu teorema, keyingi punktda, xususiy holda ya’ni ikki о‘zgaruvchili funksiyalar uchun isbotlanadi.►(qaralsin, , 13-bob)