Va toʻla differensiali. Yuqori tartibli xususiy hosilalar. Yuqori tartibli

M avzu: Toʻla differensial. Koʻp oʻzgaruvchili murakkab funksiyaning xususiy
va toʻla differensiali. Yuqori tartibli xususiy hosilalar. Yuqori tartibli
differensiallar.



Bir o‘zgaruvchili funksiya xususiyatlarini o‘rganishda va juda ko‘p masalalarni
yechishda funksiyaning hosilasi muhim ahamiyatga ega ekanligini ko‘rib o‘tgan
edik. Shu sababli bu tushunchani ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun ham aniqlash
masalasi bilan shug‘ullanamiz. Bunda ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun
kiritiladigan tushunchalar va keltiriladigan tasdiqlar deyarli o‘zgarishsiz ikkidan
ortiq o‘zgaruvchili funksiyalar uchun ham umumlashtirilishi mumkinligini yana bir
marta ta’kidlab o‘tamiz.
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Bir
o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi ∆f funksiya orttirmasining ∆x
argument orttirmasiga nisbatining ∆x→0 bo‘lgandagi limiti kabi
aniqlanishini eslatib o‘tamiz. Ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun ham
hosila tushunchasini shunday tarzda kiritamiz.
Berilgan z=f(x,y) funksiya biror D sohada aniqlangan va M(x,y) shu sohaning
ichki nuqtasi bo‘lsin. Bu nuqtaning x abssissasiga x orttirma berib, y ordinatani
o‘zgartirmay qoldiramiz. Bunda hosil bo‘ladigan N(x +x,y) nuqta ham D sohaga
tegishli deb hisoblaymiz. Bu holda z=f(x,y) funksiyaning o‘zgarishi
x f = f (x+x , y) – f (x, y),
ya’ni x argument bo‘yicha xususiy orttirma orqali ifodalanadi.
1-TA’RIF: Agar z=f(x,y) funksiyaning х bo‘yicha х f xususiy
orttirmasining x argument orttirmasiga nisbati x→0 bo‘lganda chekli limitga
ega bo‘lsa, bu limit qiymati funksiyaning x bo‘yicha xususiy hosilasi deb ataladi.
Bu hosila
kabi belgilardan biri bilan belgilanadi. Bunda indeks yoki maxrajdagi x belgi hosila
x argument bo‘yicha olinayotganligini ifodalaydi. Ta’rifga ko‘ra
Bu yerda x f xususiy orttirma faqat x hisobiga o‘zgarib, unda y o‘zgarmas
bo‘ladi. Shu sababli xususiy hosila bir x o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi
singari aniqlanadi. Bundan z=f(x,y) funksiyaning x bo‘yicha xususiy hosilasini
hisoblashda ikkinchi y o‘zgaruvchini o‘zgarmas son kabi qarash kerakligi va oldin
ko‘rib o‘tilgan hosilalar jadvali hamda differensiallash qoidalaridan foydalanish
mumkinligi kelib chiqadi.
Masalan