Mavzu: Funksiya limitini hisoblash. Ajoyib limitlar

Mavzu: Funksiya limitini hisoblash. Ajoyib limitlar.
Reja.

1. 
   Funksiya limiti va uning asosiy xossalari
   
2. 
   Ajoyib limitlar .
   
3. 
   Mavzuga doir testlar misollar yechish.
   

1. Tarif: Agar har qanday uchun shunday son topilsaki, va tengsizlik bajarilsa, b son funksiyaning dagi limiti deyiladi va ko’rinishda belgilanadi.

Limitning geometrik ma`nosi:

Agar har qanday uchun asosi balandligi va markazi nuqtada bo’lgan to’g’ri to’rtburchakni ko’rsatish mumkin bo’lsaki funksiya grafigining intervaldagi barcha nuqtalari shu to’g’ri to’rtburchak ichida yotsa, u holda bo’ladi.
Yuqorida keltirilgan geometrik ma`noda nuqta o’sha to’g’ri to’rtburchak ichida yotmasligi ham mumkin.
Funktsiya nuqtada aniqlangan bo’lsa, u holda bo’ladi.

4. 
   Masalan:
   
5. 
   
   

Funksiya nuqtada aniqlanmagan bo’lsa, u holda ni hisoblash uchun soddalashtirishlardan foydalanish kerak:
Masalan:

Quyidagi limitlarni hisoblang:








Javob. 0.25
limitni topamiz. Bu limit uchun ikki funkksiya bo‘linmasining limiti haqidagi teoremani qo‘llab bo‘lmaydi, chunki da kasrning maxraji nolga teng bo‘ladi. Bundan tashqari suratning limiti nolga teng. Bunday hollarda ko‘rinishdagi aniqmaslik berilgan deyiladi. Bu aniqmaslikni ochish uchun kasrning surati va maxrajini ko‘paytuvchilarga ajratamiz va kasrni ( , lekin ga bo‘lib, topamiz:

3. limitni topamiz. da ko‘rinishdagi aniqmaslik hosil bo‘ladi. Kasrning surat va maxrajini yuqori darajasiga, ya’ni ga bo‘lib, topamiz:

Ajoyib limitlar
Birinchi ajoyib limit : .
Isboti. bo‘lsin.
Radiusi ga teng bo‘lgan aylananing radian o‘lchovi ga teng bo‘lgan markaziy burchagiga mos yoyini qaraymiz (2-shakl).
Shakldan quyidagilarga ega bo‘lamiz:


Bundan kelib chiqadi. Tengsizlikni ga bo‘lamiz:
yoki .
Endi bo‘lsin.
, ekanidan da ham
.
, dan 6-teoremaga ko‘ra
.
Misol
limitni topamiz. Bunda da ko‘rinishdagi aniqmaslik berilgan. Almashtirishlar bajaramiz:

da va ajoyib limitga ko‘ra
Demak,

Ikkinchi ajoyib limit¹ :
Isboti. Ma’lumki, .
bo‘lsin. deb olamiz. U holda , bu yerda
tengsizlikdan topamiz:
yoki
.
da . U holda

.
Bundan 6-teoremaga ko‘ra

Misol
limitni topamiz. Bunda da ko‘rinishdagi aniqmaslik berilgan.
Qavs ichidagi kasrning butun qismini ajratib, almashtirishlar bajaramiz:
.
da bo‘lgani sababli 2-ajoyib limitni qo‘llab, topamiz:

ekanidan .
4. lmitni topamiz. Buning uchun belgilash kiritamiz. Bunda da U holda

UYGA VAZIFA:
Limitlarni toping:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
15) 16)
17) ; 18) ;
19) 20)
21) 22)
23) ; 24)
25) 26)
27) 28)
29) 30)
MAVZU: AJOYIB LIMITLARGA DOIR MISOLLAR 24.04.2020y.
NAMUNA:№7




limitni topamiz. Bunda da ko‘rinishdagi aniqmaslik berilgan. Almashtirishlar bajaramiz:

da va ajoyib limitga ko‘ra
Demak,



lmitni topamiz. Buning uchun belgilash kiritamiz. Bunda da U holda

UYGA VAZIFA:
1) 2)
4)
5) 6)
7) 8)

6).

1^ Claudio Canuto, Anita Tabacco. Mathematical Analysis I. Sprinder-Verlag Italia, Milan 2008. 81-87 b.