Mirzo ulug`bek nomidagi o`zbekiston milliy universiteti jizzax filiali

MIRZO ULUG`BEK NOMIDAGI

O`ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI

JIZZAX FILIALI

Amaliy matematika va informatika fakulteti

“Kompyuter ilmlari va dasturlash texnologiyari”

yo`nalishi:

Matematik analiz fanidan


MUSTAQIL ISH

Mavzu: Funksiyaning chap va ung limitlar.

Bajardi: Jalilov Sh.T Tekshirdi: Po’latov B

Jizzax 2021

Mavzu: Funksiyaning chap va ung limitlar.
REJA:

1. Funksiyani noma’lum cheksizga intilgandagi limitlari.

2. CHapdan va ungdan limitlar. CHeksiz katta va cheksiz kichik mikdorlar.

3. . Funksiyaning limiti va uning asosiy xossalari.

Funksiyaning nuktadagi limiti.

5 - ta’rif. Agara u = f(x) funksiya x = a nuktaning biror atrofida aniklangan bulib, istalgan  > 0 son uchun shunday  > 0 son mavjud bulsin, x - a<  tengsizlikni kanoatlantiradigan barcha x  a nuktalar uchun f(x) - A<  tengsizlik bajarilsa, A chekli son u = f(x) funksiyaning x = a nuktadagi limiti deb ataladi.


Misol 1: ni isbotlang.

f(x) = funksiyani x = 4 nuktaning biror atrofini karaylik, masalan 3<4<5. Ixtiyoriy  > 0 ni olamiz va f(x) - A ni x  4 deb,

x  (3; 5) ya’ni x >3 ni ‘isobga olsak,

bundan kurinib turibdiki,  = 3 deb olsak, u ‘olda x - 4<  uchun barcha x  (3; 5) uchun

bundan 2 soni f(x) = funksiyaning x = 4 nuktadagi limiti bulishi kelib chikadi.

6- ta’rif. Agara u = f(x) funksiya x ning etarlicha katta kiymatlarida aniklangan bulib, istalgan  > 0 son uchun shunday N > 0 son mavjud bulsin, x < N tengsizlikni kanoatlantiradigan barcha x lar uchun f(x) - A<  tengsizlik bajarilsa, uzgarmas A son u = f(x) funksiyaning x  dagi limiti deb ataladi.


Misol. ekanini isbotlang.

Isbot f(x) = ni karaylik

Ixtiyoriy  > 0 ni olamiz va f(x) - Ani uzgartiramiz

Agar N = ni olsak, u ‘olda x >N uchun,

tengsizlik bajariladi.

Bundan 1 soni f(x) = funksiyaning x dagi limiti kelib chikadi.

Ta’rif. (a, v) intervalda aniklangan u = f(x) funksiya uchun shunday M > 0 son mavjud bulsaki, barcha x  (a, v) lar uchun f(x)  M tengsizlik bajarilsa, u ‘olda u = f(x) funksiya (a, v) intervalda chegaralangan deyiladi.
Teorema. Agar - chekli son bulsa, u ‘olda u = f(x) funksiya a nuktaning biror atrofida chegaralangandir.
Ta’rif. Agar = f(x) funksiya x = a nuktadagi yoki x dagi limiti ta’rifida x uzgaruvchi a dan kichik bulganicha kolsa, u ‘olda funksiyaning A₁ limiti funksiyaning x = a nuktadagi (yoki a - 0 dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi.

Xuddi shu kabi - ung tomonlama limiti deyiladi.

Ta’rif. Agar = f(x) funksiya a nuktaning biror atrofida aniklangan va istalgan M >0 son uchun shunday  >0 son mavjud bulsaki, x - a< tengsizlikni kanoatlantiradigan barcha x  a lar uchun f(x)>M tengsizlik bajarilsa, xa da f(x) funksiya cheksizlikga intiladi deb aytiladi

Agar bulsa, u ‘olda f(x) funksiya xa da yoki x da cheksiz katta funksiya deb ataladi.
Ta’rif. Agar (yoki ) bulsa, f(x) funksiya xa da (yoki x da) cheksiz kichik funksiya deb ataladi.

CHeksiz kichik mikdorlarning xossalari:

1⁰. Ikki cheksiz kichik mikdorlarning yiindisi yoki ayirmasi yana

cheksiz kichik mikdordir.

2⁰. CHeksiz kichik mikdorni chegaralangan mikdorga kupaytmasi yana

cheksiz kichik mikdordir.

Xulosa: CHeksiz kichik mikdorni uzgarmas songa kupaytmasi yana cheksiz kichik mikdordir.

Misol: (bu erda n = 1, 2, 3, ...)

, ,  - cheksiz kichik mikdorlar.

- cheksiz kichik mikdorlar.
- 1 ga intiladi.
- bu esa  ga intiladi.

Misoldan kurinadiki, cheksiz kichik mikdorlarni nisbati, cheksiz kichik mikdor bula olmaydi.

3⁰. CHeksiz katta mikdorga teskari kattalik, cheksiz kichik mikdordir va aksincha

4⁰. CHeksiz katta mikdor bilan cheklangan mikdorning yiindisi cheksiz katta mikdordir.

5⁰. Ikkita cheksiz katta mikdorni va cheklangan mikdorga kupaytmasi yana cheksiz katta mikdordir.

 +  = ;  -  - anikmaslik, ya’ni  -   0 xuddi shu kabi - anikmaslik. 1. Funksiyaning limiti va uning asosiy xossalari.

Funksiyaning limiti va uning asosiy xossalari

1. 1-ta’rif. funksiya nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lib, istalgan son uchun shunday son mavjud bo’lsaki, tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha nuqtalar uchun tengsizlik bajarilsa, chekli son funksiyaning nuqtadagi limiti deb ataladi va quyidagicha yoziladi

(1)

Funksiya limitining ta’rifidan kelib chiqadiki cheksiz kichik bo’lganda ham cheksiz kichik bo’ladi.

2-ta’rif. funksiya, ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan son uchun shunday, mavjud bo’lsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas son, funksiyaning dagi limiti deyiladi, va

(2)

bilan belgilanadi.

1-ta’rifda faqat yoki bo’lgan qiymatlar qaralsa, funksiyaning chap yoki o’ng limit tushunchasi kelib chiqadi va

, (3)

bilan begilanadi.

3-ta’rif. Limiti bo’lgan funksiyaga cheksiz kichik funksiya (ch. kich. f.) deyiladi.

4-ta’rif. Limiti yoki bo’lgan funksiyalarga cheksiz katta funksiya (ch. kat. f.) deyiladi va

(4)

bilan belgilanadi.

Limitning ta’rifidan kelib chiqadiki o’zgarmas miqdorning limiti o’ziga teng.