2-mavzu. Ehtimollarni qo‘shish va ko‘paytirish teoremalari. Shartli ehtimollik. Hodisalarning bog‘liqsizligi. To’la ehtimollik Bayes formulalari

MAVZU. Bernulli formulasi. Muavr –Laplasning Lokal va integrallar teoremalari.

Bernulli formulasi.
Takrorlanuvchi sinovlarning har birida A hodisaning ro’y berish ehtimolligi boshqa sinov natijalariga bog’lik bulmasa, bunday sinovlar A hodisaga nisbatan erkli deyiladi.

Faraz qilaylik, n ta o’zaro erkli takrorlanuvchi sinovlarning har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi r teng bo‘lsin. U xolda A hodisaning ro’y bermaslik ehtimolligi q=1-p ga teng. n ta takrorlanuvchi sinovlarda A hodisaning rosa k marta ro‘y berish

ehtimolligi Р_n(k) ni topamiz



n!
yoki
(к  n). A xodisa bilan belgilanadi va quyidagicha topiladi: P_n(k)=C^k р^k q^n-k (3.1)

n

n
P k  
_{  P}k_qn k
(3.1₁)

k! n  k !
(3.1) formula Bernulli formulasi deyiladi.
Eslatma. Erkli sinovlar ketma-ketligida xodisaning ro‘y berishlar soni m bo‘lsin.
U holda,

1. 
   hodisaning k dan kam marta ro‘y berish ehtimoli
   

k 1

Р_n (0  m  k 1)  _
m0
P_n (m)

2. 
   hodisaning kamida k marta ro‘y berish ehtimoli
   

n

Р_n (k  m  n)  _
mk
P_n (m)

v) hodisaning ko‘pi bilan k marta ro‘y berish ehtimoli
k

Р_n (0  m  k)  _
m0
P_n (m)

Muavr-Laplasning limitik teoremasi. Agar sinovlar soni yetarlicha katta bo'lsa, u holda Bernulli formulasini qo‘llash anchagina murakkablikka olib keladi. Bunday holda quyidagi Muavr-Laplasning limiti teoremalaridan foydalaniladi.
Muavr-Laplasning lokal teoremasi. Agar har bir sinovda A hodisaning ro’y berishehtimolligi r ga teng bo‘lsa, u holda yetarlicha katta n lar uchun

Taqribiy formula o'rinli.
Р_n к 
¹ x
(3.2)

bu yerda

x 
_{e x} 2 2
_{x } к  np


(3.3)

,
Muavr-Laplasning integral teoremasi. Agar n ta bog’liqmas sinovlarning har birida
A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi r ga teng bo‘lsa, u holda hodisaning k1 tadan k2 tagacha ro‘y berish ehtimolligi