1. Vektorlar haqida tushincha. 1-ta’rif. O’zining son qiymati va yo’nalishi bilan aniqlanadigan miqdorlar vektorlar deb ataladi. 2-ta’rif

20. Uchlari A(2; -1; 3), B(1; 3; 4), C(-1; 1; 2), D(5; 4; 5) nuqtalarda joylashgan tetraedrning hajmini toping.
21. Piramidaning A(3; 7; 6), B(3; 1; 2), C(-4 ; 8; -5), D(1; -2; 4) uchlari berilgan. C uchudan tushirilgan piramidaning balandligini toping.


Mustaqil yechish uchun misol va masalalarning javoblari
1. 1) 15; 2) 25; 3) 36; 4) 91; 5) 31;6) -118; 7) 244 2.1) 240; 2) 132; 3) 1440;4) 68 . 3. 26. 4. 81. 5. . 6. . 7. 1) 16; 2) ; 3) ; 4) 169; 5) 85; 6) 21. 8. . 10.{12;-36;18}. 11.{-8;-3;0}. 12.1) {7; 1; 5}; 2) {14; 2; 10};
3) {-28; -4; -20}; 4) {-98; -13; -69}. 13. 6. 14. . 15.1) 18; 2) 5184. 16. .
17. h = 5. 18. 60. 19. 5. 20. 3. 21. .
TEKISLIKDA TO’G’RI CHIZIQ

Dekart koordinatalar sistemasida har bir to’g’ri chiziq o’zgaruvchi koordinatalarga nisbatan birinchi darajali algebraik tenglama bilan ifodalanadi va aksincha birinchi darajali har qanday algebraik tenglama tekislikda to’g’ri chiziqni aniqlaydi.

Ushbu
(1)
tenglama to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi.
Bunda va o’zgarmas koeffitsientlar bo’lib, va sonlar bir vaqtda nolga teng emas deb faraz qilinadi.
Tenglamasi (1) shaklda bo’lgan to’g’ri chiziq vektorga perpendikulyar. Shuning uchun vektorga (1) to’g’ri chiziqning normal vektori deyiladi.
Ushbu
(2)
tenglamaga to’g’ri chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasi deyiladi.
Ushbu
(3)
ko’rinishdagi teglama to’gri chiziqning burchak koeffitsienti tenglamasi deb ataladi, bunda - burchak koeffitsienti, - esa o’qidan kesgan kesmaning uzunligini ifodalaydi. To’g’ri chiziqning o’qqa og’ish burchagining tangenisi shu to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti deb ataladi va uni deb belgilanadi
Ushbu
(4)
tenglamaga berilgan nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi.
Ushbu
(5)
tenglamaga ikki va nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi deyiladi.
Berilgan to’g’ri chiziqqa parallel noldan farqli vektorga to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori deyiladi.
Berilgan nuqtadan o’tuvchi va yo’naltiruvchi vektorga ega bo’lgan to’g’ri chiziq tenglamasi
(6)
ko’rinishda bo’ladi. (6) tenglamaga to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi deyiladi.
Agar ikkita va to’g’ri chiziqlar o’zlarining umumiy
( ) va ( )
tenglamalari bilan berilgan bo’lsa, u holda ular orasidagi burchak
(7)
formula orqali aniqlanadi.
Agar to’g’ri chiziq umumiy
( ) (8)
shaklda berilganda, uning burchak koeffitsienti formula orqali aniqlanadi.
Agar to’g’ri chiziq va nuqtadan o’tsa, u holda uning burchak koeffitsienti
(9)
formula orqali aniqlanadi.
Agar va to’g’ri chiziqlar parallel bo’lsa, u holda bu chiziqlarning OX
o’qi bilan tashkil qilgan burchaklari teng, yani bo’ladi.
Demak,
, .
Agar va to’g’ri chiziqlar perpendikulyar bo’lsa, u holda bo’ladi. Demak, 1+ yoki , bo’ladi.
Agar ikkita va to’g’ri chiziqlar o’zlarining kanonik
va
tenglamalari bilan berilgan bo’lsa, u holda ular orasidagi burchak
(10)
formula orqali aniqlanadi. To’g’ri chiziqlarning parallellik sharti ko’rinishda, perpendikulyarlik sharti esa =0 ko’rinishda bo’ladi.
Agar va to’g’ri chiziqlar mos ravishda o’zlarining umumiy va burchak koeffitsientli tenglamalari bilan berilgan bo’lsa, u holda ular orasidagi burchak ,
(11)
formula orqali aniqlanadi.
Agar bo’lsa, tenglamaga to’g’ri chiziqning normal tenglamasi deyiladi.
Ushbu
(12)
tenglamaga to’g’ri chiziqning normal tenglamasi deyiladi.
Ushbu
(13)
tenglik bilan aniqlangan ni to’g’ri chiziqning normal ko’paytuvchisi deyiladi. O’ng tomondagi ishoralaridan qaysi birini olish , tenglikka bog’liq bo’ladi. Boshqacha aytganda, va ishorasi qarama – qarshi qilib tanlanadi.
Ushbu
(14)
formulaga nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa formulasi deyiladi.
1- misol. Ox o’qining musbat yo’nalishi bilan 45⁰ burchak tashkil qilgan va koordinata boshidan o’tgan to’g’ri chiziq tenglamasini toping.
Yechilishi. berilgan masalani yechish uchun to’g’ri chiziqning ko’rinishdagi tenglamasidan foydalanish qulay. Shartga ko’ra to’g’ri chiziq koordinata boshidan o’tadi, u holda b=0. To’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti bo’ladi.
Demak, izlanayotgan to’g’ri chiziq tenglamasi bo’ladi.
2-misol. nuqtadan o’tgan: 1) to’g’ri chiziqqa parallel;
2) to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni toping.
Yechilishi. Berilgan nuqtadan o’tgan to’gri chiziqning
y-y₀=k(x-x₀) tenglamasiga ko’ra nuqtadan o’tgan to’g’ri chiziq bo’ladi. k koeffitsientni topamiz.
1) to’g’ri chiziq uchun burchak koeffitsienti berilgan to’g’ri chiziqqa izlanayotgan to’g’ri chiziq parallel. Parallellik shartiga ko’ra, burchak koeffitsientlari teng bo’ladi: Demak, nuqtadan o’tgan to’g’ri chiziqqa parallel to’g’ri chiziq tenglamasi yoki ko’rinishda bo’ladi.
2) to’g’ri chiziq umumiy tenglamasi bilan berilgan. Bu to’g’ri chiziqning burchak koeffitsientini topish uchun y ga nisbatan yechamiz: . Berilgan to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti izlanayotgan to’g’ri chiziq berilgan o’g’ri chiziqqa perpendikulyar. To’g’ri chiziqlarning perpendikulyarlik sharti k₁k=-1 ko’ra .
Demak, M(2;1) nuqtadan o’tgan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziq tenglamasi:
yoki ko’rinishda bo’ladi.
3-misol. Ushbu va to’g’ri chiziqlar orasidagi o’tkir burchakni toping.
Yechilishi. Berilgan to’g’ri chiziqlarning burchak koeffitsientlarini topamiz:

k₁ va k₂ ning qiymatlarini formulaga qo’yamiz:
. Demak, berilgan to’g’ri chiziqlar orasidagi o’tkir burchak ga teng ekan.