1. Vektorlar haqida tushincha. 1-ta’rif. O’zining son qiymati va yo’nalishi bilan aniqlanadigan miqdorlar vektorlar deb ataladi. 2-ta’rif

1. Vektorlarni skalyar ko’paytirish.Vektorlar ustida hozircha bajarilgan, qo’shish, ayirish, vektorni songa ko’paytirish amallari chiziqli amallar deyilib, vektorlar ustida bunday amallar bajarish natijasida yana vektor hosil bo’ladi.
1-ta’rif. Nolga teng bo’lmagan ikki va vektorlarning skalyar ko’paytmasi deb shunday songa aytiladiki, bu son shu vektorlar uzunliklari bilan ular orasidagi burchak kosinusining ko’paytmasiga teng.
Skalyar ko’paytma odatda bunday belgilanadi:

Agar ko’paytmani ko’rinishda yozib, ni nazarga olsak, ni va ni nazarga olsak ni hosil qilamiz. Demak, formula o’rinli. Boshqacha aytganda, ikki vektorning skalyar ko’paytmasi ulardan birining uzunligi miqdori bilan ikkinchisining shu vektor yo’nalishidagi proeksiyasi kopaytmasiga teng
Agar ikki vektor orasidagi burchak ga teng bo’lsa, ular ortogonal vektorlar deyiladi.
1-teorema. Agar bo’lsa, u holda va vektorlar ortogonal bo’ladi.
2-teorema. Har qanday vektor shu vektorning o’ziga skalyar ko’paytmasi bu
vektorning uzunligi kvadratiga teng, ya’ni .
Skalyar ko’paytmaning Dekart koordinatalar sistemasidagi formulasi.
3-teorema. Dekart koordinatalar sistemasida va vektorlar berilgan bo’lsa, bu vektorlarning skalyar ko’paytmasi ularning mos koordinatalari ko’paytmalarining yig’indisiga teng, ya’ni .
Agar bo’lsa, bo’ladi.
1-natija. va vektorlar perpendikulyar bo’lishi uchun ushbu tenglikning bajarilishi zarur va etarli.
2-natija. va vektorlar orasidagi burchak

tenglik bilan aniqlanadi.
1-misol. Agar va bo’lsa, va vektorlar ning qanday qiymatlarida o’zaro perpendikulyar bo’ladi?
Yechilishi. Berilgan vektorlarning skalyar ko’paytmasini topamiz:

Ikki vektor perpendikulyar bo’lishi uchun ularning skalyar ko’paytmasi nolga teng bo’lishi shartidan topamiz: .