1 Mavzu Tasodifiy hodisalar ustida amallar. Ehtimollikning klassik ta‟rifi

5. 



 uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi butun Ox o`qida 

                        

2

( )

x

x

C

f x

e

e







 

tenglik bilan berilgan. O`zgarmas C parametrni toping. Javob:  

1

С





. 

6. Bir soat 

(0

t 1

 

,  t birligi soatlarda hisoblangan vaqt) ichida bekatga 

faqat  bitta  avtobus  kelib  to`xtaydi.  Vaqtning 

0

t



  momentida  bekatga  kelgan 

yo`lovchining avtobusni 10 minutdan ortiq kutmaslik ehtimolligi qanday?      J.: 

6

1

 

7. Avtobuslar 5 minut oraliq bilan qatnaydilar. Bekatda avtobus kutish 

vaqti  



 tekis taqsimlangan deb,  

( )

F x

 taqsimot funksiyasini toping.                                            

  Javob: 

0,

0,

( )

0, 2 ,

0

5,

1 ,

5.

agar x

F x

x agar

x

agar

x









 









 

8. 



 uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi  berilgan 

                      

0,

0,

( )

,

0

2,

1,

2.

agar x

f x

bx

agar

x

agar

x









 









b  ni aniqlang. 

Javob: b=0,5. 

 

 

 

 

8.1 Mavzu 

                                    

Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari. 

                          

   O`quv mashg`ulotida talim texnologiyasi modeli 

Mavzu (raqami) ..8.1…(nomi).. Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari. 

 

Vaqt 2 soat  

Talabalar soni 30 ta 

O`quv mashg`ulotining shakli va turi 

Amaliy mashg`ulot 

Mavzu rejasi 

1. 

Diskret 

tasodifiy 

miqdorning 

matematik  kutilmasiga  doir  masalalar 

yechish. 

2.  Uzluksiz    tasodifiy  miqdorning 

matematik  kutilmasiga  doir  masalalar 

yechish.     

3.Diskret 

tasodifiy 

miqdorning 

dispersiyasiga doir masalalar yechish. 

2.Uzluksiz 

 

tasodifiy 

miqdorning 

dispersiyasiga doir masalalar yechish.      

O`quv mashg`ulotining maqsadi. 

Misol  va  masalalar  orqali  diskret  va 

uzluksiz 

tasodifiy 

miqdorning 

matematik 

kutilmasi, 

dispersiyalari 

haqida  bilimga ega bo`lish. 

Pedagogik vazifalar: 

O`quv faoliyati natijalari: 

1. 

Diskret 

tasodifiy 

miqdorning 

matematik  kutilmasiga  doir  masalalar 

yechib tushuntirish. 

2. 

 Uzluksiz  tasodifiy  miqdorning 

matematik  kutilmasiga  doir  masalalar 

yechib tushuntirish. 

3. 

Diskret 

tasodifiy 

miqdorning 

dispersiyasiga  doir  masalalar  yechib 

tushuntirish. 

4. 

Uzluksiz  tasodifiy  miqdorning 

dispersiyasiga  doir  masalalar  echib 

tushuntirish. 

1.Diskret 

tasodifiy 

miqdorning 

matematik  kutilmasiga  doir  masalalar 

yechishni o`rganadi. 

2. 

Uzluksiz 

tasodifiy 

miqdorning 

matematik  kutilmasiga  doir  masalalar 

yechishni o`rganadi. 

3. 

Diskret 

tasodifiy 

miqdorning 

dispersiyasiga  doir  masalalar  yechishni 

o`rganadi. 

4. 

Uzluksiz 

tasodifiy 

miqdorning 

dispersiyasiga  doir  masalalar  yechishni 

o`rganadi. 

O`qitish vositalari. 

O`quv  majmua,  kitob,  doska,  bo`r, 

proektor.  

O`qitish usullari. 

Savol 

javob,suxbat, 

tushuntirish, 

muammoli  usul,  munozara, 

―klaster‖,

 

―qanday‖ 

interfaol metodlari.  

O`qitish shakllari. 

Gurux gurux, Ommaviy  

O`qitish sharoiti. 

Auditoriya, doska, elektr taminoti. 

 

 

 

Amaliy mashg`ulotning  texnologik xaritasi. 

 

Ish 

bosqichlari 

O`qituvchi faoliyatining mazmuni 

Tinglovchi  faoliyatining 

mazmuni 

1-bosqich 

Mavzuga 

kirish 

(10 minut) 

1.1. 

O`quv 

mashg`uloti 

mavzusi, 

maqsadi  tushuntirib,  mavzu  bo`yicha 

reja tushuntiriladi. (1-ilova). 

1.2. Mavzu bo`yicha  savol javob 

o`tkazadi va talabalarning  bilim 

darajasini  diagnostikasini amalga 

oshiradi.(2-ilova). 

Mavzu 

nomini 

yozib 

oladilar.  Mavzu  rejasini 

yozib oladi. 

Eshitadi    va  savollarga 

javob beradi. 

2-bosqich. 

Asosiy 

2.1.Maruza 

mavzusi 

takrorlanadi.(3.,3.1- ilovalar) 

Yozadi 

 

bo`lim 

(60 minut) 

2.2.  Mavzuga  oid  masalalar  beriladi  va 

talabalarning  faolligini  oshiradi.(4,4.1,5- 

ilovalar)  

Savollarga 

javob 

beradilar, 

masalalar 

yechadi 

3-bosqich. 

Yakunlovchi 

(10 minut) 

3.1. Talabalarning dars davomidagi 

faoliyatini tahlil etadi va baholaydi. 

3.2. Mustaqil ishlash uchun vazifa 

beradi (6-ilova) 

Tinglaydi. 

 

Yozadi. 

 

 

         1- 

ilova 

                       Savollar 

1. Tasodifiy miqdor  nima? 

2. Diskret tasodifiy miqdor nima? 

3. Uzluksiz tasodifiy miqdor nima? 

4. Taqsimot va zichlik funksiya  orasida qanday bog`lanish mavjud? 

 

 

          2-ilova 

MAVZU:  Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari. 

 REJA 

 1. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasiga doir masalalar yechish. 

2. Uzluksiz  tasodifiy miqdorning matematik kutilmasiga doir masalalar yechish.     

3.Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasiga doir masalalar yechish. 

4.Uzluksiz  tasodifiy miqdorning dispersiyasiga doir masalalar yechish.    

  O`quv  mashg`ulotining  maqsadi:  Misol  va  masalalar  orqali  diskret  va  uzluksiz 

tasodifiy  miqdorning  matematik  kutilmasi,  dispersiyalari  haqida    bilimga  ega 

bo`lish. 

O`quv  faoliyatining  natijasi:  1.Diskret  tasodifiy  miqdorning  matematik 

kutilmasiga doir masalalar yechishni o`rganadi. 

2.  Uzluksiz  tasodifiy  miqdorning  matematik  kutilmasiga  doir  masalalar  yechishni 

o`rganadi. 

3. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasiga doir masalalar yechishni o`rganadi. 

4. Uzluksiz tasodifiy miqdorning dispersiyasiga masalalar yechishni o`rganadi. 

 

            3- ilova 

1-ta`rif.   diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi deb, ushbu 

1

1

2

2

1

...

n

n

n

k

k

k

E

x

p

x

p

x p

x

p





   

 







 

tenglik bilan aniqlanuvchi songa aytiladi. 

Ba`zi misollarni qarab chiqamiz.  

1-misol. A hodisaning ro`y berish ehtimolligi p ga teng bo`lsa, bitta tajribada 

A hodisa ro`y berish sonining matematik kutilmasini toping.  

Yechish. Bitta tajribada A hodisaning ro`y berish sonini   deb belgilaylik. U 





holda   

: 0

1

:

P

q

p



, 

bu erda 

1

p

q

 

 va 1-ta`rifga asosan, 

0

1

E

q

p

p



    

 . 

2-misol. 





,

n p

  parametrli  binomial  qonun  bilan  taqsimlangan  tasodifiy 

miqdorning matematik kutilmasini toping.  

Yechish:   orqali A hodisaning n ta bog`liqsiz tajribalarda ro`y berish sonini 

belgilasak, 





k

k

n k

n

P

k

C p q









, 

0,1,...,

k

n



  tenglik  o`rinli  ekani  bizga 

ma`lum.Matematik kutilma ta`rifiga ko`ra 









1

1

1

1

1

0

0

.

n

n

n

n

k

k

n k

k

k

n k

n

n

k

k

k

E

k P

k

k C p q

np

C

p

q

np q

p

n p







































 







 

 uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi  p(x) bo`lsin.  

2-ta`rif. Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi deb, ushbu  

 

E

x p x dx













  

 

 

 

 

(2) 

integralga (agar bu integral absolyut yaqinlashuvchi bo`lsa) aytiladi. 

3-misol. 





2

,

a



  parametrli  normal  qonun  bilan  taqsimlangan 



  tasodifiy 

miqdorning matematik kutilmasini toping. 

Yechish. Ta`rifga asosan  

















2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

1

.

2

x a

x a

x a

z

a

E

x

e

dx

x

a e

dx

e

dx

ze

dz

a

a



































































 









 

Demak, 





2

,

a



  parametrli  normal  qonun  bilan  taqsimlangan  tasodifiy 

miqdorning matematik kutilmasi 

a

 parametrga teng ekan. 

 

4-misol. 

 

,

a b

  oraliqda  tekis  taqsimlangan 

  tasodifiy  miqdorning 

matematik kutilmasi quyidagicha topiladi:  

2

1

1

0

0

2

2

b

a

b

a

b

a

x

b

a

E

x

dx

x

dx

x

dx

b

a

b

a





















































. 

5-misol. 



  parametrli  eksponensial  qonun  bo`yicha  taqsimlangan 



 

tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi: 





0

0

0

0

0

1

1

0

x

x

x

x

E

x

dx

x

e

dx

x

e

e

dx

e















































  



 

















. 

 

 

    3.1- ilova 

Tasodifiy  miqdorning  uning o`rtacha  qiymatidan  chetlanishini  xarakterlash, 







ya`ni bu miqdor qiymatlarining tarqoqligini xarakterlash uchun uning boshqa sonli 

xarakteristikasi – dispersiyasi kiritiladi.  

1-ta`rif.  Tasodifiy  miqdorning  dispersiyasi  deb,  shu  tasodifiy  miqdor    va 

uning  matematik  kutilmasi  orasidagi  ayirma  kvadratining  matematik  kutilmasiga 

aytiladi: 





2

D

E

E











.                                                  (1) 

Agar 



  tasodifiy  miqdor 

k

x

  qiymatlarni  mos 

k

p

  ehtimolliklar  bilan  qabul 

qilsa 





1,2,...

k



, 





2

E











 tasodifiy  miqdor 





2

k

x

E





 qiymatlarni ham 

k

p

 

ehtimolliklar  bilan  qabul  qiladi  va  shu  tasodifiy  miqdorning  matematik  kutilmasi 

uchun  





2

1

k

k

k

E

D

x

E

p



















 

 

 

          (2) 

formula o`rinli bo`ladi. 



  tasodifiy  miqdorning  dispersiyasini  ushbu  formula  bilan  hisoblash 

qulaydir:  

 

 

 

 

 

2

2

D

E

E











  

 

   

            (3) 

1-misol.  A  hodisaning  ro`y  berish  ehtimolligi 

p

ga  teng  bo`lsa,  bitta  

tajribada A hodisa ro`y berish sonining dispersiyasini toping.  

Yechish.  Tasodifiy miqdorni quyidagicha kiritib  

0,

1

ehtimollik bilan,

1,

ehtimollik bilan,

q

p

p



 



 



 

E

p





 ekanini e`tiborga olsak, (2) ga asosan  

















2

2

2

2

2

2

0

1

1

.

D

E

q

E

p

p q

p

p

p q

q p

pq p

q

p q











  



 











 

 

2-misol.  Binomial  qonun  bilan  taqsimlagan  tasodifiy  miqdorning 

dispersiyasini toping. 

Yechish.    4.1-§  ning,  2-misoliga  ko`ra 

E

np





  edi. 

 

2

2

D

E

E











 

tenglikka asosan 

 

 









 

2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

1

1

1

(

1)

1

1

.

n

n

k

k

n k

k

k

n k

n

n

k

k

n

k

k

n k

n

k

D

k C p q

np

np

n

p

C

p

q

C

p

q

np

np n

p

np

npq



















































 











 

3-misol.  Puasson  qonuni  bilan  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorning 

dispersiyasini toping. 

Yechish. Shu bobdagi  4.1-§ ning, 3-misoliga asosan 

E

 



;  (3) tenglikka 

ko`ra 

2

2

0

!

k

k

e

D

k

k





















.                                        (4)  

Dastlab qatorning yig`indisini hisoblaymiz,  









1

2

2

0

1

0

0

1

!

1 !

!

!

k

k

m

m

k

k

m

m

e

e

e

e

k

k

m

k

k

m

m





















 







 



































 





















. 

Buni (4) munosabatga qo`ysak, 

2

2

D

 

 





 



. 

Demak, Puasson qonuni bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik 

kutilmasi va dispersiyasi 



 parametrga teng ekan.  

Endi  uzluksiz  tasodifiy  miqdor  dispersiyasining  ta`rifini  beramiz. 



 

tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi 

 

p x

 bo`lsin. 

2-ta`rif: Uzluksiz tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb quyidagi  

 



  

2

D

x

E

p x dx















 integralning qiymatiga aytiladi. 

4-misol. 





2

,

a



–parametrli  normal  qonun  bilan  taqsimlangan  tasodifiy 

miqdorning dispersiyasini toping. 

Yechish. 

E

a





 ekanini  e`tiborga olgan holda  

2

2

(

)

2

2

1

(

)

2

x a

D

x

a

e

dx



























. 

x

a

z







  almashtirishni  kiritib,  u  holda 

dx

dz





  bo`ladi  va  quyidagini 

hosil qilamiz:    

2

2

2

2

2

z

D

z e

dz

















. 

Hosil bo`lgan integralni bo`laklab integrallaymiz: 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

z

z

D

ze

e

dz

























 









. 

Demak, 





2

,

a



–parametrli  normal  qonun  bilan  taqsimlangan  tasodifiy 

miqdorning dispersiyasi 

2



teng ekan. 

5-misol. 

 

,

a b

  oraliqda  tekis  taqsimlangan 



  tasodifiy  miqdorning 

dispersiyasini toping.  

Yechish. 

2

a

b

E







ekanini  hisobga olsak, 













2

2

2

3

3

3

2

1

2

3

2

3

4

b

b

a

a

a

b

a

b

x

a

b

b

a

D

x

dx

b

a

b

a

b

a



























































 





2

2

2

2

2

3

4

12

a

b

b

ab

a

b

a















.