1 Mavzu Tasodifiy hodisalar ustida amallar. Ehtimollikning klassik ta‟rifi

Amaliy mashg`ulot 

Mavzu  rejasi  

1.  Birgalikda  bo`lmagan  hodisalarning 

ehtimolliklarini qo`shish qoidasi.  

2.Birgalikda 

bo`lgan 

hodisalar 

ehtimolliklarini qo`shish qoidasi.       

3.  Bog`liqsiz  hodisalar  ehtimolliklarini 

ko`paytirish qoidasi. 

 4.Bog`liq  hodisalar  ehtimolliklarini 

ko`paytirish qoidasi.  

O`quv mashg`ulotining maqsadi 

Misol  va  masalalar  orqali  bog`liq  va 

bog`liqsiz  hodisalarning  qo`shish  va 

ko`paytirish qoidasini o`rganib olish. 

Pedagogik vazifalar: 

O`quv faoliyati natijalari 

1.  Misol  va  masalalar  orqali  birgalikda 

bo`lmagan 

hodisalar 

ehtimollikning 

qo`shish qoidasini yoritib berish. 

 

2.  Misol  va  masalalar  orqali  birgalikda 

bo`lgan 

hodisalar 

ehtimolliklarini 

qo`shish  qoidasi  haqida  tushuncha 

berish. 

3.  Misol  va  masalalar  orqali  bog`liqsiz 

hodisalar  ehtimolliklarini  ko`paytirish 

qoidasi haqida tushuncha berish. 

 

4.  Misol  va  masalalar  orqali  bog`liqli 

hodisalar  ehtimolliklarini  ko`paytirish 

qoidasi haqida tushuncha berish. 

1.    Misol va masalalarni yechish orqali 

birgalikda 

bo`lmagan 

hodisalar 

ehtimollikning 

qo`shish 

qoidasi 

haqidagi tasavvuri kengayadi. 

2.  Misol  va  masalalar  orqali  birgalikda 

bo`lgan 

hodisalar 

ehtimolliklarini 

qo`shish qoidasini tushunib oladi.  

 

3.  Misol  va  masalalar  orqali  bog`liqsiz  

hodisalar  ehtimolliklarini  ko`paytirish 

qoidasini,  ularni  ajrata  bilishni  o`rgarib 

oladi. 

4.Misol va masalalar orqali  bog`liqli 

hodisalar ehtimolliklarini ko`paytirish 

qoidasini, ularni ajrata bilish o`rgarib 

oladi. 

O`qitish vositalari  

O`quv majmua,  doska, bo`r , proektor. 

O`qitish usullari 

Tushuntirish, ―

Chalkashtirilgan 

mantiqiy zanjirlar ketma-ketligi

‖,

 

―Besh 

minutlik esse‖

 

 interfaol metodi  

 

O`qitish shakllari 

Ommaviy  

O`qitish sharoiti 

Auditoriya, doska, elektr taminoti 

 

 

Mavzu bo`yicha o`quv mashg`ulotining texnologik xaritasi 

 

Ish 

bosqichlari 

O`qituvchi faoliyatining mazmuni 

Tinglovchi  faoliyatining 

mazmuni 

1-bosqich 

Maruzaga 

kirish 

(10 minut 

1.1.  O`quv  mashg`ulotining  mavzusi, 

maqsadi  va  rejasini  tanishtiradi.  (1-

ilova). 

 

Mavzu 

nomini 

va  

rejasini yozib oladilar. 

 

2-bosqich. 

Asosiy 

bo`lim 

(60 minut) 

2.1. Kombinatorika formulalarini va 

ehtimollikning formulalarini farqlay 

olishi  ―

CHalkashtirilgan mantiqiy 

zanjirlar ketma-ketligi

‖ interfaol metodi   

orqali  o`qituvchi tomonidan talabani 

tekshirib oladi. (2- ilova).   

2.2. Birgalikda bo`lmagan hodisalarning 

ehtimolliklarini 

qo`shish 

qoidasiga 

masala  yechib  ko`rsatadi  va  bir  necha 

masalalarni 

talabalarga 

yechishga 

beradi. (3,3.1-ilovalar). 

2.3.  Birgalikda  bo`lgan  hodisalarning 

ehtimolliklarini 

qo`shish 

qoidasiga 

masalalar  echib  ko`rsatadi  va  bir  necha 

masalalarni  talabalarga  echishga  beradi.   

(4, 4.1- ilovalar). 

2.4.  Bog`liqsiz  va  bog`liqli  hodisalar 

ehtimolliklarini ko`paytirish qoidasi 

masalalar yechib ko`rsatadi va bir necha 

masalalarni 

talabalarga 

yechishga 

beradi. (5,5.1- ilovalar) 

Savollarga  javob  beradi. 

Yozadi  

 

 

 

 

Yozadi,masalalar 

yechadi. 

 

 

 

 

Yozadi,masalalar 

yechadi. 

 

 

 

 

Yozadi,masalalar 

yechadi. 

 

3-bosqich. 

Yakunlovchi 

(10 minut) 

3.1.Mavzu  bo`yicha  mustaqil  o`rganish 

bo`yicha topshiriqlar beradi.(6- ilova) 

Yozib oladi. 

 

 

 

          

 

 

 

 

               

 

             1- ilova 

 

MAVZU:  Ehtimollikni  qo‗shish va ko‗paytirish formulalari.   

REJA 

1. Birgalikda bo`lmagan hodisalarning ehtimolliklarini qo`shish qoidasi.  

2. Birgalikda bo`lgan hodisalar ehtimolliklarini qo`shish qoidasi.       

3. Bog`liqsiz hodisalar ehtimolliklarini ko`paytirish qoidasi. 

 4. Bog`liq hodisalar ehtimolliklarini ko`paytirish qoidasi. 

  O`quv mashg`ulotining maqsadi: Misol va masalalar orqali bog`liq va 

bog`liqsiz  hodisalarning  qo`shish  va  ko`paytirish  qoidasini  o`rganib 

olish. 

O`quv  faoliyatining  natijasi:1.Misol  va  masalalarni  yechish  orqali 

birgalikda bo`lmagan hodisalar ehtimollikning qo`shish qoidasi haqidagi tasavvuri 

kengayadi. 

2. Misol va masalalar orqali birgalikda bo`lgan hodisalar ehtimolliklarini qo`shish 

qoidasini tushunib oladi.  

3.  Misol  va  masalalar  orqali  bog`liqsiz    hodisalar  ehtimolliklarini  ko`paytirish 

qoidasini, ularni ajrata bilishni o`rgarib oladi. 

4.Misol  va  masalalar  orqali    bog`liqli  hodisalar  ehtimolliklarini  ko`paytirish 

qoidasini, ularni ajrata bilish o`rgarib oladi.

 

                                                                              

 

 

                    2- ilova 

―

CHalkashtirilgan mantiqiy zanjirlar ketma-ketligi

‖ interfaol metodi  

 

 

  

n

n

n

Р

n















)

1

(

2

1

!

 

( )

A

P A





 

)!

(

!

m

n

n

А

m

n





   

  

)!

(

!

!

m

n

m

n

С

m

n





 





 

 

 

 

 

,

1

1

.

P A

A

P

P A

P A

P A

P A











 

 





 

 





P A

B

P A

P B

P A

B











 

(

)

( / )

( )

P AB

P A B

P B



 

Kombinatorika formulalari                  Ehtimollik formulalari 

 

 

 

 

  3-  ilova   

Murakkab  hodisaning  ehtimolliklarini  oddiy  hodisalarning  ehtimolliklarini 

hisoblash orqali topiladi.  

Birgalikda  bo`lmagan  hodisalarning  ehtimolliklarini  qo`shish  qoidasi. 

Ikkita birgalikda bo`lmagan hodisadan istalgan birining ro`y berish ehtimolligi bu 

hodisalar ehtimolliklarining yig`indisiga teng:  

(

)

( )

( )

P A B

P A

P B







 

Natija:  Har  ikkitasi  birgalikda  bo`lmagan  bir  nechta  hodisalardan  istalgan 

birining ro`y berish ehtimolligi bu hodisalar ehtimolligining yig`indisiga teng. 

1

2

1

2

(

...

)

(

)

(

) ...

(

)

n

n

P A

A

A

P A

P A

P A



 





 

 

1-masala: Idishda 40 ta shar bor, ulardan 15tasi oq rangda, 5 tasi yashil rangda, 20 

tasi sariq rangda. Rangli shar chiqish ehtimolligini toping. 

Yechilishi: Rangli shar chiqishi bu yashil shar yoki sariq shar chiqishini bildiradi. 

          A= 



yashil shar chiqish hodisasi



 

         B= 



sariq shar chiqish hodisasi



 

 Ularning mos ravishda ehtimolliklari 

8

1

40

5

)

(





A

P

                   

2

1

40

20

)

(





B

P

 

 

A va  B hodisalar birgalikda emas ( bir rangli shar chiqishi boshqa rangli shar 

chiqishini yo`qqa chiqaradi). 

     Izlanayotgan ehtimollik quyidagiga teng 

                                

8

5

2

1

8

1

)

(

)

(

)

(













В

Р

А

Р

В

A

P

                                           

 

                                                                                                                       3.1- 

ilova 

 

Masalalarni yeching 

1. Buyumlar partiyasidan tovarshunos oliy nav buyumlarni ajratmoqda. 

Tavakkaliga olingan buyumning oliy nav bo`lish ehtimolligi 

8

,

0

ga teng. 

Tekshirilgan uchta buyumdan faqat ikkitasi oliy nav bo`lish    ehtimolligini  toping. 

Javob: 

384

,

0

 

2. Uchta o`yin soqqasi tashlangan. Tushgan yoqlarning har birida 4 ochko bo`lish   

ehtimolligini  toping. Javob: 

3

6

1

  

3.  Yetti  qavatli uy liftiga birinchi qavatda 3 kishi kirdi. Ularning har biri, ikkinchi 

qavatdan boshlab, istalgan qavatida liftdan chiqishi mumkin. Quyidagi 

hodisalarning ehtimolligini  toping: 

a) hamma yo`lovchilar 4 qavatda tushadi; 

b) hamma yo`lovchilar bitta  qavatda tushadilar; 

c) hamma yo`lovchilar turli qavatlarda tushadilar. Javob: 

54

5

,

36

1

,

216

1

 

                                                                              

 

 

      4- 

ilova 

Birgalikda  bo`lgan  hodisalar  ehtimolliklarini  qo`shish  qoidasi.            Ikkita 

birgalikda  bo`lgan  hodisadan  kamida  bittasining  (hech  bo`lmaganda  birining) 

ro`y berish ehtimolligi bu hodisalar ehtimolliklari yig`indisidan ularning birgalikda 

ro`y berish ehtimolligini ayrilganiga  teng: 

(

)

( )

( )

(

)

(1)

P A B

P A

P B

P AB









 

Bu  qoida  istalgan  chekli  sondagi  birgalikda  bo`lgan  hodisalar  uchun 

umumlashtirilishi mumkin. masalan, uchta birgalikda bo`lgan hodisa uchun:  

(

)

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

P A B C

P A

P B

P C

P AB

P AC

P BC

P ABC

 















 

2

n



bo`lganda bu formula quyidagi ko`rinishda bo`ladi:  

1

2

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

(

)

(

)

(

)

(

) ... ( 1)

(

...

)

n

n

n

n

n

n

n

n

k

k

k

j

k

j

s

n

k

k

k

j

k

k

j

k

s

j

P

A

P A

P A

A

P A

A

A

P A A

A













 







 













  





 

  

 

Natija. Qarama- qarshi hodisalarning ehtimolliklari yig`indisi birga teng:  

( )

( )

1

P A

P A





 

Bundan  

( )

1

( )

P A

P A

 

 

2-masala. Ikkita ovchi bir paytda bir- biriga bog`liq bo`lmagan holda tulkiga 

qarata  o`q  uzishdi.  Ovchilardan  hech  bo`lmaganda  biri  o`qni  nishonga  tekkizsa, 

tulki  otib  olingan  bo`ladi.  Birinchi  ovchining  nishonga  urish  ehtimolligi  0,8  ga, 

ikkinchisiniki  0,6  ga  teng  bo`lsa,  hech  bo`lmaganda  bitta  ovchining  nishonga 

tekkazish ehtimolligini toping.  

Yechilishi:          1-usul.  

A = { birinchi ovchining nishonga tekkazish hodisasi}. 

B = { ikkinchi ovchining nishonga tekkazish hodisasi}. 

C=A+B={ hech bo`lmaganda bitta ovchining nishonga tekkazish hodisasi}. 

U holda  

( )

( )

( )

(

)

P C

P A

P B

P AB







 

AB ikkala ovchi nishonga tekkazadi.  

A va B hodisalar bog`liq bo`lmagan hodisalar. Shuning uchun  

( )

( )

( )

( )

( )

0.8 0.6 0.8 0.6

0.92

P C

P A

P B

P A P B



















 

           2-usul. 

Hech bo`lmaganda bitta ovchining nishonga tekkazish hodisasi va nishonga 

tegmaganlik hodisasi bir-biriga qarama-qarshi hodisalardir. Shuning uchun  

( )

1

( )

1 0.8

0.2

P A

P A

 

 



 

( )

1

( )

1 0.6

0.4

P B

P B

 

 



 

( )

(

)

1

( )

( )

1 0.2 0.4 1 0.08

0.92

P C

P A

B

P A P B





 



 



 



 

 

 

4.1- ilova 

―Besh minutlik esse‖ interfaol metodi qo`llaniladi 

 

 

 

        5- ilova 

1-Ta`rif.  A    hodisaning  B  hodisa  ro`y  berdi  degan  shartda  hisoblangan 

ehtimolligi  A    hodisaning  B  hodisa  ro`y  berish  shartidagi  shartli  ehtimolligi 

deyiladi va 

)

( А

Р

В

 bilan belgilanadi.  

2-Ta`rif. Agar A  hodisaning ehtimolligi B hodisaning ro`y bergan yoki ro`y 

bermaganligiga bog`liq bo`lmasa, A hodisa B hodisaga bog`liq emas deyiladi. 

3-Ta`rif. Agar A  hodisaning ehtimolligi B hodisaning ro`y bergan yoki ro`y 

bermaganligiga bog`liq ravishda o`zgarsa, A hodisa B hodisaga bog`liq deyiladi. 

Bog`liqsiz hodisalar ehtimolliklarini ko`paytirish qoidasi. Ikkita bog`liqsiz 

hodisaning  birgalikda  ro`y  berish  ehtimolligi  bu  hodisalar  ehtimolliklarini 

ko`paytirganiga teng:          

(

)

( )

( )

P AB

P A P B





 

Natija:  Bir  nechta  bog`liqsiz  hodisalarning  birgalikda    ro`y  berish 

ehtimolligi bu hodisalar ehtimolliklarini ko`paytirilganiga teng. 

1

2

1

2

(

...

)

(

)

(

) ...

(

)

n

n

P A A

A

P A

P A

P A



 





 

 

Bog`liq  hodisalar  ehtimolliklarini  ko`paytirish  qoidasi.  Ikkita  bog`liq 

hodisaning  birgalikda  ro`y  berish  ehtimolligi  ulardan  birining  ehtimolligini 

ikkinchisining shartli ehtimolligiga ko`paytirilganiga teng: 

(

)

( )

( )

A

P AB

P A P B





 

Natija:  Bir  nechta  bog`liq  hodisalarning  birgalikda    ro`y  berish  ehtimolligi 

ulardan 

birining 

ehtimolligini 

qolganlarining 

shartli 

ehtimolliklari 

ko`paytirilganiga  teng.  Shu  bilan  birga,  har  bir  keyingi  hodisaning  ehtimolligi 

oldingi hamma hodisalar ro`y berdi degan farazda hisoblanadi: 

1

1

2

1

2

1

1

2

3

1

2

3

...

(

...

)

(

)

(

)

(

)...

(

)

n

n

A

A A

A A

A

n

P A A

A

A

P A

P

A

P

A

P

A







 









 

bu  erda 

1

2

1

...

n

A A

A

P



- 

n

A

hodisaning 

1

2

1

,

,...

n

A A

A



  hodisalar  ro`y  berdi  degan 

farazda hisoblangan ehtimollik. 

Hech  bo`lmaganda  bitta  hodisaning  ro`y  berish  ehtimolligi  (1)  formula 

orqali  hisoblashimiz  mumkin.  Biroq  hodisalar  soni  hali  uncha  katta 

bo`lmagandayoq, bu  formuladan  foydalanish  katta  hisoblash  ishlari  bilan  bog`liq. 

Shu sababli bu ehtimollikni hisoblash uchun boshqa formuladan foydalaniladi.  

Birgalikda  bog`liq  bo`lmagan 

1

2

,

,...

n

A A

A

  hodisalarning  hech  bo`lmaganda 

bittasining  ro`y berishidan iborat A hodisaning ehtimolligi  

1

2

1

2

( )

(

...

)

1

...

n

n

P A

P A

A

A

q q

q





 

 

 ga teng. 

Bu yerda     

1,

( )

( ) 1

(

),

1,

i

p

q

P A

P A

q

P A

i

n



 









 

Xususan, 

1

2

,

,...

n

A A

A

  hodisalar 

р

  ga  teng  bir  xil  ehtimollikka  ega  bo`lsa,  u 

holda ulardan xech bo`lmaganda bittasining ro`y berish ehtimolligi  

( ) 1

(

1

)

n

P A

q

q

p

 

 

 ga teng.  

3-masala. Uchta yashikning har birida 20 tadan detal bor. Birinchi yashikda 

10  ta,  ikkinchi  yashikda  12  ta,  uchinchi  yashikda  8  ta  standart  detal  bor.  Har  bir 

yashikdan tavakkaliga bittadan detal olinadi. Olingan uchala detal standart bo`lish 

ehtimolligini toping. 

Yechilishi:  

A = { birinchi yashikdan standart detal olinganlik hodisasi}. 

10

1

( )

20

2

P A





 

B = { ikkinchi yashikdan standart detal olinganlik hodisasi }. 

12

3

( )

20

5

P B





 

C={ uchinchi yashikdan standart detal olinganlik hodisasi }. 

8

2

( )

20

5

P C





 

A, B , C hodisalar birgalikda bog`liq bo`lmagan hodisalar bo`lgani uchun 

izlanayotgan ehtimollik ko`paytirish qoidasiga ko`ra: 

1 3 2

3

(

)

( )

( )

( )

0,12

2 5 5

25

P ABC

P A P B P C







   



 teng bo`ladi.