1 Mavzu Tasodifiy hodisalar ustida amallar. Ehtimollikning klassik ta‟rifi

 

               4- ilova 

 

1) 

Agar 

,

3





Е

16





D

 ekanligi ma`lum bo`lsa, normal taqsimlangan  



 tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini toping. 

Javob: 

2

(

3)

32

1

( )

4 2

х

f x

е









.  

2) 



 uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi 

)

(x

f

 bilan berilgan: 















.

0

,

5

,

0

,

0

)

(

5

x

agar

e

x

agar

x

f

x

     



Е

ni toping. Javob: 

2

,

0





Е

. 

3)  Qopda  7  ta  olma  bo`lib,  ularning  to`rttasi  oq,  qolganlari  qizil.  Qopdan 

tavakkaliga  3  ta  olma  olinadi.   



-  olingan  oq  olmalar  soni. 



Е

  ni  toping.  

Javob: 



Е

=

7

5

1

. 

4) 



 tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan: 



:     -1       2       3 

P:     0,3     0,2    0,5  matematik kutilmasini toping. Javob: 



Е

=

6

,

1

. 

5) 



  tasodifiy  miqdor 

 

1

;

0

  kesmada 

2

3

)

(

х

x

f



  zichlik  funksiyasi  bilan  berilgan, 

bu kesmadan tashqarida 

0

)

(



x

f

. Matematik kutilmasini toping.Javob: 



Е

=

75

,

0

. 

 

 

      4.1- ilova 

Testlarni yeching 

1.MX=8 va MY=12 bo`lsa, Z=2X+4Y tasodifiy miqdorning matematik 

kutilmasini toping? 

 

A) MZ=64      B) MZ=73  C) MZ=72 

D) MZ=24 

2.O`zgarmas miqdorning matematik kutilmasi nimaga teng? 

 

A)MS=0 B)MC=C

2

 

C)MC=1 

D)MC=C 

3.Nishonga karata bitta uk uzilgan. Ukning nishonga tegishi extimoli, 0,7 ga 

teng. Ukning nishonga tegmaslik extimolini toping. 

 

A)0,5   B)0,2 

C)0 

D)0,3 

4.Agar tanlanmaning dispersiyasi 6,25 ga teng bulsa, uning urta kvadratik 

chetlanishi kanchaga teng? 

A)2,5      B)5,1 

C)6 

D)0,25

 

 

 

5- ilova 

1.  



 diskret tasodifiy miqdor ushbu taqsimot qonuni bilan berilgan: 



:      1        2      4 

P:     0,1     0,3    0,6   

Dispersiyani toping.Javob: 1,29 

2. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan. 



:   –1      0     1      2 

P:   0,2   0,1  0,3  0,4 

Tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping. 

3.  Quyidagi  taqsimot  qonuni  bilan  berilgan 

X

  diskret  tasodifiy  miqdorning 

kvadratik chetlanishini toping:                                                                              

  

 

 X         1           2           3          4            5    

           P        0,1        0,2        0,3       0,3         0,1 

4. 



  parametrli  eksponensial  qonun  bo`yicha  taqsimlangan 



  tasodifiy 

miqdorning dispersiyasini toping. Javob: 

2

1



 

 

 

       6- ilova 

Uyga vazifa 

1.  Quyidagi  taqsimot  qonuni  bilan  berilgan 



  diskret  tasodifiy  miqdorning 

matematik kutilmasini toping:     

       



:   0     1     3  

       P: 1/6  2/3  1/6 

A) 4/3       B)1/3     C)1       D)7/6 

2.  Quyidagi  taqsimot  qonuni  bilan  berilgan 



  diskret  tasodifiy  miqdorning 

matematik kutilmasini toping:     

     



:   –4    6     10  

     P:  0,2   0,3   0,5 

A) 3       B)0,8     C)6       D)1/6 

      3.  Quyidagi  taqsimot  qonuni  bilan  berilgan 



  diskret  tasodifiy  miqdorning 

matematik kutilmasini toping:   

     



:   0,21   0,54     0,61  

     P:   0,1     0,5       0,4 

A) 5      B)0,5     C)0,535       D)0,631 

4.Agar 



 va 



 ning matematik kutilmasi ma`lum bo`lsa, 



 tasodifiy miqdorning 

matematik kutilmasini toping: 



=



+2



, E



=5, E



=3. 

A) 10       B)11     C)30       D)12 

5. 



 diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan: 

    



:  –1     0      1        2 

    P:  0,2   0,1   0,3    0,4  

Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping. 

A) 0,9      B)0,4     C)0,5       D)0,3 

 

9.1 Mavzu 

Katta sonlar qonuni (Bernulli  teoremasi, Chebishev 

teoremasi). Markaziy  limit teorema. 

O`quv mashg`ulotida talim texnologiyasi modeli 

Mavzu  (raqami)  ……9.1……(nomi)…  Katta  sonlar  qonuni  (Bernulli  

teoremasi, Chebishev teoremasi). Markaziy  limit teorema. 

Vaqt 2 soat  

Talabalar soni 30 ta  

Mashg`ulot shakli 

Amaliy mashg`ulot 

Mashg`ulot rejasi  

1.  Chebishev  tengsizligiga  doir  masalalar 

yechish.  

2. Katta sonlar qonuniga masalalar yechish.       

3.  Markaziy  limit  teoremaga  masalalar 

yechish. 

O`quv mashg`ulotining maqsadi 

Masalalar  yechish  orqali  katta  sonlar  qonuni 

va  markaziy  limit  teoremani    o`rganish,uning 

axamiyatini misollar yordamida ochib berish. 

Pedagogik vazifalar: 

O`quv faoliyati natijalari 

1.  Masalani  yechib  ko`rsatish 

orqali  Chebishev  tengsizligini   

yoritib beradi. 

2.  Masalani  yechib  ko`rsatish 

orqali  katta  sonlar  qonuni  haqida 

tushuncha berish. 

3.  Misol  va  masalalar  orqali 

markaziy limit teoremasini 

haqida tushuncha berish 

1. Masalalarni yechish  orqali Chebishev 

tengsizligi   haqidagi tasavvurlari kengayadi. 

 

2.  Masalalar  yechish  orqali  katta  sonlar 

qonunini bilib oladilar.  

 

3.  Masalalar  yechish    orqali  markaziy  limit 

teoremasini,  ularni  ajrata  bilishga  harakat 

qiladilar. 

O`qitish vositalari  

O`quv  majmua,  masala  kitobi,  doska,  bo`r  , 

proektor. 

O`qitish usullari 

Tushuntirish,  muammoli  dars,analiz,  sintez, 

munozara,  ―

Aqliy  hujum

‖,―

B/BX/B

‖  interfaol 

metodlari   

O`qitish shakllari 

Ommaviy  

O`qitish sharoiti 

Auditoriya, doska, elektr ta`minoti 

 

Mavzu bo`yicha o`quv mashg`ulotining texnologik xaritasi  

 

Ish 

bosqichlari 

O`qituvchi faoliyatining mazmuni 

Tinglovchi  faoliyatining 

mazmuni 

1-bosqich 

Mavzu 

kirish 

(10 minut) 

1.1.  O`quv  mashg`ulotining  mavzusi, 

maqsadi  va  rejasini  tanishtiradi.  (1-

ilova). 

 

Mavzu  nomi,  rejasini 

yozib oladilar. 

 

2-bosqich. 

Asosiy 

bo`lim 

(60 minut) 

2.1. Ehtimollik formulalarini yoritish 

o`qituvchi tomonidan ―muammoli 

usulda‖ va  ―aqliy hujum‖ usulida misol 

va masalalar orqali bayon qilinadi.(2-

ilova) 

2.2. Misol va masalalar orqali Chebishev 

tengsizligi 

to`g`risidagi 

ma`lumotlar 

beriladi. (3- ilova) 

2.3.  Misol  va  masalalar  orqali  katta 

sonlar qonunini o`rganadilar.(4-ilova) 

2.4. Markaziy limit teorema 

misol va masalalar orqali o`rganadilar. 

Tinglaydilar, 

―Aqliy 

hujum‖ 

da 

ishtirok 

etadilar. 

 

Yozadilar 

 

 

Misol 

va 

masalalarni 

yechadilar 

Misol 

va 

masalalarni 

yechadilar 

 

(5-ilova) 

3-bosqich. 

Yakunlovchi 

(10 minut) 

3.1. 

Mavzu 

bo`yicha 

yakunlovchi 

xulosalar qilinadi. 

3.2.Mavzu  bo`yicha  masalalar  ro`yxati 

beriladi.(6, 6.1- ilovalar) 

3.3.Mavzu  bo`yicha  mustaqil  o`rganish 

bo`yicha topshiriqlar beriladi.(7- ilova) 

Savollar beriladi. 

 

Yozadilar 

 

Yozadilar  

 

 

 

1- ilova 

Mavzu: Katta sonlar qonuni (Bernulli  teoremasi, Chebishev teoremasi). 

Markaziy  limit teorema. 

REJA 

1. Chebishev tengsizligiga doir masalalar yechish.  

2. Katta sonlar qonuniga masalalar yechish.       

3. Markaziy limit teoremaga masalalar yechish. 

O`quv  mashg`ulotining  maqsadi:  Masalalar  yechish  orqali  katta  sonlar 

qonuni  va  markaziy  limit  teoremani    o`rganish,uning  axamiyatini 

misollar yordamida ochib berish.   

O`quv faoliyatining natijasi: 1. Masalalarni yechish  orqali Chebishev tengsizligi   

haqidagi tasavvurlari kengayadi. 

2.Masalalar yechish orqali katta sonlar qonunini bilib oladilar. 

3.  Masalalar  yechish    orqali  markaziy  limit  teoremasini,  ularni  ajrata  bilishga 

harakat qiladilar.

 

 

                                                                               

 

     2- ilova 

 

Ehtimollik  formulalarini aqliy xujum usulda yoriting 

                  Doirachalarni to`ldiring 

 

 

 

 

 

 

        3- ilova   

1-teorema.  (Chebishev  tengsizligi).    Chekli  dispersiyaga  ega  bo`lgan 



 

tasodifiy miqdor va 

0





uchun quyidagi tengsizlik o`rinli: 





2

D

P





 



  



. 

Eslatma. Chebishev tengsizligini quyidagi  





2

1

D

P

E





 







 

 

ko`rinishda ham yozish mumkin, ya`ni 



 tasodifiy miqdor o`zining 

E



 matematik 

kutilmasidan  chetlashishining  absolyut  qiymati  musbat 



  dan  kichik  bo`lish 

ehtimolligi 

2

1

D







 dan kichik emas. 

Misol.  Matematik  kutilmasi 

a

  va  dispersiyasi 

2



  bo`lgan 



  tasodifiy  miqdor 

berilgan  bo`lsin. 



  tasodifiy  miqdor  o`zining  matematik  kutilmasidan 

3



  ga 

chetlanish ehtimolligini yuqoridan baholang. 

Yechish. Chebishev tengsizligida 

3







 deb olamiz.U holda 





2

1

3

9

9

D

P

a









 





 bo`ladi.  

Yuqorida keltirilgan tengsizlikni matematik statistikada 



3

 qoidasi deyiladi. 

 

 

 

 

 

 

 

Ehtimol 

klassik 

formula 

 Ehtimollik  

formulalari 

 

            

4- 

ilova 

2-teorema.  (Chebishev  formasidagi  katta  sonlar  qonuni).  Agar 

1

2

,

,... ,...

n

 



 tasodifiy miqdorlar juft-jufti bilan bog`liq bo`lmagan bo`lib, ularning 

dispersiyalari  o`zgarmas 

C

  son  bilan  tekis  chegaralangan  (

i

D

C





  ixtiyoriy 

i

 

uchun, 

1,2,...

i



)  bo`lsa,  u  holda  ixtiyoriy 

0





  uchun  quyidagi  tenglik  o`rinli 

bo`ladi: 

1

1

1

1

lim

0

n

n

i

i

n

i

i

P

E

n

n



































, 

ya`ni 

1

2

,

,... ,...

n

 



 tasodifiy miqdorlar katta sonlar qonuniga bo`ysunadi. 

n

ta bog`liqsiz tajribalar o`tkazilgan bo`lib, ularning har birida A hodisaning 

ro`y berish ehtimolligi o`zgarmas 

p

 soniga  teng bo`lsin. 

3-teorema (Bernulli teoremasi). Bog`liqsiz tajribalar soni 

n

 ortishi bilan A 

hodisaning 

n

  ta  tajribada  ro`y  berish  nisbiy  chastotasi 

m

n

,  uning  bitta  tajribada 

ro`y  berish  ehtimolligi 

p

  ga  ehtimollik  bo`yicha  yaqinlashadi,  ya`ni  ixtiyoriy 

0





 son uchun 

1

m

P

p

n







 











. 

Teorema  shartlari bajarilganda  va 

n

  chekli  bo`lganda 

m

n

 tasodifiy  miqdor 

uchun  

m

E

p

n

  

 

 

 va 

m

pq

D

n

n

  

 

 

 

bo`ladi.  U  holda 

m

n

  tasodifiy  miqdor  uchun  Chebishev  tengsizligi  quyidagi 

ko`rinishda bo`ladi 

2

1

m

pq

P

p

n

n









 

 









  

 

 

 

(*) 

va  bu  tengsizlikdan  teoremaning  isboti  kelib  chiqadi  (

n

  cheksizlikka  intilganda 

ixtiyoriy kichkina 



 uchun 

2

pq

n



 nolga, 

m

P

p

n







 









 ehtimollik birga intiladi). 

Bernulli teoremasi ko`rsatadiki, tajribalar soni 

n

 etarlicha katta bo`lganida, 

hodisa  ro`y  berishining  nisbiy  chastotasi 

m

n

  o`zining  tasodifiylik  ma`nosini 

yo`qotadi  va  berilgan  hodisaning  ehtimolligi  o`zgarmas  son 

p

    ga  yaqinlashadi. 

Bu esa tasodifiy tajribalar uchun muqarrarlik prinsipini ifoda etadi. 

 1-misol. Mahsulotlar partiyasini nosozlikka tekshirish uchun 1000 mahsulot 

tanlab  olingan.  Agar  har  10000  ta  mahsulotga  o`rtacha  500  ta  nosoz  mahsulot 

to`g`ri  kelsa,  olingan  tanlanma  orqali  topilgan  nosoz  mahsulotlar  ulushi  absolyut 

qiymat  bo`yicha  mahsulotlar  partiyasining  nosozlik  ulushidan  0,01  dan  kichik 

farqqa ega bo`lish ehtimolligini baholang. 

Yechish.  Masalaning  shartlari  bo`yicha  bog`liqsiz  tajribalar  soni 

1000

n



, 

500

0,05

10000

p





, 

1 0,05 0,95

q

 



, 

0,01





  va 

0,01

m

p

n





 









  hodisaning 

ehtimolligini baholash kerak.  

(*) formula bo`yicha 

2

0,05 0,95

0,01

1

1

0,527

1000 0,0001

m

pq

P

p

n

n









 

 

 













 

bo`ladi. Demak, tanlanmadagi nosozliklar ulushi (nosozlik ro`y berishining nisbiy 

chastotasi)  mahsulotlar  partiyasidagi  nosozliklar  ulushidan  (nosozlik  ehtimolligi) 

0,01 dan kichik farqlanishining ehtimolligi 0,527 dan kichik bo`lmas ekan.   

 

 

         5- ilova 

Misol.  Tajriba  sizot  suvlarning  chuqurligini  (yer  yuzasidan)  o`lchashdan 

iborat  bo`lsin.  Albatta  o`lchash  natijasida  yo`l  qo`yiladigan  xatolar  juda  ko`p 

faktorlarga bog`liq. Bu faktorlarning har biri ma`lum xatoga olib kelishi mumkin. 

Lekin,  o`lchashlar  soni  yetarlicha  katta  bo`lib,  ular  bir  xil  sharoitda  olib  borilsa, 

o`lchashda  kuzatilayotgan  xatolik  tasodifiy  miqdor  bo`lib,  juda  ko`p  sondagi, 

kattaligi  jihatidan  sezilarsiz  va  o`zaro  bog`liq  bo`lmagan  tasodifiy  xatolar 

yig`indisidan  iborat  bo`ladi.  O`lchashlar  natijasida  bu  xatolarning  birgalikdagi 

ta`siri  sezilarli  bo`ladi,  shuning  uchun  ham  tasodifiy  miqdorlar  yig`indisining 

taqsimotini topish katta ahamiyatga egadir. 

Ta`rif. 

1

2

,

,...,

,...

n

 



tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo`lsin. Agar 

shunday 

   

,

,

0

n

n

n

A

B

B



 sonlar ketma-ketligi mavjud bo`lsaki, 

n

 

 da  

2

1

2

...

1

2

x

u

n

n

n

A

P

x

e

du

B















 

















 

munosabat 





,

x

   

  da  bajarilsa, 

1

2

,

,...,

,...

n

 



  tasodifiy  miqdorlar  ketma-

ketligi uchun markaziy limit teorema o`rinli deyiladi. Bu holda 

1

2

...

n

n

n

A

B

 





 



 

tasodifiy miqdor 

n

 

 da asimptotik normal taqsimlangan deyiladi.  

 

2. Matematik kutilmasi a va dispersiyasi 

2



 bo`lgan bog`liq bo`lmagan, bir 

xil  taqsimlangan 

 

n



  tasodifiy  miqdorlar  ketma-ketligi  berilgan  bo`lsin. 

Umumiylikka  zarar  keltirmasdan 

2

0,

1

a







  deymiz.  Quyidagi  tasodifiy 

miqdorlarni kiritamiz:    

1

2

...

,

n

n

n

n

S

S

n

 





 

 



. 

1-teorema. Yuqorida keltirilgan 

 

n



 ketma-ketlik uchun 

n

 

 da  





2

2

1

2

x

u

n

P

x

e

du















 

munosabat ixtiyoriy 

(

)

x x

R



 da bajariladi.  

 

 

6-ilova 

 

1. 



  tasodifiy  miqdor  ushbu 

1,

0,04

E

D









  xarakteristikalarga  ega.  





0,5

1,5 ,

A





 





0,75

1,35 ,

B





 

 





2

C







  hodisalar  ehtimolligini 

quyidan baholang.  

 

Javob: 

( )

0,84;

( )

0,36;

( )

0,96

P A

P B

P C







. 

2. Biror tayin joyda 1 yildagi quyoshli kunlar soni  X, o`rta qiymati 100 kun 

va  o`rtacha  kvadratik  chetlanishi  20  kun  bo`lgan  tasodifiy  miqdor  bo`lsin. 

Quyidagi  hodisalar  ehtimolliklarini  yuqoridan  baholang: 





150 ,

A

X





 





200

B

X





  Javob: 

( )

0,16,

( )

0,04

P A

P B





. 

3. 

1

2

,

,...

 

 bog`liqsiz tasodifiy  miqdorlar ketma-ketligi bo`lib, 

, 0

n

n



 va 

n



 qiymatlarni mos ravishda 

1

1

1

, 1

,

2

2

n

n

n



 ehtimolliklar bilan qabul qiladi. Bu 

ketma-ketlik uchun katta sonlar qonuni bajariladimi? Javob: bajariladi. 

4. 

1

2

,

,...

 

 bog`liqsiz tasodifiy  miqdorlar ketma-ketligi bo`lib, 

, 0

n

n





 va 

n

 qiymatlarni mos ravishda 

2

2

2

1

1

1

, 1

,

2

2

n

n

n



 ehtimolliklar bilan qabul qiladi. Bu 

ketma-ketlik uchun katta sonlar qonunini qo`llash mumkinmi? Javob: ha. 

5. 

1

2

,

,...

 

  bog`liqsiz  tasodifiy  miqdorlar  ketma-ketligi  bo`lib, 

, 0,

n

n

n





 

qiymatlarni  mos  ravishda 

1 1 1

,

,

4 2 4

  ehtimolliklar  bilan  qabul  qiladi.  Bu  ketma-

ketlik uchun katta sonlar qonunini qo`llash mumkinmi? Javob: yo`q. 

6. 

1

2

,

,...

 

 matematik kutilmalari va dispersiyalari chekli bo`lgan bog`liqsiz 

va bir hil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bo`lsin. Ixtiyoriy haqiqiy 

son  x  uchun  quyidagi 





1

lim

...

n

n

P

x







 



  limit  yoki  0  yoki  1  yoki  ½  ga  teng 

ekanligini isbotlang. Ushbu vaziyatlar bajariladigan shartlarni ko`rsating. 

Javob: 

0

 agar 

1

0; 1

E





agar 

1

0; 1/ 2

E





 agar 

1

0

E





. 

7. 

1

2

,

,...

 

  matematik  kutilmalari  0  va  dispersiyalari  chekli  bo`lgan 

bog`liqsiz  va  bir  hil  taqsimlangan  tasodifiy  miqdorlar  ketma-ketligi  bo`lsin, 

1

...

n

n







  

. Agar  

1

lim

1

3

n

n

P

n









 









 bo`lsa 

i

D



 ni toping. 

Javob: 

1

;

i

D

x





 bu yerda 

x

 soni 

2

( )

3

Ф х



 tenglamaning yechimi. 

8. 

1

2

,

,...

 

 

bog`liqsiz 

tasodifiy 

miqdorlar 

ketma-ketligi 

bo`lsin, 

1

...

n

n







  

.  Agar 

n



  tasodifiy  miqdor   

[

1,

1]

n

n

a

a





  oraliqda  tekis 

taqsimlangan  bo`lib, 

1

2

,

,...

a a

  haqiqiy  sonlar  ketma-ketligi  uchun 

i

a

A

  



 

bo`lsa, u holda 

lim

0

1

n

n

P

n





















 ni toping

. Javob: 

 

1

3

3

Ф



.