1 Mavzu Tasodifiy hodisalar ustida amallar. Ehtimollikning klassik ta‟rifi

Diskret tasodifiy miqdorlar ustida amallar. 

1.  Tasodifiy  miqdorning  funksiyasi.  X  taqsimot  qonuni  ma`lum  bo`lgan 

tasodifiy miqdor bo`lsin: 

1

2

1

2

:

...

:

...

n

n

X

x x

x

P

p

p

p

 

( )

y

f x



    esa  bu  miqdorning  barcha  mumkin  bo`lgan  qiymatlari  yotadigan 

sohada  aniqlangan  monoton  funksiya  bo`lsin.  U  holda 

( )

Y

f x



  yangi  diskret 

miqdor  bo`ladi,  uning  mumkin  bo`lgan  qiymatlari 

1

2

( ), ( ),...

f x

f x

  bo`lib,  shu  bilan 

birga  Y    tasodifiy  miqdorning 

( )

i

f x

qiymatni  qabul  qiladigan  ehtimolligi  X 

tasodifiy  miqdorning 

i

x

  qiymatni  qabul  qiladigan  ehtimolligiga  teng.  Shunday 

qilib,  

( )

Y

f x



 tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni bunday bo`ladi:  

1

2

1

2

:

( )

(

) ...

(

)

:

...

n

n

Y

f x

f x

f x

P

p

p

p

    (1) 

1-masala. Agar X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni  

:

1

0

1

3

:

0,15 0, 25 0, 2 0, 4

X

P



 

bo`lsa, Y=3X tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping.  

 

Yechilishi: (1) formulaga asosan quyidagiga teng: 

:

3

0

3

9

:

0,15 0, 25 0, 2 0, 4

Y

P



 

Agar 

( )

y

f x



 monoton funksiya bo`lsa, u holda u X ning turli qiymatlarida 

bir  xil  qiymatlar  qabul  qilishi  mumkin.  Bu  holda  oldin  (1)  ko`rinishidagi 

yordamchi  jadval  tuzib  olinadi,  keyin  esa    Y    tasodifiy  miqdorning  bir  xil 

qiymatlari ustunlari birlashtiriladi, bunda mos ehtimolliklar qo`shiladi.  

2-masala. Agar X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni  

:

3

2

1

3

:

0, 2 0,1 0, 4 0,3

X

P





 

bo`lsa, 

2

X

Y



 tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping.  

 

Yechilishi: 

2

X

Y



uchun yordamchi jadval bunday bo`ladi: 

:

9

4

1

9

:

0, 2 0,1 0, 4 0,3

Y

P

 

Demak,   

:

1

4

9

Y

 

              

:

0, 4 0,1 0,5

P

 

2.  Ikkita  tasodifiy  miqdorning  yig`indisi  va  ko`paytmasi.  Ushbu  ikkita 

tasodifiy miqdor berilgan bo`lsin: 

1

2

1

2

:

...

:

...

n

n

X

x x

x

P

p

p

p

     va    

1

2

1

2

:

...

:

...

n

n

Y

y y

y

Q

q q

q

 

1-ta`rif.  X  va 

Y

  tasodifiy  miqdorning  yig`indisi  deb, 

i j

i

i

z

x

y

 

 

ko`rinishdagi qiymatlarni 

(

,

)

ij

i

j

P

P X

x Y

y







 ehtimollik bilan qabul qilinadigan Z 

tasodifiy miqdorga aytiladi.  

Bunda 

(

,

)

ij

i

j

P

P X

x Y

y







  ifoda  X  miqdor 

i

x

, 

Y

  miqdor  esa 

j

y

qiymatni 

qabul  qilish  ehtimolligini,  yoki  boshqacha  aytganda, 

i

X

x



  va 

j

Y

y



 

hodisalarning birgalikda ro`y berish ehtimolligini ifodalaydi.  

Shunday  qilib,  agar  barcha  mumkin  bo`lgan  qiymatlar  turlicha  bo`lsa,  u 

holda 

Z

X

Y

 

 tasodifiy miqdor ushbu ko`rinishdagi taqsimotga ega bo`ladi:  

1

1

1

2

2

1

1

3

2

2

11

12

21

13

22

:

...

:

...

Z

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

P

P

P

P

P

P











   

(2). 

Agar  bir  xil  qiymatli  yig`indilar  bor  bo`lsa,  u  holda  (2)  ko`rinishdagi 

yordamchi  jadval  tuzib  olinadi  va  bir  qiymatli  ustunlar  mos  ehtimolliklarni 

qo`shish bilan birlashtiriladi.  

Tasodifiy miqdorlarning ko`paytmasi qo`shishga o`xshash aniqlanadi, biroq 

bunda (2) jadvalning yuqori satrida yig`indilar o`rnida mos ko`paytmalar turadi.  

2-ta`rif. Agar X va 

Y

  tasodifiy miqdorlar uchun istalgan 

i

X

x



 va 

j

Y

y



 

hodisalar  jufti  bog`liqmas  bo`lsa,  u  holda  X  va 

Y

  bog`liqmas  tasodifiy  miqdorlar 

deb ataladi.  

3-masala. 

Z

X

Y

 

  va 

Z

X Y

 

  tasodifiy  miqdorlarning  taqsimot 

qonunlarini tuzing. X va  U  tasodifiy miqdorlarning taqsimot qonuni quyidagicha:  

:

1

1

:

0, 4

0, 6

X

P



   

 

:

1

2

3

:

0,5

0,3

0, 2

Y

Q

 

Yechilishi: 1) Yig`indi uchun yordamchi jadval tuzamiz: 

:

1 1

1 2

1 3

1 1

1 2

1 3

:

0, 4 0,5

0, 4 0,3

0, 4 0, 2 0, 6 0,5 0, 6 0,3

0, 6 0, 2

Z

P

 

 

 



















 

Bir  xil  qiymatli  yig`indilar  turgan  ustunlarni  birlashtirib,  ulardagi 

ehtimolliklarni qo`shib, ushbu taqsimot qonunini hosil qilinadi: 

:

0

1

2

3

4

:

0, 2

0,12 0,38 0,18 0,12

Z

P

 

0, 2 0,12 0,38 0,18 0,12 1











. 

2) 

Z

X Y

 

 ko`paytmani taqsimot qonunini hosil qilamiz:  

:

1 1

1 2

1 3

1 1

1 2

1 3

:

0, 4 0,5

0, 4 0,3

0, 4 0, 2 0, 6 0,5 0, 6 0,3

0, 6 0, 2

Z

P

 

 

 



















 

Bir xil qiymatli ko`paytmalar turgan ustunlarni birlashtirib, unga mos 

  ehtimolliklarni qo`shib, quyidagini hosil qilamiz: 

:

3

2

1

1

2

3

:

0, 08

0,12 0, 2

0,3

0,18

0,12

Z

P







 

0, 08 0,12 0, 2 0,3 0,18 0,12 1













. 

 

       

 

 

3-

ilova 

 

Agar B  to`plam sifatida 

(

, )

x



 oraliqni olsak, bu holda biz haqiqiy o`qda 

aniqlangan 













( )

(

, )

: ( )

F x

P

x

P

x

P

x





  















  funksiyaga  ega 

bo`lamiz. 

2-ta`rif. 

( )

F x



  funksiya 



  tasodifiy  miqdorning  taqsimot  funksiyasi 

deyiladi. 

Kelgusida,  agar    tushunmovchiliklar  keltirib  chiqarmasa,   

 

F x



  ni 

 

F x

 

kabi yozamiz. 

Quyida  ko`rish  mumkinki,  tasodifiy  miqdorning  taqsimot  funksiyasi  uning 

taqsimotini  to`laligicha  aniqlaydi  va  shu  sababli  taqsimot  o`rniga  ko`p  hollarda 

taqsimot funksiyasi ishlatiladi. 

1-misol. 



  tasodifiy  miqdor  1  va  0  qiymatlarni  mos  ravishda    p    va  q 

ehtimolliklar  bilan  qabul  qilsin  (p+q=1),  ya`ni 





1

p

P







  va 





0

q

P







.  Bu 

holda uning taqsimot funksiyasi 

0, agar

0,

( )

(

)

,

agar

0

1,

1,

agar

1

х

F x

P

x

q

x

х















 









 

bo`ladi. 

2-misol. 

Agar 



 

tasodifiy 

miqdor 

0, 1, 2, ..., n

 

qiymatlarni 









1

, 0

1, 0

n k

k

k

n

P

k

C p

p

p

k

n











 

 

  ehtimolliklar  bilan  qabul  qilsa,  bu 

tasodifiy  miqdor binomial  qonun bo`yicha  taqsimlangan  deyiladi.  Uning taqsimot 

funksiyasi 

 





0,

agar

0,

1

, agar

0

,

1,

agar

n k

k

k

n

k x

x

F x

C p

p

x

n

x

n















 













 

bo`ladi.  Ushbu  taqsimot  bilan  boq`liq  ba`zi  masalalarga  III  bobda  to`liqroq 

to`xtalib o`tamiz. 

3-misol. Agar 



 tasodifiy miqdor 

0, 1, 2, ...

  qiymatlarni  





,

0,

0,1, 2,...

!

k

P

k

e

k

k



















 

ehtimolliklar bilan qabul qilsa, uni Puasson qonuni bo`yicha taqsimlangan 

tasodifiy miqdor deyiladi.Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha aniqlanadi: 

0,

agar

0,

( )

,

agar

0.

!

k

k x

x

F x

e

x

k















 







 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1-

ilova 

Masalarni yeching 



 tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan: 

0,

2,

0,3,

2

3,

( )

0,5,

3

4,

1 ,

4.

agar x

agar

x

F x

agar

x

agar

x







 



 

 









 





3

1







 hodisaning ehtimolligini toping. Javob:__1)'>Javob: 

(1

3)

0,5

P



  

                                               

 

 

                      5- ilova 

x



 lar uchun 

( )

( )

x

F x

f u du









 

ko`rinishiga  ekvivalent  ekanligini  aniqlash  qiyin  emas.  Bunday  xossaga  ega 

bo`lgan taqsimot funksiyasi absolyut uzluksiz deb ataladi.  

 

f(x) funksiya yuqoridagi tengliklardan aniqlanadi va taqsimot zichligi 

(zichlik funksiyasi) deb ataladi. Bu funksiya uchun 

( )

( )

dF x

f x

dx



 tenglik o`rinli

 

 

 

       5.1-ilova 

Masalalarni yeching va turlariga ajrating 

1. Biror mergan uchun bitta o`q uzishda nishonga tegishi ehtimolligi 0,8 ga 

teng  va  o`q  uzish  tartibiga  bog`liq  emas.  5  marta  o`q  uzilganida  nishonga  rosa  2 

marta tegish ehtimolligini toping.  Javob: 0,0512.                                                                 

2.  Tajriba  3  ta  o`yin  kubigini  tashlashdan  iborat  bo`lsin.  5  ta  bog`liqsiz 

tajribada 2 marta 3 ta bir raqami tushish ehtimolligini toping. Javob: 0,00021137. 

3.  Zavod  omborga  5000  ta  sifatli  buyumlar  yubordi.  Har  bir  buyumning 

yo`lda shikastlanish ehtimolligi 0,0002 ga teng. 5000 ta buyum ichidan yo`lda 

A) rosa 3 tasi shikastlanishi ehtimoliligini; 

B) 3 tadan ko`p bo`lmagani shikastlanishi ehtimolligini; 

C) 3 tadan ko`pi shikastlanish ehtimolligini toping. 

Javob: A) 0,06313; B) 0, 981; C) 0,019. 

4. Do`kon 1000 shisha ma`danli suv oldi. Tashib keltirishda 1 ta shishaning 

sinib qolishi ehtimolligini 0,003 ga teng. Do`konga keltirilgan shisha idishlarning: 

A) rosa 2 tasi; 

B) 2 tadan kami; 

C) 2 tadan ko`pi;  

D) hech bo`lmaganda bittasi singan bo`lishi ehtimolligini toping. 

Javob: A) 0,224; B) 0,1992; C) 0,5768; D) 0,95. 

5. Uzunligi 15 sm bo`lgan AB kesma C nuqta bilan 2:1 nisbatda bo`lingan. 

Bu  kesmaga  tavakkaliga  4  ta  nuqta  tashlanadi.  Ulardan  ikkitasi  C  nuqtada 

chaproqqa,  ikkitasi  o`ngroqqa  tushishi  ehtimolligini  toping    (nuqtaning  kesmaga 

tushish  ehtimolligi  kesma  uzunligiga  proporsional  va  uning  joylashishiga  bog`liq 

emas deb faraz qilinadi).  

Javob: 8/27. 

6.  Ishchi  ayol  300  ta  urchuqqa  xizmat  ko`rsatadi. 



  vaqt  oralig`ida  har  bir 

urchuqda  yigirilayotgan  ipning  uzilish  ehtimolligi  0,005  ga  teng.  Uzilishlarning 

eng katta ehtimollik sonini va bu sonning ehtimolligini toping. Javob: 0,2. 

7.  Ayrim  o`q  uzishda  o`qning  nishonga  tegish  ehtimolligi  0,63  ga  teng. 

Nishonga  kamida  10  ta o`qni  0,9 ga  teng  ehtimollik bilan  tekkizish uchun nechta 

o`q o`zish kerak bo`ladi.  Javob: 

20

n



. 

8. t vaqt ichida bitta kondensatorning ishdan chiqishi ehtimolligi 0,2 ga teng. 

t  vaqt ichida 100 ta bir-biriga bog`liqsiz ishlovchi kondensatordan: 

A) kamida 20 tasi ishdan chiqishi; 

B) 28 tadan kami ishdan chiqishi; 

C) 14 tadan 28 tagachasining ishdan chiqish ehtimolligini toping. 

 

Javob: A) 0,55; B) 0,98; C) 0,9. 

9) 



 tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan: 

2

0,

0,

( )

,

0

1,

1 ,

1.

agar

x

F x

x

agar

x

agar

x









 









 

4 ta bog`liq bo`lmagan tajriba natijasida 



 uzluksiz tasodifiy miqdor rosa 3 

marta (0,25;0,75) oraliqqa tegishli qiymat qabul qilishi ehtimolligini toping.  

                                                             Javob: 

4

(3)

0,25

Р



 

 

 

6- ilova 

  

1.  X  diskret  tasodifiy  miqdorning    taqsimot  qonuni  berilgan:  

:

2

1

0

1

2

:

0,1

0, 2

0,3

0,3

0,1

X

P





 

Y

 tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping: 

1) 

1

2





X

Y

 

2) 

1

2





X

Y

 

3) 

2

x

Y



 

Javob:  1)  

5

3

1

1

3

0,1

0, 2

0,3

0,3

0,1







 

2.  Tanga  uch  marta  tashlandi.  X-  gerbli  tomoni  bilan  tushishlar  soni, 

Y

- 

raqamli  tomoni  bilan  tushishlar  soni. 

Z

X

Y

 

  tasodifiy  miqdorning  taqsimot 

qonunini tuzing.  

Javob:  

:

0

1

2

3

4

5

6

1

6

15

20

15

6

1

:

64

64

64

64

64

64

64

X

P

 

             3.  Ikkita  bog`liq  bo`lmagan  X  va   

Y

  tasodifiy  miqdorlarning    taqsimot 

qonuni berilgan:  

 

:

1

0

1

:

0, 2

0,5

0,3

X

P



   

 

:

0

1

2

3

:

0, 2

0, 4

0,3

0,1

Y

P

 

1) 

Z

X

Y

 

 

2) 

Z

X Y

 

 

Javob:  1)  

:

3

2

1

0

1

2

:

0, 01

0, 05

0,35

0, 27

0, 22

0,1

Z

P







 

                2) 

:

2

1

0

1

2

:

0, 06

0,12

0, 69

0,12

0, 01

Z

P





 

4.  X  va   

Y

  diskret  tasodifiy  miqdorlarning    taqsimot  qonuni  berilgan 

bo`lsa, 

Z

X

Y

 

 tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini tuzing.  

 

:

1

7

:

0,8

0, 2

X

P

   

 

:

4

10

:

0, 7

0,3

Y

P

.