1-mavzu. Mavzu. Differensial tenglama. Asosiy tushuncha va ta’riflar. Birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi

Vronskiy determinanti yordamida tekshirish mumkin. funksiyalar oraliqda chiziqli bog’langan bo’lsa, ulardan tuzilgan Vronskiy determinanti no’lga teng bo’ladi. Bu funksiyalar uchun oraliqda tuzilgan Vronskiy determinanti no’ldan farqli bo’lsa ular chiziqli bog’lanmagan bo’ladi.

5. Ikkinchi tartibli o’zgarmas koffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar. Fan va texnika hamda iqtisodning ko’p masalalari (1) tenglamada funksiyalar o’zgarmas sonlar bo’lgan holdagi tenglamalarga keltiriladi. SHuning uchun bu funksiyalar o’zgarmas koffitsientlar bo’lgan holni alohida qaraymiz. Bu holda bir jinsli tenglama

ko’rinishda bo’lib lar o’zgarmas koffitsientlar. Bunday ko’rinishdagi tenglamaga ikkinchi tartibli, o’zgarmas koffitsientli, chiziqli, bir jinsli differensial tenglama deyiladi. (3) ko’rinishdagi tenglamaning yechimini topish bilan qiziqamiz.

funksiyalar (3) tenglamaning oraliqda chiziqli bog’lanmagan yechimlari bo’lsa,

funksiya uning umumiy yechimi bo’ladi, bu yerda ixtiyoriy o’zgarmaslar. Bu funksiyani (3) tenglamaga bevosita qo’yib ko’rsatish mumkin (buni bajarib ko’ring).

1-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechish. Bevosita qo’yish bilan tekshirib ko’rish mumkinki,

berilgan tenglamaning yechimlari bo’ladi. Bu yechimlar chiziqli bog’lanmagan yechimlar bo’ladi, chunki Vronskiy determinanti

Demak, formulaga asosan, funksiya berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.

SHunday qilib, bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topish uchun, uning ikkita chiziqli bog’lanmagan xususiy yechimini topish kifoya.

(3) tenglamaning yechimini , ko’rinishda izlaymiz, bu yerda noma’lum son. bo’lib,(3) tenglamadan

(5)

bo’ladi. (5) tenglik bajarilsa funksiya (3) tenglamaning yechimi bo’ladi.

(5) tenglamaga (3) differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi. Xarakteristik tenglamaning yechimlari

bo’lib, bunda quyidagi uchta hol bo’lishi mumkin:

1) lar haqiqiy va har xil, ya’ni

2) haqiqiy va teng (karrali), ya’ni

3) kompleks sonlar, ya’ni bunda;

.

Har bir holni alohida qaraymiz:

1) bu holda funksiyalar chiziqli bog’lanmagan xususiy yechimlar bo’lib, umumiy yechim

(6)

bo’ladi.

2-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechish. Berilgan tenglamaga mos xarakteristik tenglamani tuzamiz:

Xarakteristik tenglamaning ildizlari

bo’lib, umumiy yechim (6) formulaga asosan

bo’ladi.

2) Ikkinchi holda, xarakteristik tenglamaning ildizlari teng

bitta xususiy yechim bo’ladi. Ikkinchi xususiy yechimni ko’rinishda tanlaymiz. Bu funksiya ham (3) tenglamaning yechimi bo’ladi, haqiqatan ham

ifodalarni (3) tenglamaga qo’yib

tenglikni hosil qilamiz. xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lganligi uchun oxirgi tenglikdagi birinchi qavs aynan no’lga teng, bo’lganligi uchun ikkinchi qavs ham aynan no’lga teng.

Demak, funksiya ham (3) tenglamaning yechimi bo’ladi, hamda yechimlar chiziqli bog’lanmagan (tekshirib ko’ring). Shunday qilib,

(7)

umumiy yechim bo’ladi.

3-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechish. Berilgan tenglamaning xarakteristik tenglamasi

bo’lib, ildizlari bo’ladi (tenglamani yechib ko’rsating). Xarakteristik tenglamaning ildizlari o’zaro teng, (7) formulaga asosan funksiya berilgan tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.

3) Xarakteristik tenglamaning ildizlari kompleks, qo’shma:

bo’lganda xususiy yechimlarni

ko’rinishda olish mumkin. Bu ifodalarga