Termiz davlat universiteti fizika- matematika fakulteti matematik tahlil kafedrasi



Download 0.82 Mb.
bet4/9
Sana25.06.2017
Hajmi0.82 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9
b =

аm1 аm2 аmn bm
deb belgilab olsak, (1) dan

А(1) x1+ А(2) x2 + ... +А(n) xn =b (3)

ni hosil qilamiz. (Ma'lumki vektorni songa ko'paytirish uchun uning barcha koordinatalari shu songa ko'paytiriladi).

Agar (1) sistema yechimga ega bo'lsa, bunday sistemaga birgalikdagi sistema, yechimga ega bo'lmasa birgalikda bo'lmagan sistema deyiladi. Agar (1) sistema faqat bitta yechimga ega bo'lsa, o'nga aniq sistema, cheksiz ko'p yechimga ega bo'lsa, (1) ga aniqmas sistema deyiladi. (Tushunarliki, (1) sistema yechimga ega bo'lsa ,u yagona yechimga ega yoki cheksiz ko'p yechimga ega bo'ladi).

М: a) 3x1 -2 x2+5x3=6 sistema yechimga



2x1+ x2-3x3=1 ega emas;

5x1- x2+2x3=2
б) 3x1 -2 x2+5x3=6 sistema yagona yechim (1, 1, 1)

2x1- x2+ 3x3= 4 ga ega ;

x1+ x2+ x3 = 2

в) x1 - x2 -x3 = 2

2x1+ 5x2+x3=4 sistema cheksiz ko'p yechimga ega .
Tushunarliki bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi doimo (0,0,...,0) yechimga ega. Bu yechim uning trivial yechimi deyiladi va uning noldan farqli yechimlarga ega bo'lish shartlari tekshiriladi. (2) sistema bilan birga
ci1x1 +ci2 x2 + ....+ cin xn = di , i=1,2,3, ... , m . (4)

cistema ham berilgan bo'lsin. Agar (2)-sistemaning har bir yechimi (4)-sistema yechimi bo'lsa , (4)-sistema (2) -sistemaning natijasi deyiladi.

Agar (2) ning yechimlari to'plamini A, (4) ning yechimlari to'plamini esa В deb belgilasak, А В bo'ladi.

Agar (4)-sistema (2)-sistemaning natijasi, (2)- sistema esa (4)-sistemaning natijasi bo'lsa, u holda (2) va (4) sistemalarga o'zaro ekvivalentlik sistemalar deyiladi.

Ushbu almashtirishlarga (1)-chiziqli tenglamalar sistemasidagi elementar almashtirishlar deyiladi.

1). (1) sistemadagi biror (masalan, k-tenglamani) tenglamaning ikki to-monini   0 soniga ko'paytirish;

2). Sistemadagi ixtiyoriy 2 ta tenglamaning o'rinlarini almashtirish;

3). Sistemaning 2ta tenglamasini mos ravishda   0 va  0 sonlariga ko'paytirib natijalarini qo'shish;

4). Barcha koeffisiyentlari va ozod hadi nollardan iborat (agar shunday tenglamalar mavjud bo'lsa) tenglamalarni tashlab yuborish.

Teorema. Elementlar almashtirishlar natijasida hosil bo'lgan sistema dastlabki sistemaga tengkuchli sistemadir.

Isboti. Haqikatdan ham, agar qaralayetgan sistema (1) sistemadan 2) va 4) elementar almashtirishlar natijasida hosil qilingan bo'lsa, ularning ek-vivalent ekanligi ta'rifdan bevosita kelib chiqadi.

Faraz etaylik, (1) sistemaning birorta tenglamasi, masalan, i-tenglama-si   0 soniga ko'paytirilib, yangi sistema hosil qilingan bo'lsin.Bu siste-madagi i-tenglamadan boshqa tenglamalar (1)-sistemadagi tenglamalar bilan bir xil, shuning uchun ham (1)ning ixtiyoriy 1, 2 , ..., n yechimini olib, uning yangi sistemadagi i-tenglama ai1x1 + ai2 x2 + ....+ ain xn = bi ni qanoatlan-tirishini ko'rsatish kifoya. Haqikatdan ham

1, 2 , ..., n (1) ning yechimi bo'lgani uchun ai11 + ai2 2 + ....+ ain n = bi dan ai11 + ai22 + ....+ ain n= =( ai11 + ai2 2 + ....+ ain n )= bi kelib chiqadi

Endi agarda yangi sistemadagi i-tenglama (1)dagi i-tenglama ai1x1+ai2 x2 + +.... +ai n xn = bi ni га ga j-tenglamani esa  ga ko'paytirib natijani hadlab qo'shish natijasida hosil qilingan bo'lsa, u holda yuqridagi singari muloxaza yuritib ai11 + ai2 2 + ....+ ain n = bi va aj11 + aj2 2 + ....+ ajn n = bj larga asosan ( ai1 +aj1 )1 +( ai1 +aj2 )2 + ....+ ( ain +aj n )n=( ai11 + +ai2 2 + ....+ ain n )+ (aj11 + aj2 2 + ....+ aj n n )= bi+ bj tenglikka ega bo'lamiz . Shunday qilib teorema to'la isbotlandi .



Misollar: 1. 5х+4у=2

х- 4у=4 (1) yechimi (1; - 3/4 );

х+4у=-2 (2) bu cheksiz ko'p yechimga ega .

Demak, (2) sistema (1) sistemaning natijasi .

2. 2x1 -3x2 +x3 =7 4х12 +3х3 = -1

х1 + х2 -2х3 =-4 ва 3х1 -2х2 - х3 = 3

х1 -4х2 +3х3 =11

sistemalarning ikkalasi ham aniqmas sistemalar bo'lib ularning yechimlari to'plamlari ustma-ust tushadi. (1) sistemadagi 1-tenglamadan 2-tenglamani ayirsak, (2)-sistemadagi 3-tenglama; qo'shsak, 2-tenglama hosil bo'ladi. (1)-sistemadagi 2-tenglamani 2ga ko'paytirib 1-tenglamaga qo'shsak ,(2)-sistemaning 1-tenglamasi hosil bo'ladi.

Ushbu (1)-sistemaning noma'lumlari koeffisentlaridan to'zilgan

a11 a12 .... a1n

А= a21 a22 .... a2n

.....................



am1 am2 .... amn

jadvalga (1) sistemaning matrisasi deyiladi.



a11 a12 .... a1n b1

B = a21 a22 ... a2n b2

....................................



am1 am2 .... amn bm

advalga esa (1)-sistemaning kengaytirilgan matrisa deyiladi. a11 , a22 , a33 ,... elementlar joylashgan diagonalga bosh diagonal deyiladi.



a1n , a2,n-1 , a3,n-2 , ... elementlar joylashgan diagonalga esa ikkinchi diagonal deyiladi. Agar m= n bo'lsa, A ga n-tartibli kvadrat matrisa deyiladi.

1 0 0 ... 0

Е= 0 1 0 ... 0 matrisaga birlik matrisa deyiladi.

................

0 0 0 ... 1

Matrisadagi elementar almashtirishlar deb quyidagilarga aytiladi.

1). Ikkita satrining (ustunining) o'rnini almashtirishga;

2). Biror satridagi (ustunidagi) barcha elementlarni noldan farqli songa ko'paytirishga;

3). Biror satri (ustuni) dagi barcha elementlarni noldan farqli songa ko'paytirib, ikkinchi bir satr (ustun) elementlariga qo'shishga.


MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR

a). n ta nomalumli m ta chiziqli tenglamalardan to'zilgan sistemani yezing.

b). qanday chiziqli tenglamalar sistemasiga birgalikdagi sistema deyiladi?

v). Aniq va aniqmas, ziddiyatli sistemalar deb qanday sistemalarga aytiladi?

g). Matrisa deganda nimani tushunasiz?

ye). Ekvivalent (teng kuchli) chiziqli tenglamalar sistemalari deb qanday sistemalarga aytiladi?

j). Chiziqli tenglamalar sistemasidagi elementar almashtirishlar deb nimaga aytiladi?

z). Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi deb qanday sistemaga aytiladi?


12-MA'RO'ZA

MAVZU : n-O'LCHOVLI ARIFMETIK FAZO . CHIZIqLI BOg'LANGAN VA

CHIZIqLI BOg'LANMAGAN VEKTORLAR SISTEMALARI.

REJA:

1. n -o'lchovli arifmetik fazoning ta'rifi;

2. n-o'lchovli arifmetik fazoning xossalari;

3. Chiziqli bog'langan va chiziqli bog'lanmagan vektorlar sistemalari;

4. Chiziqli bog'lanmagan vektorlar sistemalarining xossalari;
ADABIYOTLAR [ 1,2,3].
1. n ta tartiblangan haqiqiy sonlar 1, 2 ,..., n dan to'zilgan (1,2, ...,n) n- likka n-o'lchovli vektor deb aytiladi va 1, 2 , ..., n larni vektorning koordinatalari deyiladi.

Barcha mumkin bo'lgan n -o'lchovli vektorlar to'plamini Rn bilan belgilaymiz. Rn dagi a=(1, 2, . . . ,n) va b=(1 ,2 , . . . , n ) elementlarning tengligi, yig'indisini va R dan olingan  soniga ko'paytmasini quyidagicha aniqlaymiz:

1). (а=b)  ( 11 , 22 , . . . , nn ) ;

2). a+b = (1+1 , 2+2 , . . . , n+n ) ;

3). a= ( 1, 2, ... , n).

Tushunarliki, u holda a,b Rn uchun a+b Rn hamda R, aRn uchun aR bajariladi.  soniga ko'paytirish amali Rn dagi unar algebraik amal bo'lib, uni biz yezuvda qulaylik uchun bilan belgilaymiz. (0 ,0, . . . , 0) vektor nol vektor deyiladi va bilan belgilanadi.

2) ga asosan а+ = + а = а bo'lgani uchun vektor qo'shish amaliga nisbatan neytral element bo'ladi .

(- 1) (1, 2, . . . ,n) vektorga а= (1, 2, . . . ,n) ga qarama- karshi vektor deyiladi. а+(-1) а= bo'lgani uchun (- 1) а= -а bilan belgilanadi .



1- таъриф. Rn to'plamga unda aniqlangan qo'shish va songa ko'paytirish amaliga nisbatan (ya'ni Rn ; + , algebraga ) n-o'lchovli vektorlarning arifmetik fazosi (yoki qisqacha n- o'lchovli arifmetik fazo ) deyiladi. Biz uni Rn bilan belgilaymiz.

Vektorlarni qo'shish va  songa ko'paytirish amallariga arifmetik fazo-ning asosiy amallari deyiladi.

2. Rn = Rn ; + , fazoning asosiy amallari quyidagi xossalarga ega:

1. Rn ; + , - algebra-dditiv Abel gruppasi . 2. Songa ko'paytirish amali assosiativ: ya'ni

   R, a Rn   a= ( a).

3. Songa ko'paytirish qo'shish amaliga nisbatan distrubitiv:

   R, a,b Rn  (a+b)= a+ b .

4. Vektorga ko'paytirish sonlarni qo'shishga nisbatan distributiv, ya'ni

   R, a Rn  +  a=a + a .

5. a Rn 1 a= a.

xossalarning o'rinli ekanligiga bevosita tekshirib ko'rish yo'li bilan ishonch hosil qilish mumkin. Uni biz talabalarga xavola qilamiz.

Rn ; + ,- - gruppaga Rn- arifmetik fazoning additiv gruppasi deyiladi.

3. Bizga Rn=V fazoning a1, a2 , . . . , am vektorlari sistemasi berilgan bo'lsin. 1a1+ 2 a2 + . . . + m am , ( 1 , 2 ,. . . , m R) ifodaga a1, a2 , . . . , am vektorlar sistemasining chiziqli kombinasiyasi deyiladi. Bu yerdagi 1 , 2 , . . . . . . , m larga chiziqli kombinasiyaning koeffisiyentlari deyiladi. Agar koeffisiyentlardan birortasi noldan farqli bo'lsa, trivial bo'lmagan, aks holda, ya'ni barcha koeffisiyentlar nolga teng bo'lsa, trivial chiziqli kombinasiya deyiladi .

a1, a2 , . . . , am vektorlarning barcha mumkin bo'lgan chiziqli kombinasiyala-ridan to'zilgan L to'plamga shu vektorlaning chiziqli kobigi deyiladi.

Demak,


L=L(a1, a2 , . . . , am )={ 1a1+ 2 a2 + . . . + m am 1 , 2 ,. . . , m R }.

Osonlik bilan ko'rish mumkinki, chiziqli qobiq vektorlarni qo'shish, ayirish va soniga ko'paytirish amallariga nisbatan yopiqdir.



2- ta'rif. Agar hech bo'lmaganda birortasi noldan farqli 1, 2, ... ,  m sonlari mavjud bo'lib

1a1 + 2 a2+ . . . + m am = 0 (1)

tenglik bajarilsa, u holda

a1, a2 , . . . , am (2)

vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan deyiladi. Agarda (1) tenglik faqat va faqat 1 = 2 =. . . = m = 0 bo'lgandagina bajarilsa, (2) vektorlar sistemasiga chiziqli bog'lanmagan sistema deyiladi.



Masalan: e1=(1, 0 , 0 , . . . , 0 ), e2 =(0, 1 , 0, . . . , 0) , . . . , en =(0, 0, 0 , . . . , 1) birlik vektorlar sistemasi chiziqli bog'lanmagandir. Haqiqatdan ham,

1e1+ 2 e2 + . . . + n en = 0 dan ( 1, 2 , . . . , m )= 0 yoki 1 = 2 =. . . = m = 0 kelib chiqadi.

4. X o s s a l a r i .
1. Nol vektor yoki o'zaro proporsional vektorlar qatnashgan har qanday vektorlar sistemasi chiziqli bog'langandir. Haqiqatdan ham, agar 0, a2 , ..., am vektorlar sistemasi berilgan bo'lsa, u holda 1 0, 2 =. . . = m = 0 deb olsak, 10+ 2 a2 + . . . + m am = 0 tenglik o'rinli bo'ladi. a1=a2 bo'lsa ( 0), ham shunday isbotlanadi.

2. a1, a2 , . . . , am (a1 0) vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan bo'lishi uchun undagi birorta vektorning qolgan vektorning chiziqli kombinasiyasi-dan iborat bo'lishi zarur va yetarlidir.



Isboti. Zarurligi. a1, a2 , . . . , am (a1 0) sistema chiziqli bog'langan bo'lsin. U holda

1a1 + 2 a2+ . . . + m am = 0 (3)

tenglik bajariladi va bunda 1, 2 , . . . , m larning hech bo'lmasa birortasi noldan farqli. Masalan, k 0 va k shu shartni qanoatlantiruvchi eng katta indeks bo'lsin. Bu yerda k>1, aks holda, 2 =. . . = m = 0 deb olsak, 1a1 = 0 dan 1= 0 kelib chiqadi. (3) ni ak ga nisbatan yechsak: ak =(-1 /k)a1+(-2 /k)a2+ . . . +(-k-1 /k)ak-1+ (-k+1 /k)ak+1+ . . . +(-m /k)a m yoki 's =(-s /k) deb bel-gilab olsak, ak ='1 a1+'2 a2+ . . . +'k-1 ak-1 ga ega bo'lamiz.

Yetarli sharti. Faraz etaylik as=1 a1+2 a2+ . . . +s-1 as-1 + s+1 as+1+ . . .+

+m am bo'lsin. U holda bu tenglikni 1 a1+2 a2+ . . . +s-1 as-1 + s as+

+s+1 as+1+ . . . +m am = 0 ko'rinishda yozish mumkin . Bu yerda s = - 1  0 bo'lgani uchun a1, a2 , . . . , am vektorlar sistemasi chiziqli bog'langandir.

3. Agar berilgan sistemaning biror qismiy sistemasi chiziqli bog'langan bo'lsa, shu sistemaning o'zi ham chiziqli bog'langan bo'ladi.

Isboti. a1, a2 , . . . , ak vektorlar sistemalari chiziqli bog'langan bo'lib a1, a2 , . . . , ak , ak+1, . . . , am sistemaning qismi bo'lsin. U holda hech bo'lmasa birortasi noldan farqli 1, 2 , . . . , k sonlari mavjud bo'lib 1 a1+2 a2+ + . . . + k ak= 0 bo'ladi. Bundan 1 a1+2 a2+ . . . +k ak + 0 ak+1+ . . . +0 am= 0

va 1, 2 , . . . , k, 0, ... , 0 sonlarining hech bo'lmasa birortasi noldan farqli.

Demak, ta'rifga asosan a1, a2 , . . . , ak , ak+1, . . . , am vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan.

Natija. Agar berilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog'lanmagan bo'l-sa, uning ixtiyoriy qismiy sistemasi ham chiziqli bog'lanmagandir.

4. Agar a1 , a2 , . . . , am vektorlar sistemasi chiziqli bog'lanmagan bo'lib



a1 , a2 , . . . , a m , v (4)

sistema chiziqli bog'langan bo'lsa , u holda v vektor



a1 , a2 , . . . , a m (5)

sistemadagi vektorlar orqali yagona usulda chiziqli ifodalanadi.



Isboti. (4) sistema chiziqli bog'langan bo'lganligi sababli hech bo'lmasa birortasi noldan farqli bo'lgan 1, 2 , . . . ,  m , sonlari mavjud bo'lib

1 a1+2 a2+ . . . +m am + v = 0 (6)

tenglik bajariladi. Bu yerda yerda  0, aks holda (6)dan a11 +2 a2+ . . . +

+m am = 0 tenglik 1, 2 , . . . ,  m larning birortasi noldan farqli bo'lganda bajarilishi kerak. Bu esa (5) ning chiziqli erkli ekanligiga ziddir.

(6) ni v ga nisbatan yechib

v = '1a1 + '2a2+ ... + 'm am (7)

ni hosil qilamiz.

Endi yagonaligini isbotlaylik. (7) bilan birga v= 1a1 +2a2+ ... + mam bo'lsa, u holda ( '1 -1) a1 +( '2 -2) a2+ ... + ( 'm -m) am =0 bo'ladi. (5) cistema chiziqli erkli bo'lgani uchun '1 -1 =0, '2 -2=0, ... , 'm -m =0 yoki '1 = 1, '2 = 2, ... , 'm = m bo'ladi.

5°. Agar a L(b1 , b2 ,... , bm ) va b1 , b2 ,... , bm L(с1 , с2 ,... , сs ) bo'lsa,



a L(c1 , c2 ,... , cs ) bo'ladi.

Haqiqatan ham, a L(b1 , b2 ,... , bm ) dan



a = 1b1 + 2b2+ ... + m bm . (8)

b1 , b2 ,... , bm L(с1 , с2 ,... , сs ) bo'lgani uchun esa
b1= 11с1 + 12 с2+ ... + 1s cs

b2= 21c1 +22 c2+ ... + 2s cs

.............................................. (9)



bm=m1c1 + m2c2+ ... + ms cs .

(9) ni (8)ga olib borib qo'ysak



a=(1 11 + 2 21 + ... + m m1 )c1+(1 12 + 2 22 + ... + m m2 )c2+ . . . +

+(1 1s + 2 2s + ... + m ms )cs yoki i =1 1i + 2 2i + ... + m m i ) deb belgilab olsak a= 1с1 + 2с2+ ... + s сs hosil bo'ladi,ya'ni a L(c1 , c2 ,... , cs ).



Teorema. Agar a1 , a2 , . . . , a m+1 L(b1 , b2 ,... , bm ) bo'lsa, a1 , a2 , . . .,a m+1

sistemasi chiziqli bog'langandir.



Isboti. m ga nisbatan matematik induksiya metodi bilan isbotlaymiz. a1, a2 , . . . , a m+1 vektorlarning barchasini noldan farqli deb olamiz, aks holda teorema o'z o'zidan tushunarli. m=1 da a1 , a2 L(b1) bo'lib, bundan a1= =1b1 , a2 = 2b2 ni, yoki -11 a1 +(- 2 )-1 a2 =0 , bu yerda 1 , 2  . Demak, a1 , a2

vektorlar chiziqli bog'langan va m=1 da teorema o'rinli.

Faraz etaylik, m= n-1 da teorema o'rinli bo'lsin. Biz uning m=n uchun o'rinli ekanligini isbotlaymiz. Bu holda a1 ,a2 , . . . , an+1 L(b1 , b2 ,... ,bn) dan

a1= 11b1 + 12 b2+ ... + 1n bn

a2= 21b1 + 22 b2+ ... + 2n bn

.............................................. (10)



an= n1b1 + n2b2+ ... + n n bn

an+1= n+1,1b1 + n+1,2b2+ ... + n+1, n bn

Agar(10) da bn ning oldidagi barcha koeffisiyentlar nolga teng bo'lsa, u holda a1 ,a2 , . . . , an L(b1 , b2 ,... ,bn-1) va induktivlik farazimizga ko'ra a1,a2 , . . ., an

sistema va demak a1 ,a2 , . . . , an , an+1 sistema ham chiziqli bog'langan bo'ladi.

Agarda bu koeffisiyentlardan birortasi, masalan n+1, n noldan farqli bo'lsa, u holda qolgan barcha tengliklardan bn vektorni yuqotamiz:



a1 -1 an+1 ='11b1 + '12 b2+ ... + '1,n-1 bn-1

a2 -2 an+1 ='21b1 + '22 b2+ ... + '2,n-1 bn-1

.....................................................................



an -n an+1 ='n1b1 + 'n2 b2+ ... + 'n,n-1 bn-1

hosil bo'ladi. Induktivlik farazimiega ko'ra a1 -1 an+1 , a2 -2 an+1, an -n an+1

vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan, hech bolmasa birortasi noldan farqli bo'lgan 1, 2 , . . . ,  n conlari mavjud bo'lib 1 (a1 -1 an+1 )+2 (a2 --2 an+1) +n ( an -n an+1 )=0 tenglik bajariladi yoki bundan 1 a1+2 a2+ ...+ +n an+n+1 an+1 = 0 hosil bo'ladi. Bu yerda n+1 = -(11 + 22 +. . . +nn ).

Shunday qilib, a1 ,a2 , . . . , an , an+1 vektorlar chiziqli bog'langan. Teorema isbot bo'ldi.



Natijalar. 1). Agar a1 , a2 , . . . , ak L(b1 , b2 ,... , bm ) bo'lib, k> m bo'lsa

a1 , a2 , . . . , ak vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan bo'ladi.

2). Agar a1 , a2 , . . . , ak L(b1 , b2 ,... , bm ) bo'lib a1 , a2 , . . . , ak vektor-lar sistemasi chiziqli bog'lanmagan bo'lsa, k m bo'ladi.

3). n o'lchovli arifmetik fazodagi har qanday n+1 ta va undan ortiq vektorlardan to'zilgan sistema chiziqli bog'langandir.

Bu 3- natija har qanday n o'lchovli vektor (1 , 2 , . . . , n) ni birlik vektorlar orqali ifodalash mumkin ekanligidan, ya'ni (1 , 2 , . . . , n)=

=1 e1 + 2 e2 + . . .+ n en L(e1 , e2 ,... , en ) ekanligidan kelib chiqadi.


Katalog: attachments -> article
article -> Axloqning kеlib chiqishi, unda ixtiyor erkinligining ahamiyati va axloq tuzilmasi
article -> Podsho Rossiyasi tomonidan O‘rta Osiyoning bosib olinishi sabablari va bosqichlari
article -> Siyosiy mafkuralarning asosiy ko'rinishlari
article -> Mehnat sohasida ijtimoiy kafolatlar tizimi. Reja: Ijtimoiy himoya qilish tushunchasi va uning asosiy yo’nalishlari
article -> Siyosiy madaniyat va siyosiy mafkuralar Reja
article -> O’zbek Adabiyoti tarixi: Eng qadimgi adabiy yodgorliklar
article -> Ma’naviyatning tarkibiy qismlari, ularning o’zaro munosabatlari va rivojlanish xususiyatlari. Ma’naviyat, iqtisodiyot va ularning o’zaro bog’liqligi
article -> Davlatning tuzilishi
article -> Reja: Geografik o‘rni va chegeralari
article -> Yer resurslaridan foydalanish va ularni muhofaza qilish Reja: Tuproq, uning tabiat va odam hayotidagi ahamiyati. Dunyo yer resurslari va ulardan foydalanish

Download 0.82 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
O’zbekiston respublikasi
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
davlat pedagogika
o’rta maxsus
axborot texnologiyalari
nomidagi toshkent
pedagogika instituti
texnologiyalari universiteti
navoiy nomidagi
samarqand davlat
guruh talabasi
ta’limi vazirligi
nomidagi samarqand
toshkent davlat
toshkent axborot
haqida tushuncha
Darsning maqsadi
xorazmiy nomidagi
Toshkent davlat
vazirligi toshkent
tashkil etish
Alisher navoiy
Ўзбекистон республикаси
rivojlantirish vazirligi
matematika fakulteti
pedagogika universiteti
таълим вазирлиги
sinflar uchun
Nizomiy nomidagi
tibbiyot akademiyasi
maxsus ta'lim
ta'lim vazirligi
махсус таълим
bilan ishlash
o’rta ta’lim
fanlar fakulteti
Referat mavzu
Navoiy davlat
haqida umumiy
umumiy o’rta
Buxoro davlat
fanining predmeti
fizika matematika
malakasini oshirish
universiteti fizika
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
jizzax davlat
davlat sharqshunoslik