Termiz davlat universiteti fizika- matematika fakulteti matematik tahlil kafedrasi


MAVZUNI MUSTAXKAMDASH UCHUN SAVOLLAR



Download 0.82 Mb.
bet8/9
Sana25.06.2017
Hajmi0.82 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9
MAVZUNI MUSTAXKAMDASH UCHUN SAVOLLAR .

a). k- tartibli minor deb nimaga aytiladi ?

b). qo'shimcha minor deb nimaga aytiladi ?

v). Algebraik to'ldiruvchi deb nimaga aytiladi ?



g). а 11 а12 а12

D= а21 а22 а23

а31 а32 а33

determinantdagi а32 elementga mos algebraik to'ldiruvchini toping .




20 - MA'RO'ZA

MAVZU: DETERMINANTLARNI SATR YOKI USTUN ELEMENTLARI

BO'YICHA YOYISH.
REJA:

1. Determinantlarni satr elementlari bo'yicha yoyish formulasi. Misollar.

2. Determinantlarni satr elementlari bo'yicha yoyish. Misollar.

3. Kramer formulalari.

4. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining nolmas yechimga ega bo'lish sharti.

ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3].

1. Agar Laplas teoremasida r=1 deb olib i- satrni ajratsak (4*) formula quyidagi ko'rinishga keladi.

1- natija. D= ai1Ai1+ ai2Ai2+ ... +ai n Ai n . (1)

(1) ga D determinantni i-satr elementlari bo'yicha yoyish formulasi deyiladi.

Agarda Laplas teoremasida r=1 deb olib birta j- ustunini ajratib olsak ushbu natijaga ega bo'lamiz.

2- natija. D= a1j A1j+ a2j A2j + ... + a nj Anj . (2)

(2) ga D ni j- ustun elementlari bo'yicha yoyish formulasi deyiladi.



Misol. 1). 1 2 3 0 ni avval 1- satr elementlari bo'yicha yoyib, keyin

D= 1 -1 2 -1 esa 1- ustun elementlari bo'yicha yoyib hisoblang.

1 1 0 1

0 2 0 1


Avvalo D ni 1-satr elementlari bo'yicha yoyib hisoblaylik:

-1 2 1 1 2 -1 1 -1 -1 1 -1 2

D=1(-1)1+1 1 0 1 + 2 (-1)1+2 1 0 1 + 3  1 1 1 + 0 (-1)1+4 1 1 0 =

2 0 1 0 0 1 0 2 1 0 2 0

= 0 + 0 + 4 - 0 -2 +0 -2( 0 + 0 + 0 + 0 - 2 - 0) + 3 ( 1 - 2 - 0 - 0 + 1 - 2)+ 0=

=2 + 4 - 6 = 0 .

Endi D ni 1- ustun elementlari bo'yicha yoyib hisoblaymiz:


-1 2 -1 2 3 0 2 3 0

D=1(-1)1+1 1 0 1 + 1 (-1)2+1 1 0 1 +1 (-1)3+1 -1 2 -1 + 0 =( 0 + 0 + 4 - 0 -

2 0 1 2 0 1 0 2 1

- 2 - 0 ) - ( 0 + 0 + 6 - 0 - 3 - 0) + ( 4 + 0 - 6 - 0 + 3 - 0) = 2 - 3 + 1 = 0.

Agarda D ning i- satridagi faqat birta element, masalan ai1 0 , bo'lib

qolgan elementlar nolga teng bo'lsa, u holda D ning qiymati shu element bilan o'nga mos algebraik to'ldiruvchi Ai1 ning ko'paytmasiga teng bo'ladi.


Misol. 1). 1 2 -1 0 1 0 0 0

1 1 1 1 = 1 -1 2 1 -1 2 1

3 2 1 -1 3 -4 4 -1 = -4 4 -1 = - 20 + 4 + 0 - 0 + 40 + 1 = 25.

2 4 -3 5 2 0 -1 5 0 -1 5




2). a11 0 0 ... 0 a22 0 ... 0 а33 ... 0



a21 a22 0 ... 0 a32 а33 ... 0

D = a31 a32 а33 ... 0 = а11 - - - - - - - - = а11 а22 - - - - - - = ... =

- - - - - - - - - - - an2 an3 ... ann аn3 ... аnn

an1 an2 an3 ... ann
= а11 а22 а33 ... аnn .
3). 0 0 . . . 0 a1n

0 0 . . . a2,n-1 a2n 0 0 . . . a2,n-1

. . . . . . . . . . . . . . . = a1n (-1)1+n . . . . . . . . . . . . . =

an1 an2 . . . an,n-1 ann an1 an2 . . . an,n-1




0 . . . a3,n-2

= a1n a2,n-1(-1)1+n+n-1+1 - - - - - - - - - = . . .= a1n a2,n-1 . . . an1(-1)(n+1)+n+ . . .+ 1 =



0 . . . an,n-2
=(-1)(1+n+1)(n+!) / 2 a1n a2,n-1 . . . an1 = (-1)(n+1)(n+2) / 2 a1n a2,n-1 . . . an1 .
3-natija. Agar n- tartibli D determinantdagi i- satrning (ustunning) elementlarini boshqa bir j- satrining (ustunining) algebraik to'ldiruvchilariga mos ravishda ko'paytirib qo'shsak yig'indi 0 ga teng bo'ladi, ya'ni

ai1Aj1+ ai2Aj2+ ... +ai n Aj n = 0 , ( i j) (3)

a1i A1j+ a2i A2j + ... + a n i Anj =0, ( i j). (4)

Isboti. 1- natijaga ko'ra D=a1j A1j+ a2j A2j + ... + anj Anj . Agar bu formulaning chap tomonidagi a1j , a2j , ... , a nj elementlarni mos ravishda a1i , a2i , ... , a ni lar bilan almashtirsak (ya'ni D da j-ustun elementlarining o'rniga ham i-ustun elementlarini yozsak) D da ikkita bir xil ustun paydo bo'ladi. Determinantlarning xossasiga ko'ra bunday determinantning qiymati nolga teng. Shunday qilib (4) tenglik isbotlandi. (3) ham xuddi sho'nga o'xshash isbotlanadi.

3. Faraz etaylik n ta nomalumli n ta chiziqli tenglamadan to'zilgan sistema



a11 x1 + a12 x2 + ... + a1j xj + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2j xj + ... + a2n xn = b2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (5)

an1 x1 + an2 x2 + ... + anj xj + ... + ann xn = bn
berilgan bo'lsin. Bu sistemadagi 1-tenglamani A1j ga, ikkinchisini А2 j ga, ... , n- tenglamani Anj ga ko'paytirib, tenglamalarni hadlab qo'shamiz. U holda
(a11 A1 j + a21 A2 j + ... + an1 An j ) x1 +( a12 A1 j + a22 A2 j + ... + an1 An j) х2+...+

+( a1j A1 j + a2j A2 j + ... + anj Anj)хj+...+( a1n A1 j + a2n A2 j + ... + ann Ann)хn=

=b1A1j+b2A2j+...+bnAnj .
tenglamaga ega bo'lamiz . Bundan esa (4)ga asosan

1j А1j +a2j A+... + anj Anj ) хj=b1A1j+b2A2j+...+bn Anj (6)

ni hosil qilamiz. (6) ning chap tomonidagi хj noma'lum oldidagi koeffisiyent 2-natijaga ko'ra D ga teng. O'ng tomonidagi ifoda esa D dagi j-ustun elementlarining o'rniga (5) dagi ozod hadlar ustunini qo'yib hosil qilingan Dj determinantga teng . Demak , Dхj =Dj еки хj=Dj / D , j=1,2,3,...,n ; ya'ni



х1=D1 / D, х2=D2 / D , ... , хn =Dn / D (7) formulalarga Kramer formulalari deyiladi. (7) ning (5)-chiziqli tenglamalar sistemasini qanoatlantirishini bevosita uning istalgan tenglamasiga qo'yib tekshirib ko'rish mumkin.

(7) da D0 bo'lishi kerak, agar D=0 bo'lsa, (5) yechish uchun Kramer formu-lasidan foydalanib bo'lmaydi . ( Bu holda (5) ning rangi r < n topiladi va (5)da n-r ta noma'lumlarni o'ng tomonga o'tkazib keyin qo'llasa bo'ladi).


Misol. 2x1 - 3x2 + x3 = -1

x1 + 4x2 - x3 = 3

3x1 - x2 + x3 = 4 chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer formulalaridan foydalanib yeching.

Avvalo D, D1, D2 , D3 larni hisoblaylik.



2 -3 1

D= 1 4 2 =8 - 1 + 18 - 12 + 3 - 4 = 12  0

3 -1 1

-1 -3 1

D1= 3 -4 -2 =- 4 - 3 + 24 - 16 + 9 +2 = -23 + 35 = 12

4 -1 -1

2 -1 1

D2 = 1 3 -2 = 6 + 4 + 6 - 9 + 1 + 16 = 24

3 4 1

2 -3 -1

D3 = 1 4 3 = 32+ 1 - 27 + 12 + 12 + 6 = 63 - 27 =36.

3 -1 4

Bu topilgan qiymatlarni (7) formulalarga olib borib qo'ysak



х1=D1 / D =12 / 12 =1 , х2=D2 / D =24 / 12 = 2 , х3 =D3 / D =36 / 12 =3

berilgan sistemaning yechimlariga ega bo'lamiz.

Endi ushbu teoremani isbotlaymiz:

Teorema. n ta noma'lumli n ta bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo'lishi uchun uning noma'lumlari oldidagi koeffisiyentlardan to'zilgan matrisaning determinanti nolga teng ( D = det A=0 ) bo'lishi zarur va yetarlidir.

Isboti.a).Faraz etaylik

ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn = 0 , ( i=1,2 , ...,n) (8)

sistema noldan farqli 12  n yechimga ega bo'lsin. U holda



ai1 1 + ai2 2 + ... + ain n = 0 , ( i=1,2 , ...,n) . (9)

Bu oxirgi sistemani quyidagicha yoza olamiz:

(a11 1 + a12 2 + ... + a1n n ; a21 1 + a22 2 + ... + a2n n ; ;an1 1 + an2 2 + ... + ann n) = ( 0, 0, ... , 0)

yoki

1(a11 ,a21 , ... an1)+2( a12 , a22 , ... ,an2) + + n( a1n , a2n , ... , ann )= 0 . (10)
(10) dan ko'rinadiki D ning ustunlari chiziqli bog'langan va demak D=0.

б). D=0 bo'lsa, u holda determinantlarning xossalariga ko'ra uning ustunlari chiziqli bog'langan. Demak, hech bo'lmasa birortasi noldan farqli bo'lgan 12  n sonlari mavjud bo'lib (10) bajariladi. (10) dan esa (9) kelib chiqadi, ya'ni (8)-sistema noldan farqli yechimga ega.


Misol. 2x1 +x2 - 4 x3 = 0

x1 - x2 - 5x3 = 0

3x1 +4 x2 - x3 = 0 chiziqli tenglamalar sistemasini qaraylik..

Bunda 2 1 -4

d= 1 -1 -5 = 2 - 16 - 15 - 12 + 1 + 40 = 43 - 43 = 0

3 4 -1

bo'lgagligi uchun sistema noldan farqli yechimga ega. Uni Gauss usuli bilan yechamiz :



x1 - x2 - 5x3 = 0 x1 - x2 - 5x3 = 0 x1 - x2 - 5x3 = 0

3 x2 + 6x3 = 0 x2 + 2x3 = 0 x2 + 2x3 = 0

7x2 + 14x3 = 0 x2 + 2x3 = 0
x2 = -2x3 , x1 = 5x3 + x2 = 5x3 - 2x3 = 3x3 .

Javobi: x1 = 3x3 , x2 = -2x3 , x3 R .
MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR
1. n - tartibli D determinantni i - satr elementlari bo'yicha yoyish formulasini yozing.

2. n - tartibli D determinantni j - ustun elementlari bo'yicha yoyish formulasini yozing.

3. Agar n - tartibli determinantdagi biror satr elementlarini boshqa bir satrining algebraik to'ldiruvchilariga mos ravishda ko'paytirib hosil bo'lgan ko'paytmalarni qo'shsak yig'indi nimaga teng bo'ladi?

4. Agar n-tartibli determinantdagi biror satr elementlarini ularga mos algebraik to'ldiruvchilarga ko'paytirib hosil bo'lgan ko'paytmalarni kushsak yig'indi nimaga teng bo'ladi?

5. Kramer formulasini yozing.

6. Agar Kramer formulasi xj = Dj / D da D = 0 bo'lib qolsa qanday holat yuz beradi?

7. xj = Dj / D Kramer formulasidagi Dj va D lar qanday bog'langan ?
21- MA'RO'ZA

MAVZU: MATRISANING RANGINI UNING MINORLARIDAN FOYDALANIB HISOBLASH
REJA:
1. Matrisaning rangi va uning noldan farqli minorlarining tartibi

orasidagi bog'lanish.

2. Matrisalar ko'paytmasining determinanti.

3. Misollar. (Determinantlarni hisoblash).

ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3]
1. Faraz etaylik bizga mxn - tartibli A=(ai j) matrisa berilgan bo'lsin. Biz bundan avval matrisaning rangini elementar almashtirishlardan foydalanib hisoblash mumkin ekanligini kurgan edik. Endi ushbu teoremani is-botlaymiz.

1-teorema. A=(ai j) matrisaning rangi uning noldan farqli minoralarining eng yuqri tartiblisining tartibiga teng.

Isboti. A matrisada noldan farqli eng yuqri r-artibli minor M uning yuqri chap burchagida joylashgan bo'lsin:

a11 a12 ... a1r a1,r+1 ... a1n

a21 a22 ... a2r a2, r+1 ... a2n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ar1 ar2 ... ar r ar, r+1 . .. arn

ar+1,1 ar+1,2 ... ar+1,r ar+1,r+1 ... ar+1,n

- - - - - - - - - - - - - - - - -

am1 am2 ... am r am, r+1 ... am,n
Aks holda A ning satr va ustunlarining o'rinlarini o'zaro almashtirib shu xolga olib kelish mumkin. Bu bilan uning rangi o'zgarmaydi.

A ning s- satri (s=r =1, 2, 3 , ... , m) birinchi r ta satrlar orqali chiziqli ifodalanadi.Ushbu (r+1)- tartibli determinant i ni qaraymiz:

a11 a12 ... a1r

i = a21 a22 ... a2r



- - - - - - - - - - - -

ar1 ar2 ... ar r .

Bu yerda i= 1, 2, . . . , n; s = r+1, r+2, . . . , m. Barcha i= 1, 2, . . . , n lar uchun

i = 0,

chunki i r da i da ikkita bir xil ustun mavjud bo'ladi. r+1 i da esa i



A ning (r+1) - tartibli minorini ifodalaydi, shuning uchun ham i =0 .

i ni oxirgi ustun elementlari bo'yicha yoysak


a1i A1i + a2i A2i + ... + ari Ari + as i As i = 0 , (1)
Bunda A =(-1)r+1+r+1 M =M=0 bo'lgani uchun (1) ni as i ga nisbatan yechsak

as i =1 i a1 i + 2 i a2 i + . . . + r i ar i , (i= 1, 2, . . . , n; s = r+1, r+2, . . . , m) ga ega bo'lamiz. Bundan ko'rinadiki A ning s-catri birinchi r ta satrlari orqali chiziqli ifodalanadi. Demak, A matrisaning rangi (satrlar bo'yicha rangi) r ga teng.

Natija. Determinantning nolga teng bo'lishi uchun uning satrlari (ustunlari) chiziqli bog'langan bo'lishi zarur va yetarlidir.


Misol . 1 1 1 -1

-1 -1 1 1

A= 1 -1 -1 1

1 1 -1 1

0 1 0 1 matrisaning rangini hisoblang.

Avvalo shuni ta'kidlash kerakki, matrisaning rangini minorlardan foydalanib hisoblashda faqat birbirining ichiga joylashgan minorlarini tekshirish kifoya.

Bizning misolimizda М1 =1 0

1 1 1 1

M2= -1 -1 = -1 + 1 =0, M'2 = -1 1 = 1 + 1 = 2  0
1 1 1

M3 = -1 -1 1 = 1 + 1 + 1 + 1 - 1 + 1= 4  0

1 -1 -1




1 1 1 -1 1 1 1 -1

-1 -1 1 1 0 0 1 0 1 1 -1

M4 = -1 -1 -1 1 = 2 0 0 0 =(-1)2+3 2 0 0 = - (- 4) =4 .

1 1 -1 1 2 2 0 0 2 2 0
Demak, r(A) = 4.
2. Matrisalar ko'paytmasining determinanti

2- teorema. A va B n-tartibli kvadrat matrisalar ko'paytmasining determinanti shu matrisalar determinantlarining ko'paytmasiga teng.

Isboti. Agar A=E- birlik matrisa bo'lsa E B = 1 B = E B .

ya'ni bu holda teorema o'rinli.

2-teoremani isbotlashdan oldin ushbu lemmani isbotlaymiz.

Lemma. Agar A’’ matrisa A’ matrisadan birta elementar satr almashtirish yordamida hosil qilingan bo'lsa, u holda

A’ В = A’ В (2)

dan A’’ В = A’’ В (3)

kelib chiqadi.



Isboti. Faraz etaylik A’’ matrisa A’ matrisadan quyidagi elementar almashtirishlarning biri orqali hosil qilingan bo'lsin:

a) catrlarining o'rinlarini almashtirish;

b) ixtiyoriy satrini noldan farqli k coniga ko'paytirish;

c) biror satrini ixtiyoriy songa ko'paytirib ikkinchi bir satriga qo'shish.

Matrisalarni ko'paytirish qoidasiga asosan A’’ В matrisa A’ В matrisadan mos elementar almashtirish natijasida hosil bo'ladi.



a) bajarilgan bo'lsa, A’’ = - A’ va

A’’В =-A’B; (4)



b) bajarilgan bo'lsa,

A’’ = k A’ , A’’ В =k A’ B ; (5)



v) bajarilgan bo'lsa, u holda

A’’ = A’ , A’’ В = A’-B (6)

(4) , (5) va (6) dan (2) ga asosan (3) kelib chiqadi. Haqiqatan ham,
(4) va (2) dan A’’ В = - A’ B = - A’ В = A’’ В ;

(5) va (2) dan esa A’’ В = k A’ B = k A’ В = A’’ В ;

(4) ва (2) dan A’’ В = A’-B = A’ В = A’ В .

Shu bilan lemma to'la isbot bo'ldi.

Agar A matrisa a), б), с) elementar almashtirishlar yordamida E birlik matrisadan hosil qilingan bo'lsa, lemmaga asosan E В = E В dan

A В = A В kelib chiqadi. Bunda A 0, ya'ni A- xosmas matrisa.

A = 0 bo'lsa, u holda AB matrisaning satrlari ham chiziqli bog'langan bo'ladi, ya'ni

A В = 0 va A В = A В tenglik bajariladi.


3. Determinantlarni hisoblash.
1- misol. Ushbu D determinantda x qatnashgan hadning koeffisiyentini hisoblang:

1 2 0 x Determinantni oxirgi ustun elementlari bo'yicha yoysak

D = 0 1 1 y faqat 1-satr , 4- ustunini uchirganda x qatnashadi. Shu-

1 -1 0 z ning uchun ham x qatnashgan hadning koeffisiyenti ku-

1 1 1 t yidagiga teng bo'ladi: 0 1 1

1 -1 0 = 1+1-1 =1 .

1 1 1

2 - misol . Ushbu Vandermond determinantining qiymati ni hisoblang:



1 a1 a12 a13 . . . a1n-1

1 a2 a22 a23 . . . a2n-1

Vn = .....................................

1 an an2 an3 . . . ann-1 .

Buning uchun Vn ning har bir ustunini (-a1) ko'paytirib o'zidan oldingisiga kushamiz. U holda






1 0 0 . . . 0

1 a2 - a1 a2 (a2 - a1) . . . a2n-2 ( a2 - a1)

Vn= 1 a3 - a1 a3 (a3 - a1) . . . a3n-2 ( a3 - a1) =(a2 - a1) (a3 - a1)...(an - a1) 

........................................................................

1 an - a1 an (an - a1) . . . ann-2 ( an - a1)



1 a2 a22 a23 . . . a2n-2

1 a2 a32 a33 . . . a3n-2



..................................... =(a2 - a1) (a3 - a1)...(an - a1)  Vn-1 = . . . =

1 an an2 an3 . . . ann-2
=(a2 - a1) (a3 - a1)...(an - a1) (a3 - a2) (a4 - a2)...(an - a2) ...(an - an-1 )=

n

= (ai-aj).

i> j

3-misol. Ushbu determinantni uchburchak ko'rinishga keltirib hisoblang:

a-x a a . . . a

a a-x a . . . a

D = a a a-x . .. a

..........................

a a a . . . a-x .

Oxirgi ustunini (-1) ga ko'paytirib barcha ustunlariga kushib chiqamiz:



-x 0 0 . . . a

0 -x 0 . . . a

D = 0 0 -x . . . a

...................... ....

x x x . . . a-x .

Endi barcha satrlarini oxirgi satriga kushamiz:





-x 0 . . . a

0 -x . . . a

D = ...................... =(-x)n-1 (na- x).

0 0 . . . na-x

4- misol.Berilgan D determinantni chiziqli ko'paytuvchilarini ajratish usuli bilan hisoblang:

1 x1 x2 . . . xn

1 x x2 . . . xn

D= 1 x1 x . . . xn (1)

..........................

1 x1 x2 . . . x .
D ning yoyilmasi n-darajali ko'phad bo'lib u x=x1, x2 , . . . , xn da nolga aylanadi.

Shuning uchun ham



D= c (x - x1) (x - x2) ... (x - xn) (2)

deb olsak bo'ladi. Endi noma'lum koeffisiyent s ni aniqlaymiz. (1) ning boshhadi xn-1, demak с=1.

Shunday qilib

D = ( x - x1 ) ( x - x2 ) ... ( x - xn ).
5-misol . ( Rekurent formulalardan foydalanish).
ao -1 o o ... o o

a1 x -1 o ... o o

Dn+1 = a2 o x -1 ... o o

- - - - - - - - - - - - - - - -

an-1 o o o ... x -1

an o o o ... o x ni hisoblang.

Dn+! ni oxirgi satr elementlari bo'yicha yoyamiz:




-1 o o ... o o

x -1 o ... o o

Dn+1 = (-1)n+2 an o x -1 ... o o + x Dn = an (-1)n+2+n +x Dn =

- - - - - - - - - - - - -

o o o ... x -1
= an + x( an-1+x Dn-1 )= an + an-1x + x2 Dn-1 .

Bu yerda

a0 -1

D2 = a1 x = a0 x+ a1 , D1 =a0 .

Shuning uchun ham



Dn+1= a0 xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x + an .

Каталог: attachments -> article
article -> Axloqning kеlib chiqishi, unda ixtiyor erkinligining ahamiyati va axloq tuzilmasi
article -> Podsho Rossiyasi tomonidan O‘rta Osiyoning bosib olinishi sabablari va bosqichlari
article -> Siyosiy mafkuralarning asosiy ko'rinishlari
article -> Mehnat sohasida ijtimoiy kafolatlar tizimi. Reja: Ijtimoiy himoya qilish tushunchasi va uning asosiy yo’nalishlari
article -> Siyosiy madaniyat va siyosiy mafkuralar Reja
article -> O’zbek Adabiyoti tarixi: Eng qadimgi adabiy yodgorliklar
article -> Ma’naviyatning tarkibiy qismlari, ularning o’zaro munosabatlari va rivojlanish xususiyatlari. Ma’naviyat, iqtisodiyot va ularning o’zaro bog’liqligi
article -> Davlatning tuzilishi
article -> Reja: Geografik o‘rni va chegeralari
article -> Yer resurslaridan foydalanish va ularni muhofaza qilish Reja: Tuproq, uning tabiat va odam hayotidagi ahamiyati. Dunyo yer resurslari va ulardan foydalanish


Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa