Termiz davlat universiteti fizika- matematika fakulteti matematik tahlil kafedrasi


MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR



Download 0.82 Mb.
bet9/9
Sana25.06.2017
Hajmi0.82 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9
MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR.

1. Matrisaning rangi nimaga teng ?

2. Matrisalar ko'paytmasining determinanti haqidagi teoremani ayting.

3. n (n>3) tartibli determinantlarni hisoblash usullari haqida gapirib bering.



22 - MA'RO'ZA

MAVZU : TESKARI MATRISA

REJA:

1. Determinantlarni ko'paytirish.

2. Teskarilanuvchi matrisalar .

3. Teskari matrisani hisoblash usullari.

4. Chiziqli tenglamalar sistemasini matrisaviy ko'rinishda yozish va yechish.

5. Misollar.

ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3]
1. Determinantlarni ko'paytirish. Ushbu teorema o'rinli:

Teorema. Ikkita n tartibli

a11 a12 ... a1n b11 b12 ... b1n

D1 = a21 a22 ... a2n va D2 = b21 b22 ... b2n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

an1 an2 ... ann bn1 bn2 ... bnn
determinantlarning ko'paytmasini yana n- tartibli determinant

с11 с12 ... с1n

D = c21 c22 ... с2n

- - - - - - - - - -

cn1 cn2 ... cnn

shaklida ifodalash mumkin bo'lib, bunda сi j element D1 dagi i - satr elementlari ai1 , ai2 , . . . , ain larni D2 dagi j - ustun elementlari b1 j ,b2j , . . . ,bnj ga

mos ravishda ko'paytirib natijani qo'shish bilan hosil qilinadi, ya'ni

n

ci j = ai1b1j + ai2b2 j + . . . + ain bn j =  ai k bk j . (1)



Isboti. Ushbu 2n -tartibli determinantni qaraymiz:

a11 a12 . . . a1n 0 0 . . . 0

a21 a22 . . . a2n 0 0 . . . 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - ??

an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 0

-1 0 . . . 0 b11 b12 . . . b1n

0 -1 . . . 0 b21 b22 . . . b2n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

0 0 . . . -1 bn1 bn2 . . . bnn .
Agar ? da birinchi ta satrini ajratib n - tartibli minorlar tuzsak faqat birtasi D1 ga teng, qolganlari esa nolga teng bo'ladi. D1 ning algebraik to'ldiruvchisi D2 ga teng bo'ladi . Demak,

=D1 D2 (2)

Endi dagi 1- ustunni b11 ga 2 - ustunni b21 ga , . . . , n - ustunni bn1 ga ko'paytirib n+1- ustuniga qo'shamiz. So'ngra 1- ustunni b12 ga , 2- ustunini b22 ga va x.k. n - ustunini bn 2 ga ko'paytirib n+2 - ustuniga qo'shamiz va x.k. davom etib 1- ustunini

b1n ga, ikkinchi ustunini b2n ga va x.k. n- ustunini bnn ga ko'paytirib 2n - ustuniga qo'shamiz. U holda ushbuga ega bo'lamiz (determinantning xossalariga ko'ra  ning qiymati o'zgarmaydi):

a11 a12 . . . a1n с11 с12 . . . с1n

a21 a22 . . . a2n с21 с22 . . . с2n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 an1 an2 . . . ann сn1 сn2 . . . сn n



-1 0 . . . 0 0 0 . . . 0

0 -1 . . . 0 0 0 . . . 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

0 0 . . . -1 0 0 . . . 0 .
Agar  ning oxirgi n ta satrini ajratib shu satrlardagi n-artibli minorlar bo'yicha yoysak = МА ga ega bo'lamiz. (Chunki faqat

-1 0 . . . 0

М= 0 -1 . . . 0 = ( -1)n 0 bo'lib qolgan barcha n- tartibli minorlar

- - - - - - - - - nolga teng).



0 0 . . . 0
Bu yerda

A= (-1)(n+1)+(n+2)+ . . . +2n +1+2+ . . . + n D= (-1) n+2(1+2+ . . . + n ) D= (-1) n D.
 = ( -1)n ( -1)n D =( -1)2nD =D . (3)

Demak, (2) va (3) dan D1D2= D.


Determinantlarni transponirlasak uning qiymati o'zgarmagani uchun determinantlarni ko'paytirish uchun ham hozirgi ko'rib o'tilgan “ satrlarini

ustunlariga“, bo'yicha qoidasidan tashqari “satrlarini satrlariga”, “ustunlarini satrlariga”, ”ustunlarini ustunlariga ” qoidalarini qullash mumkin.



Natija. A va В kvadrat matrisalar ko'paytmasining determinanti shu matrisalar determinantlarining ko'paytmasiga teng.

det (A B)=detA detB . (4)

Umuman

A1 A2 Ak = А1 A2 Ak ; A k = Ak .



2. Teskari matrisa .

Faraz etaylik F maydonda n-tartibli A matrisa berilgan bo'lsin. Agar



А В = В А=Е (1)

shartni qanoatlantiruvchi В n - tartibli kvadrat matrisa mavjud bo'lsa, bu matrisaga A ga teskari matrisa deyiladi, o'z navbatida A ham В ga teskari matrisa bo'ladi . (1) dan



det (A B) = detA  detB = detЕ=1

bo'lgani uchun detA 0 va detB 0 degan xulosaga kelamiz, yani faqat xosmas matrisalar uchun teskarisi mavjud bo'lar ekan . Bundan keyin A ga teskari matrisani

А-1 bilan belgilaymiz.

Berilgan matrisaga teskari matrisani topishning 2 xil usuli bor:

1). Determinantlardan foydalanib ;

2). Matrisadagi elementar almashtirishlardan foydalanib topish .

Avvalo 1- usulni qarab chikaylik . Faraz etaylik


a11 a12 ... a1n

A = a21 a22 ... a2n

- - - - - - - - -

an1 an2 ... ann

matrisa berilgan bo'lsin. U holda



A11 A21 . . . An1

1 A12 A22 . . . An 2

A-1 = - - - - - - - - - - - -

det A A1n A2n . . . An n
matrisa A ga teskari matrisa bo'ladi. Bu yerdagi Aij A matrisadagi aij elementning algebraik to'ldiruvchisi.

Haqiqatan ham

a11A11+a12 A12 + ... +a1n A1n a11A21+a12 A22 + ... + a1n A2n . . .

1 a21A11+a22 A12 + ... +a2n A1n a21A21+a22 A22 + ... + a2nA2n . . .

AA-1= - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

detA an1A11+an2 A12+ ... + ann A1n an1A21+a21 A22 + ... + ann A2n . . .




. . . a11 An1+a12 An2 + ... + a1n Ann D 0 . . . 0 1 0 . . . 0

. . . a21 An1+a22 An2 + ... + a2n Ann 1 0 D . . . 0 0 1 . . . 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = - - - - - - - = - - - - - - - = E .

. . . an1An1+ an2 An2+ ... + ann Ann D 0 0 . . . D 0 0 . . . 1
М и с о л . Berilgan A matrisaga teskari matrisani hisoblang.

2 -3 2

A= - 4 -2 5

5 1 - 6
Barcha elementlarga mos algebraik to'ldiruvchilarni hisoblaymiz:


-2 5 - 4 5

A11=(-1)1+1 1 -6 = 12 - 5 = 7 ; А12= - 5 -6 = - 24 + 25 = 1 ;

- 4 -2 -3 -2

A13 = 5 1 =- 4 + 10 = 6 ; A21 = - 5 -6 = -(18 + 2)= -20 ;




2 -2 2 -3

A22= 5 -6 = - 12 + 10 = - 2 ; A23= - 5 1 = - ( 2 + 15)= -17 ;
-3 -2 2 -2

A31= -2 5 = -15 - 4 = -19 ; A32= - - 4 5 = - 10 + 8 = - 2 ;
2 -3

A33= - 4 -2 = - 4 - 12 = -16 ; A = 24 + 8 - 75 - 20 + 72 - 10 = - 1 ;

Demak, -7 20 19



A-1= -1 2 2

-6 17 16 .

Tekshirish:



- 14+3+12 40 - 6 - 34 0 1 0 0

AA-1 = 0 1 0 = 0 1 0 = E

0 0 1 0 0 1
Ikkinchi usul . Agar A xosmas n - tartibli matrisa berilgan bo'lsa, ushbu ( АE) matrisani to'zib olib shunday elementar almashtirishlar bajaramizki, buning natijasida

( EB) matrisa hosil bo'lsin. Ana shu В=А-1 matrisa A ga teskari matrisa bo'ladi . (Bu tasdiqning qat'iy isboti uyga mustaqil topshiriq). Endi yuqridagi misolni ikkinchi usul bilan yechaylik:
2 -3 -2 1 0 0 2 -3 -2 1 0 0 2 -3 -2 1 0 0

-4 -2 5 0 1 0 ~ 0 -8 1 2 1 0 ~ 0 -8 1 2 1 0 ~

5 1 -6 0 0 1 1 -1 -1 0 1 1 0 -1 0 1 -2 -2

2 -3 -2 1 0 0 2 -3 -2 1 0 0 2 -3 -2 1 0 0

~ 0 -8 1 2 1 0 ~ 0 8 0 8 16 16 ~ 0 1 0 -1 2 2 ~

0 0 1 -6 17 16 0 0 1 -6 17 16 0 0 1 -6 17 1
2 0 0 -14 -40 38 1 0 0 -7 -20 19

~ 0 1 0 -1 2 2 ~ 0 1 0 -1 2 2

0 0 1 -6 17 16 0 0 1 -6 17 16 .

Shunday qilib -7 20 19



A-1= -1 2 2

-6 17 16 .
4.Chiziqli tenglamalar sistemasini matrisaviy ko'rinishda yozish va uni yechish.

F maydondagi nxn- chiziqli tenglamalar sistemasi

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1j xj + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2j xj + ... + a2n xn = b2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (1)

an1 x1 + an2 x2 + ... + anj xj + ... + ann xn = bn

berilgan bo'lsin. Agar (1) ning asosiy matrisasini A, no'ma'lumlar ustunini X va ozod hadlar ustunini b bilan belgilasak, ya'ni


a11 a12 ... a1n x1 b1

A = a21 a22 ... a2n x2 b2

- - - - - - - - - , X = ... , b = ...

an1 an2 ... ann xn bn
deb belgilab olsak, (1) ni quyidagicha yoza olamiz:

AX = b . (2)

Bo'nga (1)-chiziqli tenglamalar sistemasining matrisaviy ko'rinishda yozilishi deyiladi.

Agar detA 0 bo'lsa , u holda A ga teskari А-1 matrisa mavjud bo'ladi va A-1AX = A-1 b yoki (A-1A)X = A-1 b, bu yerda A-1A = E va EX =X bo'lgani uchun

X = A-1 b (3)

tenglikka ega bo'lamiz.



M i s o l . Ushbu tenglamalar sistemasini matrisaviy ko'rinishda yozing va

yeching:



x1 - x2 +2x3 =2 1 -2 2 x1 b1

3x1 -3x2 +7x3 =9 A= 3 -3 7 X= x2 b= b2

2x1 -3x2 +5x3 =2 . 2 -3 5 , x3 , b3
deb olsak АХ=b hosil bo'ladi. Endi A-1 ni topaylik.
1 -1 2 1 0 0 1 -1 2 1 0 0 1 0 1 3 0 -1

3 -3 7 0 1 0 ~ 0 0 -1 3 -1 0 ~ 0 1 0 -1 1 -1 ~

2 -3 5 0 0 1 0 1 -1 2 0 -1 0 1 -1 2 0 -1
1 0 1 3 0 -1 1 0 0 6 -1 -1 6 -1 -1

~ 0 1 0 -1 1 -1 ~ 0 1 0 -1 1 -1 A-1= -1 1 -1 ва

0 0 1 -3 1 0 0 0 1 -3 1 0 . -3 1 0

6 -1 -1 2 12-9-2 1 x1 1

X= A-1b= -1 1 -1 9 = -2+9-2 = 5 ; x2 = 5

-3 1 0 2 -6+9+0 3 x3 3

Demak, х1 =1, х2 =5, х3 =3 .



MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR

1. Teskari matrisa deb qanday matrisaga aytiladi?

2. qanday matrisalar uchun teskarisi mavjud bo'ladi?

3. Berilgan matrisaga teskari matrisa mavjud bo'lsa uni topishning qanday usullarini bilasiz?

4. Matrisaning rangini topishning qanday usullarini bilasiz?

5. Ushbu matrisaviy tenglama АХ=В дан номаълум матрица Х ни топинг.

dan noma'lum matrisa X ni toping.


ADABIYOTLAR

1. Xojiyev J., Faynleyb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi. Toshkent.

O'zbyokiston. 2001 yil. 304 bet.

2. Kurosh A.G. Oliy algebra kursi. Toshkent. O'qituvchi . 1975yil.

3. Nazarov R.N., Toshpulatov B.T., Dusimbetov A.D. Algebra va sonlar

nazariyasi. I, II- Qism. Toshkent .O'qituvchi . 1993, 1995yil.

4. Iskandarov R.I. Oliy algebra. I,II-Qism.“O'rta va oliy maktab”.Toshkent.

1963.


5. Gelfand I.M. Leksii po lineynoy algebre. M. “Nauka”. 1971.

6. Kostrikin A.I. Vvedeniye v algebru. M.”Nauka”. 1977.

7. Fadeyev D.K. Leksii po algebre. Uchebnik . M. “Nauka”. 1984.

8. Golovina L.I. Lineynaya algebra i nekotoro'e yeyo prilojeniye . M. “Nauka”.

1983.

9. Proskuryakov I.V. Sbornik zadach po lineynoy algebre. M.”Nauka”. 1983.



10. Fadeyev D.K. , Sominskiy I.S. Sbornik zadach po vo'sshey algebre. M.

“Nauka”. 1985.

11. Sbornik zadach po algebre. Pod redaksiyey A.I. Kostrikina. M. “Nauka”.

1987.




Каталог: attachments -> article
article -> Axloqning kеlib chiqishi, unda ixtiyor erkinligining ahamiyati va axloq tuzilmasi
article -> Podsho Rossiyasi tomonidan O‘rta Osiyoning bosib olinishi sabablari va bosqichlari
article -> Siyosiy mafkuralarning asosiy ko'rinishlari
article -> Mehnat sohasida ijtimoiy kafolatlar tizimi. Reja: Ijtimoiy himoya qilish tushunchasi va uning asosiy yo’nalishlari
article -> Siyosiy madaniyat va siyosiy mafkuralar Reja
article -> O’zbek Adabiyoti tarixi: Eng qadimgi adabiy yodgorliklar
article -> Ma’naviyatning tarkibiy qismlari, ularning o’zaro munosabatlari va rivojlanish xususiyatlari. Ma’naviyat, iqtisodiyot va ularning o’zaro bog’liqligi
article -> Davlatning tuzilishi
article -> Reja: Geografik o‘rni va chegeralari
article -> Yer resurslaridan foydalanish va ularni muhofaza qilish Reja: Tuproq, uning tabiat va odam hayotidagi ahamiyati. Dunyo yer resurslari va ulardan foydalanish


Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa