Termiz davlat universiteti fizika- matematika fakulteti matematik tahlil kafedrasi

REJA:

1. Natural sondar sistemasini aksiomatik aniqlash .

2. Matematik induksiya prinsipi.

3. Birlashmalar. O'rinlashtirishlar, o'rin almashtirishlar, gruppalashlar.

4. Nyuton binomi formulasi.

Adabiyotlar [ 1, 2] .
Conli sistemalarni ko'rishning ikki usuli konstruktiv va aksiomatik usullari mavjud. Bu ikkala usul ham to'plam tushunchasiga asoslangan bo'lib, dastlab natural keyin butun, rasional, haqiqiy va kompleks sonlar sistemalari qaraladi.

Konstruktiv usulning mohiyati shundan iboratki, yangi qurilayotgan sistema avvaldan ma'lum bo'lgan tushunchalar yordamida bayon etiladi. Masalan, natural sonlar sistemasi uchun boshdangich tushuncha To'plam hisoblansa, butun sonlar sistemasi uchun boshlang'ich tushuncha natural sonlardir va hokazo. (Konstruktiv usulga natural sonlarni chekli To'plamlarning kuvvati sifati-da kiritishni misol qilib olish mumkin).

Sonlar sistemasini aksiomatik usulda ko'rishda esa har bir sistemaning asosiy xossalari aksiomalar yordamida beriladi.

Biz quyida natural sonlar sistemasini aksiomatik usulda aniqlashni karab chiqamiz. Buning uchun asosiy boshlang'ich munosabat sifatida “b element a elementdan bevosita keyin keladi” munosabatni va shu munosabat o'rinli bo'lgan aksiomalar sistemasini olamiz.

1-ta'rif. Biror bo'sh bo'lmagan N to'plamning a va b elementlari uchun “b element а elementdan bevosita keyin keladi” munosabati o'rinli bo'lib, maskur to'plam elementlari uchun quyidagi 4 ta aksioma bajarilsa, u holda N to'plamning elementlariga natural sonlar deyiladi.

1) hech qanday natural sondan keyin kelmaydigan 1 soni mavjud. (Agar а dan bevosita keyin keladigan elementni а' desak, bu aksiomaga ko'ra а'  1).

2) istalgan а natural sonidan bevosita keyin keluvchi yagona а' natural soni mavjud, ya'ni agar a=b  a'=b',  a,b N.

3) 1 sonidan boshqa har bir natural son birta va faqat birta natural sondan keyin keladi, ya'ni agar a'=b'  a=b, a,b N .

4) agar natural sonlar To'plamining istalgan М Qism to'plami:

а) 1 ni o'z ichiga olsa;

б) ixtiyoriy а М dan, а'  М ekanligi kelib chiqsa, М qism to'plam N natural sonlar to'plami bilan ustma ust tushadi, ya'ni

М  N ( 1  М) va (а М  а' М)  М=N.

Bu aksiomaga induksiya aksiomasi deyiladi. Yuqridagi aksiomalar sistemasi dastlab italyan matematigi Peano (1858-1932) tomonidan kiritilgani uchun, ularni Peano deyiladi.

Induksiya aksiomasining mohiyati quyidagicha:  n  N uchun А (n) B(n) teoremani isbotlaganda avval uning rostligi n =1 da ko'rsatiladi. So'ngra teoremani n =к uchun o'rinli deb olib n=к+1 bo'lganda teoremaning rost ekanligi isbotlanadi. Shundan keyin teorema istalgan n natural soni uchun to'g'ri deb hisoblanadi.

Endi shu usulning to'g'ri ekanligini isbotlaymiz.

Teorema. (Matematik induksiya prinsipi). Agar biror В(n) tasdiq n=1 uchun rost bo'lib, uning n=k da rostligidan n=k+1 da rost ekanligi kelib chiqsa, u holda B(n) tasdiq istalgan n natural soni uchun ham o'rinli bo'ladi.

Isboti. Faraz etaylik, M N to'plam B(n) tasdiq o'rinli bo'lgan to'plam bo'lsin. U holda teorema shartiga ko'ra 1 M va 1'=2 M, 2'=3 M,... . Demak, induksiya aksiomasiga ko'ra M=N.

Misollar.

1. 1²+2²+3²+ ... + n²= (1/6) n(n+1) (2n+1) (1)

tenglikning barcha natural sonlar uchun o'rinli ekanligini isbotlaylik. n=1 da (1) dan

1² =(1/6)1(1+1)(2.1+1)  1=1 ni hosil qilamiz, ya'ni n=1 da (1) tenglik o'rinli.

Faraz etaylik n=k da berilgan tenglik o'rinli bo'lsin, ya'ni

1²+2²+3²+ ... + k²= (1/6) k(k+1) (2k+1 ). (2)
Biz berilgan tenglikning n=k+1 uchun o'rinli ekanligini, ya'ni
1²+2²+3²+ ... +k²+ (k+1)² = (1/6) (k+1)(k+2) (2k+3) (3)
tenglikning o'rinli ekanligini ko'rsatamiz. Haqiqatan ham (2) ga ko'ra
1²+2²+3²+ ... +k²+ (k+1)²=(1/6) k(k+1) (2k+1)+(k+1)²=(1/6)(k+1) (2 k²+k+

+6k+6)=(1/6)(k+1)(2 k²+7k+6)=(1/6)(k+1)(k+2)(2k+3),

ya'ni (3) tenglik o'rinli. Demak, yuqorida isbotlangan teoremaga ko'ra (1) tenglik ixtiyoriy n natural soni uchun o'rinli.

2. 1³+2³+3³+ ... + n³=(n(n+1)/2)² ekanligini isbotlang. ( Bu mustaqil bajarish uchun uyga vazifa).

Chekli sondagi elementlardan ma'lum tartibda olib to'zilgan guruhlarga birikmalar deyiladi.

Birikmalar 3 turga: o'rinlashtirish, o'rin almashtirish va gruppalashlarga bo'linadi.

1. O'rinlashtirishlar m elementdan n tadan (1 n  m) to'zilgan o'rinlashtirishlar deb birbiridan kamida birta elementi bilan yoki elementlarining joylashish tartibi bilan farq qiluvchi birikmalarga aytiladi.

m elementdan n tadan to'zilgan o'rinlashtirishlar sonini A_mⁿ bilan belgilaymiz. Bu grekcha “Arrangument” (o'rinlashtirish) so'zining bosh harfidan olingan.

Misol. a,b,c uchta elementdan 1 tadan to'zilgan o'rinlashtirishlar a, b, c; ularning soni A₃¹ =3; 3 elementdan 2 ta to'zilgan o'rinlashtirishlar: ab, ac, bc,ba, ca,cb; bo'larning soni A₃ ²=6 .

3 elementdan 3 ta to'zilgan o'rinlashtirishlar: abc,bac,bca,acb,cab,cba; bo'larning soni ham A₃ ³ =6.

Umuman, A_m ⁿ = m(m-1) (m-2) ... (m-(n-1)) (1)

ekanligini ko'rsatish mumkin.

Haqiqatdan ham agar а₁ , a₂ , ... , a_m-1 , a_m elementlar berilgan bo'lsa, ulardan 1 tadan to'zilgan o'rinlashtirishlar а₁ , a₂ , ... , a_m-1 , a_m bo'lib, ularning soni A_m ¹ = m ga teng.

m elementdan 2 ta to'zilgan o'rinlashtirishlarni hosil qilish uchun m elementdan 1ta to'zilgan o'rinlashtirishlarni yozib olib, ularning har birining yoniga qolgan m-1 elementni yozib chiqish kifoya:
а₁ a₂, а₁ a₃ , ... , а₁ a_m-1 , а₁ a_m

а₂ a₁, a₂ a₃ , ... , a₂ a_m-1 , a₂ a_m

.........................................................

a_m а₁ , a_m a₂ , ... , a_m a_{m- 2} a_m a_m-1
bunda m ta satr va m-1 ta ustun bor. Demak, A_m ² = m(m-1).

Endi m elementdan 3 tadan to'zilgan o'rinlashtirishlarni hosil qilish uchun m elementdan 2 tadan m(m-1) ta o'rinlashtirishlarni yozib olib ularning har birining yoniga qolgan m-2 ta elementlarni yozib chiqamiz:

а₁ a₂ a₃ , а₁ a₂ a₄ , ... , а₁ a₂ a_m-1 , а₁ a₂ a_m

a₁ а₃ a₂ , a₁ a₃ a₄ , ... , a₁ a₃ a_m-1 , a₁ a₃ a_m

......................................................... ................................

a_m a_m-1 а₁ , a_m a_m-1 a₂ , ... , a_m a_m-1 a_{m- 3} , a_m a_m-1 a_{m- 2 .}

Bu yerda m(m-1) ta satr va m-2 ta ustun bor. Demak, A_m³ = m(m-1)(m-2).

Bu jarayonni n marta takrorlab (1) formulani hosil qilamiz.

Misol: A₅ ³ = 5.4.3=60

2. O'rin almashtirishlar. m ta elementdan to'zilgan o'rin almashtirishlar deb har birida m ta element bo'lib, bir-biridan faqat elementlarining joylashish tartibi bilangina farq qiluvchi birikmalarga aytiladi.

m ta elementdan to'zilgan o'rin almashtirishlar soni P_m (permutation) so'zining bosh harfi bilan belgilanadi.

Ta'rifga ko'ra

P_m= A_m^m = m(m-1) (m-2) ... 3 .2. 1 = m ! . (2)

Shuningdek

A_mⁿ = m(m-1 ) (m-2)... (m-(n-1))= m(m-1)(m-2)... (m-(n-1))(m-n)(m-n-1)...

... 3.2.1 / (m-n)(m-n-1)...2.1 = m ! / (m-n) ! = P_m / P_{m - n} , ya'ni
A_mⁿ = P_m / P_{m - n} . (3)

3. Gruppalashla. m elementdan n tadan to'zilgan gruppalashlar deb har birida n ta element bo'lib, bir-biridan kamida birta elementi bilan farq qiluvchi birikmalarga aytiladi.

m elementdan n tadan to'zilgan gruppalashlar soni C_mⁿ (combination so'zining bosh harfi) bilan belgilanadi. Ta'rifdan C_mⁿ P_n =A_mⁿ. Bundan

C_mⁿ = A_mⁿ / P_n (4)
Demak,

C_mⁿ = m(m-1)(m-2)... (m-(n-1)) / n! . (5)

(3) ва (4) dan

C_mⁿ = P_m / P_{m - n} P _{n .} (6)

(6) dan (2) ga ko'ra

C_mⁿ = m! / n! (m-n)! . (7)
Xossalari :

1⁰. C_mⁿ = C_m^m-n .

Haqikatdan ham (6) C_m^m-n = P_m / P_{m - n} P_m-m+n = P_m / P_{m - n} P _n = C_mⁿ .
2⁰. C_mⁿ + C_mⁿ⁺¹=C_m+1ⁿ⁺¹ .

Isboti.
C_mⁿ + C_mⁿ⁺¹= m(m-1)(m-2)... (m-(n-1)) / n! + m(m-1)(m-2)... (m-(n-1))(m-n)/

/ n!(n+1) = m(m-1)(m-2)... (m-(n-1))(m+1) / (n+1)! = C_m+1ⁿ⁺¹ .
Biz C_m⁰= 1 deb belgilab olamiz.
Nyuton binomi. Bizga o'rta maktablardan ma'lumki

a+b = a+b

(a+b)² = a²+2ab+b²

(a+b)³ = a³+3a²b +3ab²+b³.

Endi (a+b)ⁿ ni ham shu tarzda yezish mumkin ekanligini isbotlaymiz, ya'ni ushbu tenglik o'rinli:

(a+b)ⁿ = aⁿ+na^n-1b +(n(n-1)/2!) a^n-2b²+(n(n-1)(n-2)/ 3!) a^n-3b³+ .... +b^{n .} (8)

Bu formulani isbotlash uchun, avvalo quyidagi tenglikning ixtiyoriy natural son n uchun o'rinli ekanligini ko'rsatamiz:

(a+b₁) (a+b₂) (a+b₃) .... (a+b_n) = aⁿ+ s₁ a^n-1 + s₂ a^n-2 + s₃ a^n-3 +.... + s_n , (9)

bu yerda

s₁ = b₁+b₂+ ....+b_n

s₂ = b₁ b₂ +b₁ b₃ + .... +b_n-1 b_n

s₃ = b₁ b₂ b₃+ b₁b₂ b₄ + .... + b_{n- 2}b_n-1 b_n (10)

................................................................

s_n = b₁ b₂ ... b_n .



(9) -tenglik n=1 da o'rinli (a+b₁)¹ = (a+b₁). Endi faraz qilaylik (9) tenglik n>1 uchun o'rinli bo'lsin. Biz uning n+1 uchun ham o'rinli ekanligini isbotlaymiz. (9) ning ikkala tomonini (a+b_n+1) ga ko'paytiramiz. U holda

(a+b₁) (a+b₂) (a+b₃) .... (a+b_n) (a+b_n+1) =

= aⁿ⁺¹+ S₁ aⁿ + S₂ a^n-1 + S₃ a^n-2 +.... + S_n a + S_n+1 ,

bu yerda

S₁ = s₁+b_n+1 = b₁+b₂+ ...+b_n+b_n+1

S₂ = s₂+ s₁b_n+1 = b₁ b₂ +b₁ b₃ + .... +b_n b_n+1

S₃ = s₃+ s₂b_n+1 = b₁ b₂ b₃+ b₁b₂ b₄ + .... + b_{n- 1}b_n b_n+1

...................................................................................

S_n = b₁ b₂ ... b_n + ... + b₂ b₃ ... b₁ b₂ ... b_n



S_n+1 = b₁ b₂ ... b_n b_n+1 .
Demak (9) formula ixtiyoriy n natural son uchun o'rinlidir.

Agar (9) da b₁ =b₂ = ... =b_n = b deb olsak :

(a+b)ⁿ = aⁿ+ C_n¹a^n-1b + C_n² a^{n- 2} b²+ C_n³ a^n-3b³+ .... + C_nⁿbⁿ (11)

Bunda (5) formuladan foydalansak (8) kelib chiqadi.

(11) ni quyidagicha yozish mumkin :

(a+b)ⁿ = C_n⁰aⁿ+ C_n¹a^n-1b + C_n² a^{n- 2} b²+ C_n³ a^n-3b³+ .... + C_nⁿbⁿ (12)

Ma'lumki C_n^p = C_n^n-p bo'lgani uchun Nyuton binomi formulasidagi boshdan va oxiridan bir xil o'zoqlikda turgan hadlarning koeffisiyentlari (bino-mial koeffisiyentlar) tengdir.

Agar (12) da a=b deb olsak:

2ⁿ = C_n⁰+ C_n¹ + C_n² + C_n³+ .... + C_nⁿ ;

agarda a=1, b= -1 deb olsak: 0 =C_n⁰- C_n¹ + C_n² - C_n³ + .... + C_nⁿ(-1)ⁿ yoki bundan C_n⁰+C_n² + C_n⁴ + C_n⁶ + .... = C_n¹+ C_n³ + C_n⁵ + C_n⁷ + ....,

ya'ni juft o'rindagi binomial koeffisiyentlar yig'indisi tok o'rinda turgan binomial koeffisiyentlar yig'indisiga teng.

Misollar :

(a+b)⁰ = 1 1

a+b = a+b 1 1

(a+b)² = a²+2ab+b² 1 2 1

(a+b)³ = a³+3a²b +3ab²+b³ 1 3 3 1

(a+b)⁴ = a⁴+4 a³b+6a²b²+4ab³+ b⁴ 1 4 6 4 1

(a+b)⁵ = a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³ +5ab⁴+b⁵ 1 5 10 10 5 1

......................................................................... ............................................

Bu yeyilmalardagi binomial koiffisiyentlarni Paskal uchburchagi deb ata-luvchi o'ng tomonda keltirilgan uchburchak yordamida aniqlash mumkin.

Mavzuni mustaxkamlash uchun savollar.
1. Peano aksiomalarini ayting.

2. Matematik induksiya metodining mohiyati haqida gapirib bering.

3. Teoremalar va ularni isbotlash usullari haqida nimalarni bilasiz?

4. Birlashmalar qanday turlarga bo'linadi?

5. m elementdan n tadan (1 n m) to'zilgan o'rinlashtirishlarga ta'rif bering.

6. m elementdan to'zilgan o'rin almashtirishlarga ta'rif bering va ularning sonini hisoblash formulasini yozing.

7. m elementdan n tadan (1 n m) to'zilgan gruppalashlar deb nimaga aytiladi?

8. Nyuton binomi formulasini yezing.

9. Binomial koeffisiyentlar qanday xossalarga ega?

10. Paskal uchburchagi va binomial koyeffisiyentlar orasida qanday bog'lanish bor?

8-MA'RO'ZA

MAVZU: ALGEBRAIK AMAL ANIqLANGAN TO'PLAMLAR VA ALGEBRALAR
REJA:

1. Binar, n-ar algebraik amallar. Algebra tushunchasi.

2. Binar algebraik amallarning xossalari .

3. Neytral elementlar .

4. Regulyar elementlar .

5. Simmetrik elementlar .

6. Algebraik amalga nisbatan yopiq to'plam. Misollar.

7. Amallarning additiv va multiplikativ yozuvi.

ADABIYOTLAR [ 1 ,2].

Hozirgi zamon algebrasi to'plam va uning elementlari uchun aniqlangan algebraik amallar va ularning xossalarini o'rganadi. Faraz etaylik bizga bo'sh bo'lmagan А to'plam berilgan bo'lsin.

1- ta'rif. АХА tug'ri ko'paytmani A to'plamga mos quyuvchi  : АХAА akslantirishga A to'plamda aniqlangan binar algebraik amal deyiladi.

Ta'rifga asosan (a,b), (a,b  А) tartiblangan juftlikka cA element mos kelgani holda (b,a) ga c element mos kelmasdan boshqa bir dА element ham mos kelishi mumkin.  akslantirish yordamida a  b АХА juftlikka сА elementning mos qo'yilishi (a,b)=c, (a,b) = c, a b=c ko'rinishda belgilanadi. Odatda ko'pchilik hollarda binar algebraik amallarni belgilash uchun maxsus * , + , , t , ... belgilar ham ishlatiladi. Maktab matematika kursidan ma'lum bo'lgan arifmetik qo'shish va ko'paytirish amallari ham binar algebraik amallarga misol bo'la oladi.

2-ta'rif. Agar Aⁿ=АХАХ ...ХА dekart ko'paytmaning har bir (a₁, a₂,..., a_n) elementiga A to'plamning yagona a a_n+1 elementi mos qo'yilgan bo'lsa, A to'plamda rangi n ga teng bo'lgan ( n o'rinli, n-ар) algebraik amal aniqlangan deyiladi.

n-ар algebraik amalni  bilan belgilasak  (a₁, a₂,..., a_n) = a_n+1. Ba'zi hollarda a_n+1 A bo'lishi mumkin. Bunday hollarda qaralayotgan  algebraik amal А to'plamdagi qismiy algebraik amal deb yuritiladi.

Algebraik amallar nol, bir, ikki, uch,... o'rinli bo'lishi mumkin. Ular mos ravishda nular, unar, binar, ternar, ... , n-ар algebraik amal deyiladi.

1). A to'plamning istalgan elementini alohida olish - nular algebraik amaldir.

2). P(M)- M to'plamning barcha qism to'plamlari to'plami bo'lsin. Har bir А P(M) to'plamga uning to'ldiruvchisi А' =M\ А ni mos quyuvchi akslantirish unar algebraik amalga misol bo'ladi.

3). Natural sonlar to'plamidagi ayirish amali qismiy algebraik amalga misol bo'ladi.

4). Butun sonlar to'plamidagi bo'lish amali ham butun sonlar to'plamidagi qismiy algebraik amaldir.

5). n ta natural sonlar a₁ , a₂ ,..., a_n ga ularning eng katta umumiy bo'luvchisi d ni mos quyuvchi amal n-ar algebraik amaldir.

Birta A to'plamda aniqlangan barcha algebraik amallar f₁ , f₂ ,..., f_s bo'lsin.

3-ta'rif. Bo'sh bo'lmagan A to'plam va unda aniqlangan algebraik amallar to'plami  dan to'zilgan   juftlikka algebra deyiladi.

Agar  dagi amallar soni chekli bo'lsa, ular sanab ko'rsatiladi, ya'ni А  f₁ , f₂ ,..., f_s  ko'rinishda yoziladi.   bo'lsa, A to'plamga A algebraning asosiy to'plami,  ga esa asosiy amallar to'plami deyiladi. f algebraik amalning rangi r(f) ko'rinishda belgilanadi. (r( f₁ ), r(f₂ ),..., r(f_s)) ga А  f₁ , f₂ ,..., f_s  lgebraning tipi deyiladi.

Masalan,  N  + , .  , ( 2,2,0) tipli

 Z  + , - ,.  , ( 2,2,2) tipli

 P(M)   ,  ,   , ( 2,2,1) tipli algebradir.
Binar algebraik amallarning xossalari. Faraz etaylik,  va t lar A to'plamdagi ixtiyoriy binar algebraik amallar bo'lsinlar.

Agarda A to'plamning ixtiyoriy a,b elementlari kommutativ uchun a b = = b a tenglik o'rinli bo'lsa,  amalni A to'plamdagi kommutativ algebraik amal deyiladi.

Agar A to'plamning ixtiyoriy a,b,c A elementlari uchun (at b)t c=at(b t c) tenglik bajarilsa, t algebraik amalga A to'plamdagi assosiativ binar algebraik amal deyiladi .

Agar A to'plamning ixtiyoriy a,b,c А elementlari uchun (a  b) t c= (a t c )  (b t c) tenglik o'rinli bo'lsa, t algebraik amal  amalga nisbatan distributiv algebraik amal deyiladi.

Agar  amal assosiativ bo'lsa, (a b) c yoki a (bc) yozuvda qavslarni tushirib qoldirish mumkin.

Misollar. 1). Sonlar to'plamlari N, Z , Q , R dagi arifmetik qo'shish va ko'paytirish amallari kommutativ va assosiativdir. Shuningdek, bu to'plamlarda ko'paytirish qo'shishga nisbatan distributiv ham с.(a+b)=c.a+c.b, lekin qo'shish ko'paytirishga nisbatan distributiv emas: (c.a)+b  (c+b).(a+b).

2). Z dagi ayirish amali va darajaga ko'tarish amallari kommutativ emas:

a-b b-a; a^b b^a .

Bu ayirish va darajaga ko'tarish amallari assosiativ ham emas.

3) .Р(М) to'plamda aniqlangan  ,  amallari kommutativ, assosiativ va har biri ikkinchisiga nisbatan distributiv hamdir.

Нейтрал элементлар.t А т to'plamda aniqlangan binar algebraik amal bo'lsin. Agar A to'plamning ixtiyoriy a А uchun A da at е=а (еtа=а) shartni qanoatlantiruvchi е element mavjud bo'lsa, е ga o'ng (chap) neytral element deyiladi.

Agarda а А uchun а t е= е t а bo'lsa, u holda е ga neytral element deyiladi.

1-teorema. Agar t binar algebraik amalga nisbatan neytral element mavjud bo'lsa, u yagonadir.

Haqikatdan ham agar е va е' larni neytral elementlar desak: at e=et a=a va at е' = =е't a =a bo'lishi kerak. U holda e= е't e= е' .

Natija. Agar t amalga nisbatan neytral element mavjud bo'lsa, barcha o'ng va chap neytral elementlar shu neytral element bilan ustma-ust tushadi.

Misollar. 1).Z , Q , R sonlar to'plamlarida qo'shishga nisbatan neytral element 0 sonidir. Bu to'plamlarda ko'paytirishga nisbatan neytral element 1 sonidir.

N- natural son to'plamida qo'shishga nisbatan neytral element mavjud emas, ko'paytirishga nisbatan esa 1 dir.

2). P(M) to'plamidagi  amalga nisbatan neytral element  to'plam;  amalga nisbatan neytral element esa U- universal to'plam bo'ladi.

Regulyar elementlar. Agar а Aelement ixtiyoriy b, с А elementlar uchun аtb= аtc(btа=сtа) tengliklan b=c kelib chiqsa, а ga t amalga nisbatan A to'plamdagi o'ng regulyar (chap regulyar) element deyiladi.

Agar а A element t amalga nisbatan chap va o'ng regulyar element bo'lsa, u holda o'nga regulyar element deyiladi.

Shunday qilib, agar a regulyar element bo'lsa аt b= аtc tenglikni a ga qisqartirish mumkin.

Misollar: 1). Har bir butun son qo'shish amaliga nisbatan regulyardir.

2). Noldan farqli har bir butun son ko'paytirishga nisbatan regulyar. 0 esa regulyar emas.

3).N to'plamda darajaga ko'tarish a^x= a^y  x=y (a>1) xossaga ega bo'lgani uchun 1 dan boshqa barcha elementlar bu amalga nisbatan o'ngdan regulyar va x^a= y^a bo'lgani uchun N ning barcha elementlari chapdan regulyardir.

2- teorema. Agar a va b elementlar assosiativ binar t amalga nisbatan regulyar bo'lsalar, ularning kompozisiyasi аt b ham t amalga nisbatan regulyar bo'ladi.

Isboti. a va b lar regulyar bo'lgani uchun at c = at d dan c=d va bt c = b t d dan c= d kelib chiqadi. Endi faraz etaylik, c va d elementlar (at b)t c = (at b)t d shartni qanoatlantirsin. U holda t ning assosiativligidan (at b)t c=at(b t c) va (at b)t d= =at(b t d). Bo'larning chap tomonlari teng bo'lganligi uchun o'ng tomonlari ham teng bo'lishi kerak:

at(b t c) = at(b t d)  b t c = b t d  с=d. Demak, а А element element o'ngdan regulyar ekan. Chapdan regulyarligi ham shu usulda ko'rsatiladi.

Simmetrik elementlar. Faraz etaylik, t A to'plamdagi neytral elementga ega bo'lgan binar algebraik amal bo'lsin. а А element uchun аt u=e ( ut a=e) shartlarni qanoatlantiruvchi u А elementga a elementga nisbatan o'ng (chap) simmetrik element deyiladi.

Agarda, ata' = a't a= e tenglik o'rinli bo'lsa, u holda element a elementga simmetrik element deyiladi.

Misollar. 1). Z to'plamda qo'shish amaliga nisbatan a elementga simmetrik element -a bo'ladi.

2). R to'plamda ko'paytirish amaliga nisbatan a(a 0) elementga simmetrik element 1/a bo'ladi. 0 uchun esa bu holda simmetrik element mavjud emas.

3-teorema. Assosiativ t amalga nisbatan a elementga simmetrik element mavjud bo'lsa, u yagonadir.

Isboti. Faraz etaylik, u,v lar a ga simmetrik elementlar bo'lsin. U holda atu = ut a= e va atv = vt a= e. t amalning assosiativ ekanligidan u= ute= ut (atv)=(uta)t=v = etv= v.

Natija. Agar a ga t amalga nisbatan simmetrik element a' mavjud bo'lsa, u holda a elementning barcha o'ng va chap simmetrik elementlari a' ga teng bo'ladi.

4-teorema. Agar a va b elementlar uchun assosiativ t amalga nisbatan simmet-rik a' va b' elementlar mavjud bo'lsa, u holda at b ga simmetrik element ham mavjud va u b't a' dan iborat bo'ladi.

Haqikatan ham,

(at b) t (b't a' )=((at b) t b')t a' =( at (bt b'))t a' =( atе)t a' =аt a' = е.

Natija. Agar a element uchun assosiativ t amalga nisbatan simmetrik element a' mavjud bo'lsa, a element t amalga nisbatan regulyar element bo'ladi.

Haqikatan ham, аt a' = a't a= е bo'lib, аt b= аtc bo'lsin. U holda a't(at b)=a't(atc) yoki (a'ta)t b=(a'ta)tc bundan esa et b= etc  b= c.

Faraz etaylik, A to'plamda t - binar amal aniqlangan bo'lsin va ВА bo'lsin.

Agarda a,b B, at b B bo'lsa, u holda В to'plamga t amalga nisbatan yopiq to'plam deyiladi.

4-teoremadan kelib chiqadiki, assosiativ binar amal t ga nisbatan simmetrik elementga ega bo'lgan barcha elementlar to'plami t amalga nisbatan yopiqdir. B A bo'lsa, A da aniqlangan t amal, B da biror t ' binar algebraik amalni aniqlaydi: at' b= at b, a,b B.

Bu holda t amalga В to'plamda aniqlangan t' amalning A dagi davomi deyi-ladi.

Agarda t amal u yoki bu ma'noda arifmetik qo'shish (ko'paytirish) amali bilan bog'liq bo'lsa, o'nga additiv (multiplikativ) algebraik amal deyiladi va + () bilan belgilanadi. Bu holda neytral elementga nol 0 (1 birlik) element, simmetrik elementga esa qarama-qarshi (teskari) element deyiladi.
Mavzuni mustaxkamlash uchun savollar.
1). Algebraik amal tushunchasi. Misollar.

2). Kommutativ va assosiativ algebraik amallar.

3). Neytral element deb qanday elementga aytiladi?

4). Simmetrik element deb qanday elementga aytiladi?

5). Yarim gruppaga ta'rif bering.

6). Umumlashgan assosiativlik qonunini tushuntiring.

9,10- MA'RO'ZA

MAVZU: GRUPPALAR, QISM GRUPPALAR VA ULARNING

XOSSALARI.