Termiz davlat universiteti fizika- matematika fakulteti matematik tahlil kafedrasi

O'ZBYOKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O'RTA MAXSUS

TA'LIM VAZIRLIGI
TERMIZ DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA- MATEMATIKA FAKULTETI

MATEMATIK TAHLIL KAFEDRASI


ALGEBRA VA SONLAR NAZARIYASI
FANIDAN MA'RO'ZALAR MATNI

( 1-kurs matematika va amaliy matematika bo'limi talabalari uchun)


TO'ZUVCHI: FIZIKA-MATEMATIKA FANLARI

NOMZODI, DOSENT ALLAKOV I.A.

TERMIZ-2005

1-MA'RO'ZA
MAVZU: TO'PLAMLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR. TO'PLAMLAR ALGEBRASI.
REJA:
1. To'plam tushunchasi va o'nga misollar.

2. Qism to'plamlar va ularga misollar.

3. To'plamlar ustida bajariladigan amallar.

4. To'plamlar ustida bajariladigan amallarning xossalari.

5. Bo'sh va universal to'plamlar. To'ldiruvchi to'plam.

6. To'plamlar ustida bajariladigan amallarni Eyler-Venn

diagrammalari yordamida ifodalash.

ADABIYOTLAR [ 1, 2 ] .

1. To'plam matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo'lib, u matematika faniga nemis matematigi Georg Kantor (1845-1918) kiritilgan. To'plam tushunchasi eng sodda tushunchalardan biri bo'lgani uchun o'nga ta'rif berilmaydi. Odatda ob'yektlarni (predetlarni) birgalikda olib qaraganimizda to'plam tushunchasiga kelamiz. Lekin bu yuzaki qarash bo'lib ayrim olingan birta elementning o'zini ham to'plam deb qarash mumkin.

To'plamlarni biz lotin alfavitining bosh harflari A, B, C, D, ... bilan, to'plamni tashkil etuvchi ob'yektlarni (ya'ni to'plamning elementlarini) esa lotin alfavitining kichik harflari a, b, c, d,... lar bilan belgilaymiz. a lar bilan belgilaymiz. A to'plamga tegishli ekanligini a A ko'rinishda b elementning A to'plamga tegishli emas ekanligini esa b A ko'rinishda belgilaymiz. A to'plam a, b, c, d, e elementlardan tashkil topgan bo'lsa, u A={ a, b, c, d, e} ko'rinishda belgilanadi.

Agar qaralayotgan to'plamdagi elementlar soni chekli bo'lsa, bu to'plamga chekli to'plam, aks holda, ya'ni to'plamdagi elementlar soni cheksiz ko'p bo'lsa, bu to'plamga cheksiz to'plam deyiladi.

Masalan: A={ a, b, c, 1, 2},

B- O'zbyokistondagi talabalar to'plami,

C - Yer yuzidagi sut emizuvchi hayvonlar to'plami.

Bu A,B,C to'plamlar chekli to'plamlardir.

N={ 1, 2, 3, 4, ... , n, ...}- to'plamlar chekli to'plamlardir.

Z={ 0, 1, 2, 3, ... ,  n, ...} - butun sonlar to'plami,

Z_m = { 0,  m, 2m, ... } - m ga karrali butun sonlar to'plami.

Bu N, Z ,Z_m - to'plamlar cheksiz to'plamlarga misol bo'ladi.

2. Agar А va В to'plamlar berilgan bo'lib, А to'plamning har bir elementi В to'plamga tegishli bo'lsa, А to'plamni В to'plamning qism to'plami deyiladi va А В ko'rinishda belgilanadi. Agarda А В bo'lib В da А ga kirmagan element mavjud bo'lsa, А ga В ning xos qismi deyiladi.

Masalan. A={ a , b , c , d , e } va B={a, b, c, d, e, f, l, 1, 2} bo'lsa, А В. Shuningdek N Z.

Agar А to'plamning har bir elementi В to'plamda va aksincha В to'plamning har bir elementi А to'plamda mavjud bo'lsa, u holda bunday to'plamlarga o'zaro teng to'plamlar deyiladi va А=В ko'rinishda belgilanadi.

Demak, А=В bo'lishi А В va B A munosabatlarga teng kuchlidir. To'plamlarning tegishli bo'lishlilik munosabati quyidagi xossalarga ega:

1). А А (refleksivlik xossasi);

2). А В va B A dan А=В kelib chiqadi (antisimmetriklik xossasi);

3). А В va B C dan А C kelib chiqadi (tranzitivliklik xossasi).

Bu xossalar bevosita ta'rifdan kelib chiqadi.

3. Endi berilgan А va В to'plamlardan yangi to'plamlarni hosil qilish amallarni ko'rib chiqamiz.

А va В to'plamlarning barcha elementlaridan to'zilgan С to'plamga А va В to'plamlarning birlashmasi deyiladi va А В ko'rinishda belgilanadi. Demak, С=A B. Masalan: A={a, b, c, 1, 2} va В={ b, d, 2} bo'lsa, A B = ={a, b, c, d, 1, 2} bo'ladi. Bunda А va В to'plamlarning ikkalasida ham mavjud bo'lgan elementlar birlashmada bir marta olinadi.

А va В to'plamlarning umumiy elementlaridan to'zilgan С to'plamga А va В to'plamlarning kesishmasi deyiladi va А В ko'rinishda belgilanadi. Demak, С=A B Masalan yuqrida berilgan to'plamlar uchun А В={b, 2}.

A to'plamdan В to'plamning ayirmasi deb А ning В ga kirmagan elementlaridan to'zilgan to'plamga aytiladi va А \ В ko'rinishda belgilanadi.

Yuqridagi olgan misolimizda А \ В = { 1, a, c } va В \ А = {d}. Bundan

A \ B  B \ A ekanligi kelib chiqadi.

To'plamlarning ayirmasi bilan birga ularning simmetrik ayirmasi deb

ataluvchi АВ= (A \ B)(B \ A) bilan aniqlanuvchi to'plam ham qaraladi.

А va В to'plamlarning elementlaridan to'zilgan barcha mumkin bo'lgan ( a, b) ko'rinishdagi juftliklar to'plamiga А va В to'plamlarning tug'ri (Dekart) ko'paytmasi deyiladi va АХВ ko'rinishda belgilanadi. (a, b) juftlikda a A va b B. Demak, АХВ ={( a, b)  a A, b B}.

Masalan: А={1, 2, 3}, B={a, b} bo'lsa, АХВ={(1, a); (1, b); (2, a); (2,b);

(3,a); (3,b)} bo'ladi.
4. To'plamlar ustidagi amallar quyidagi xossalarga ega:

1). А А=А, A A=A  idempotentlik;

2). A B = B A, A B = B  A  kommutativlik;

3). A(B C)=(A B) C , A (B C)=(A B) C  assosiativlik;

4). A(B C)=(A B) (A C) , A(B C)=(A B) (A C)  distributivlik;

5). Agar А В bo'lsa, u holda А В=A va А В=А bo'ladi.

Biz faqat 4) ning birinchisini isbotlash bilan chegaralanamiz.

a). x A(B C) bo'lsin, u holda x A yoki x B  C. Faraz etaylik x A

bo'lsin. U holda x А В va x А С. Demak, x(A B)(A C).

Endi x B  C bo'lsin. U holda x B va x С. Demak, x А В va x А С.

Shuning uchun ham x(A B)(A C). Shunday qilib,

A(B C)  (A B) (A C) ( 1)

б). x(A B)(A C) bo'lsa, u holda x A B va x A C. Bundan x A yoki x В va x С. Agar x A bo'lsa, u holda x A(B C) bo'ladi.

Agarda x В va x С bo'lsa, x B  C bo'ladi va shuning uchun ham x A(B C). Demak,

(A B) (A C)  A(BC). ( 2)

(1) va (2) dan isbotlanishi talab etilgan tenglik kelib chiqadi.

5. To'plamlar nazariyasida bo'sh to'plam va universal to'plam deb ataluvchi to'plamlar muhim ahamiyatga ega.

Birorta ham elementga ega bo'lmagan to'plamga bo'sh to'plam deyiladi va  ko'rinishda belgilanadi.

Masalan: 1). Auditoriyadagi daraxtlar to'plami;

2). x+1=0 tenglamaning natural sonlardagi yechimlari to'plami;

3). O'zbyokiston xududidagi okeanlar (ummonlar) to'plami va boshqalar bo'sh to'plamga misol bo'ladi.

Qaralayotgan birorta to'plamning ham qism to'plami deb qaralmaydigan to'plamga universal to'plam deyiladi va U harfi bilan belgilanadi.

Ixtiyoriy А to'plam uchun АU bo'lgani sababli A U=U, AU=A, shuningdek

A =A, A =  bo'ladi.

U\A to'plamga А ning to'ldiruvchisi (ya'ni to'ldiruvchi to'plami) deyiladi va A' bilan belgilanadi.

Shuningdek, А В bo'lsa, В \ А to'plamga А ni В gacha to'ldiruvchi to'plam deyiladi va С_AВ=В\ А ko'rinishda belgilanadi. Osonlik bilan ko'rish mumkinki, A A' =U, A A' =, (A')'=A va agar А В bo'lsa, u holda В' А' bo'ladi.

(А В)'=А' В ', (А В)'=А' В' - to'plamlar uchun de Morgan qonuni.

6. To'plamlar va ular ustida amallarni diagrammalar yordamida ifodalash qulay. Buning uchun А to'plam biror doira ichidagi elementlardan to'zilgan deb qaraymiz. U holda ko'rib o'tilgan amallar quyidagicha tasvirlanadi:

а) A B в) A B с) A\ B

d) AB e) А' f) A B

ФФ

Mavzuni mustaxkamlash uchun savollar.
1. To'plamning harakteristik xossasi deganda nimani tushunasiz?

2. Qism to'plam deb qanday to'plamlarga aytiladi?

3. Chekli va cheksiz to'plamlarga misollar keltiring.

4. To'plamlarning birlashmasi va kesishmasi deb nimaga aytiladi?

5. Berilgan А to'plamdan В to'plamning ayirmasi deb nimaga aytiladi?

6. To'plamlarning Dekart (to'g'ri) ko'paytmasi deb nimaga aytiladi?

7. Bo'sh va universal to'plamga ta'rif bering.

8. To'ldiruvchi to'plam deb qanday to'plamga aytiladi?

9. А= {1, 2, 3, a, b} va В={2 , b, d} bo'lsa, u holda АВ, А В, A\В, АВ va AХВ larni toping.

10. To'plamlar ustida amallarni Eyler Venn doiralari yordamida ifodalang.

5 - MA'RO'ZA
Mavzu: EKVIVALENTLIK VA TARTIB MUNOSABATLARI

REJA:
1. Ekvivalentlik munosabati va o'nga misollar.

2. Ekvivalentlik sinflari faktor-to'plam.

3. Tartib munosabati va o'nga misollar.

4. Qisman va to'la tartiblangan to'plamlar.

ADABIYOTLAR [ 1,2]
1- ta'rif. А to'plamda aniqlangan R binar munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo'lsa, u holda bunday munosabatga А to'plamdagi ekvivalentlik munosabati deyiladi.

Ekvivalentlik munosabati  yoki  simvollar bilan belgilanadi.

Masalan: 1). Ixtiyoriy bo'sh bo'lmagan А to'plamda aniqlangan aynan  tenglik munosabati;

2). Tekislikdagi to'g'ri chiziqlar to'plamida aniqlangan parallellik munosabati;

3). Uchburchaklar to'plamida aniqlangan o'xshashlik munosabati;

4). Fazodagi geometrik figuralarning tengdoshlik munosabati va boshqalar.

Berilgan А to'plamni unda aniqlangan R munosabat bo'yicha ekvivalentlik sinflariga ajratish mumkin. Buning uchun quyidagicha yo'l tutiladi. A to'plamdagi Ixtiyoriy bir a elementni olib aRx shartni qanoatlantiruvchi barcha x A elementlarni birta С_a sinfga kiritamiz. Endi А\C_a= bo'lsa, jarayon shu joyda to'xtaydi. Agarda A\ С_a   bo'lsa, b( A\ С_a) ni olamiz. Tushunarliki bu holda bA va b С_a. Endi barcha y( A\ С_a) , bRy shartni qanoatlantiruvchi y elementlarni ikkinchi bir С_b sinfga kiritamiz. Agar endi (А\C_a )\ С_b =  bo'lsa, jarayonni shu joyda to'xtatamiz. Agarda (А\C_a )\ С_b   bo'lsa, с (А\C_a )\ С_b ni olib cRz shartni qanoatlantiruvchi barcha z elementlarni birta С_с sinfga kiritamiz va hokazo davom etamiz. Tushunarliki, agar А chekli bo'lsa, chekli qadamdan keyin chekli sondagi C_a,,C_b ,...,C_m sinflarga, agarda А cheksiz to'plam bo'lsa, chekli yoki cheksiz sondagi C_a , C_b, .... sinflarga ega bo'lamiz. Bu sinflarga ekvivalentlik sinflari deyiladi.

Sinflarning hosil qilinishiga ko'ra a b bo'lsa, C_a  С_b=  bo'lib

A= C_a  С_b .... (1)

bo'ladi. (1) ga А to'plamning o'zaro kesishmaydigan qism to'plamlar birlashmasiga yoyilmasi deyiladi. Bu holda А to'plamni ekvivalentlik sinflariga bo'laklangan (faktorizasiyalangan) deb ham yuritiladi.

Masalan: 1). Z - butun sonlar to'plamidagi bo'linish munosabati (x-y)/ m ni olaylik (bu yerda m >0) . Tushunarliki, bu munosabat butun sonlar to'plamidagi ekvivalentlik munosabati bo'ladi, chunki: a)  xZ , (x-x)/ m;

b)  x,yZ lar (x- y)/ m dan (y-x)m ning bajarilishi kelib chiqadi;

с) x,y,zZ lar uchun (x-y)/ m va (y-z)/ m larning o'rinli ekanligidan ning o'rinli ekanligi kelib chiqadi, ya'ni qaralayetgan munosabat butun sonlar to'plamidagi refleksiv, simmetrik va tranzitiv munosabatdir.

Endi shu munosabat bo'yicha Z ni ekvivalentlik sinflariga ajrataylik.

Agar

x=mq+k va y=mt+k bo'lsagina (x-y)/ m bo'ladi. Bu yerda k=0,1,2,... m-1 bo'lgani

uchun bu sinflar quyidagicha bo'ladi.

. . . , - 3 m , - 2 m , - m , 0 , m, 2 m, 3 m , . . . ; {mq}=C₀

. . . , - 3 m+1, -2m+1, -m+1, 1, m+1, 2m+1, 3m+1,...; {mq+1}=C₁

. . . , - 3 m+2, -2m+2, -m+2, 2, m+2, 2m+2, 3m+2,...; {mq+2}=C₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . , -2 m - 1, - m -1, -1, m-1, 2m-1, 3 m-1, 4 m-1,...; {mq+m-1}=C_m-
Shunday qilib , Z= C₀  C₁  C₂  ... . C_m-1 .

С_i ning har bir elementiga shu sinfning chegirmasi deyiladi.(1) dagi ekviva- lentlik sinflar to'plami {C_a , C_b , C_c , ... } ga faktor-to'plam deyiladi va А/R ko'rinishda belgilanadi. Demak, A/R ={C_a , C_b , C_c , ... }.

Yuqorida keltirilgan misolimizda faktor-to'plam Z={C₀ , C₁ ,C₂ , ..., C_m-1} bo'lib o'nga m moduli bo'yicha chegirmalar sinflari to'plami deyiladi.

Agar m moduli bo'yicha chegirmalar sinflarining har biridan birtadan

chegirma olib sistema tuzsak hosil bo'lgan sistemaga m moduli bo'yicha chegirmalarning to'la sistemasi deyiladi. Masalan, {0,1 , 2 , . . . , m-1}.

Agarda m moduli bo'yicha chegirmalarning to'la sistemasidan m bilan o'zaro tublarini olib sistema tuzsak hosil bo'lgan sistemaga m moduli bo'yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasi deyiladi. Masalan: m=6 bo'lsa, {1, 5}.

2). N- natural sonlar to'plamini qaralayetgan sonning tub yoki (murakkab) tub emasligi bo'yicha faktorizasiyalash mumkin.

3). Barcha ko'pburchaklar to'plami М ni ko'pburchak tomonlari soni bo'yicha ekvivalent sinflarga ajratish mumkin.

4). Turtburchaklar to'plamida ekvivalentlik munosabatini tomonlarning parallellik tushunchasi sifatida kiritsak, uchta sinf: paralellogrammlar, trapesiyalar va hech qanday ikki tomoni parallel bo'lmagan turtburchaklarga ega bo'lamiz.

Matematika va uning tadbiklarida tartib munosabati deb ataluvchi munosabat muhim ahamiyatga ega. Ikki sonni Miqdori bo'yicha, odamlarning yoshlari bo'yicha, kitoblarni javonda terilishi bo'yicha taqqoslaganda biz tartib munosabatga duch kelamiz.

2-tarif. A to'plamdagi antisimmetrik va tranzitiv munosabat shu tuplamdagi tartib deyiladi.

Tartib munosabati kiritilgan to'plamlarga tartiblangan To'plamlar deyiladi.

Agar А to'plamda aniqlangan  tartib munosabati refleksiv bo'lsa, o'nga qatiy emas tartib munosabati, agar antirefleksiv bo'lsa esa qatiy tartib munosabati deyiladi.

3-ta'rif. А to'plamda aniqlangan  tartib munosabati bog'langan bo'lsa, ya'ni А ning ixtiyoriy x, y elementlari uchun xy yoki x=y yoki yx munosabatlardan biri, faqat biri bajarilsa,  ga chiziqli tartib munosabati deyiladi.

Chiziqli bo'lmagan tartib munosabati odatda qisman tartiblanganlik

munosabati deb yuritiladi.

Misollar.1).Sonlar To'plamida aniqlangan kichik emaslik ()munosabati qisman tartib munosabati bo'ladi.

2). Natural sonlar to'plamida aniqlangan qoldiqsiz bo'lish munosabati ham qisman tartib munosabati bo'ladi.

3). Butun sonlar to'plamida aniqlangan qoldiqsiz bo'linish munosabati esa tartib munosabati emas, chunki a/b va b/a dan a=b kelib chikmaydi.

4-ta'rif. Qisman tartiblangan А to'plamning а elementi uchun ах (х а) munosabat А to'plamdagi barcha х lar uchun bajarilsa, а ga А to'plamning eng kichik elementi (eng katta) deyiladi.

Qisman tartiblangan to'plamlar umuman olganda eng kichik yoki eng katta elementga ega bo'lmasligi mumkin. Tartib munosabati odatda  orqali belgilanadi.

Misollar.

1). Miqdorlari bo'yicha tartiblangan haqiqiy sonlar to'plami eng katta va eng kichik elementlarga ega emas.

2). Manfiymas haqiqiy sonlar to'plami eng kichik element 0 ga ega, lekin eng katta elementga ega emas.

3). Natural sonlar to'plami bo'linish munosabati bo'yicha eng kichik element 1 ga ega, lekin eng katta element mavjud emas.

5-ta'rif. Agar qisman tartiblangan А to'plamning а elementidan qat'iy katta (qat'iy kichik) bo'lgan elementlari bo'lmasa, а ga А to'plamning maksimal (minimal) elementi deyiladi.

Qisman tartiblangan to'plam bir qancha maksimal yoki minimal elementlarga ega bo'lishi mumkin. b

Misollar. f

1). Ushbu grafiklarda strelka uchidagi

element “strelka” boshlanishidagi element-

dan “katta” deb olaylik. b,f lar maksimal c e

elementlar a,c,d lar esa minimal element- a

lardir. d

2). A=N\{1} to'plamdagi ixtiyoriy a va b lar uchun b\ a (b element a ning bo'luvchisi) b a kabi yoziladi. Bunday holda barcha tub sonlar minimal elementlarni tashkil qilgan holda eng kichik element esa mavjud emas.

6-ta'rif. Agar chiziqli tartiblangan А to'plamning ixtiyoriy В-qism to'plami doimo eng kichik elementga ega bo'lsa, bunday to'plamga to'la tartib-langan to'plam deyiladi.

Masalan. Natural sonlar to'plami to'la tartiblangan to'plamga misol buladi. Shuni ham ta'kidlash kerakki, umuman olganda berilgan to'plamda tartib tushunchasini bir necha usullar bilan kiritish mumkin.

Masalan, natural sonlar to'plamida1) {1,2,...,n,...} -tabiiy tartib;

2) {...,n,...,2,1} -teskari tartib.

N Q - rasional sonlar to'plamida ham tartib munosabatini turlicha aniqlash mumkin.

ADABIYOTLAR

1. R.N.Nazarov, B.T.Toshpulatov, A.D.Dusumbetov. Algebra va sonlar nazariyasi. 1-qism, Toshkent, «O'qituvchi»,1993

2. Kulikov D. A. Algebra i teoriya chisel.M. “Vishaya shqola”, 1979

Mavzuni mustaxkamlash uchun misollar .
1). A-to'plamdagi refleksiv, antirefleksiv, refleksivmas munosabatlarga ta'rif bering.

2). Butun sonlar to'plamidagi biror refleksiv munosabatga misol keltiring.

3). Simmetrik munosabat (simmetrikmas, antisimmetrik) deb qanday munosabatga aytiladi?

4). Tranzitiv munosabat deb qanday munosabatga aytiladi?

5). Ekvivalentlik munosabati deb qanday munosabatga?

6). A to'plam unda aniqlangan R ekvivalentlik munosabati bo'yicha qanday qilib sinflarga ajratiladi?

7). Tartib munosabati deb qanday munosabatga aytiladi?

8). Ekvivalentlik va tartib munosabatlariga misollar keltiring.

6,7- MA'RO'ZA
MAVZU: NATURAL SONLAR SISTEMASI. MATEMATIKA INDUKSIYA METODI.BIRLASHMALAR. NYUTON BINOMI.