Termiz davlat universiteti fizika- matematika fakulteti matematik tahlil kafedrasi


MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR



Download 0.82 Mb.
bet5/9
Sana25.06.2017
Hajmi0.82 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9
MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR

1). 1 va 2 o'lchovli arifmetik fazolarga misollar keltiring .

2). n o'lchovli arifmetik fazo deganda nimani tushunasiz?

3). 3 o'lchovli arifmetik fazoga misollar keltiring.

4). Chiziqli bog'langan vektorlar sistemasiga ta'rif bering.

5). Chiziqli bog'lanmagan vektorlar sistemasiga ta'rif bering.


13 -MA'RO'ZA

MAVZU: VEKTORLAR SISTEMASINING RANGI VA BAZISI

REJA:

1. Vektorlarning ekvivalent sistemalari .

2 . Vektorlar sistemasidagi element almashtirishlar .

3. Chekli sondagi vektorlar sistemasining bazisi .

4. Chekli sondagi vektorlar sistemasining rangi .

ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3,].


n- o'lchovli arifmetik fazo Rn dagi vektorlar S={a1, a2 , . . . , ak } ва T =

={ b1 , b2 , . . . , bs} sistemalari berilgan bo'lsin .

Agar S sistemadagi har bir vektorni T sistemasidagi vektorlarning chiziqli kombinasiyasi ko'rinishida va aksincha T sistemadagi har bir vektorni S sistemalagi vektorlarning chiziqli kombinasiyasi ko'rinishda ifodalash mumkin bo'lsa, S vaT vektorlar sistemalariga ekvivalent vektorlar sistemalari deyiladi va S ~T ko'rinishda yeziladi. ~ munosabat binar munosabat bo'lib, refleksiv (S~S), simmetrik (S ~T T~S) va tranzitiv (S~T ва T~L

S~L) lik xossalariga bo'ysunadi, ya'ni ekvivalentlik munosabati bo'ladi .

Xossalari. 1. Ikkita sistemaning ekvivalent bo'lishi uchun ularning chiziqli qobiqlarining teng bo'lishi zarur va yetarlidir .

Isboti. S~T bo'lsin, L (S )=L (T) ekanligini ko'rsatamiz. S~T  aS  a L (T), ya'ni L (S) L (T).

Agarda b L(T ), u holda T~S bo'lgani uchun b L(S ); ya'ni L(T) L (S) . Demak, L(S ) L(T ) .

Agar L (S)= L(T) bo'lsa, S~T ekanligi ta'rifdan bevosita kelib chiqadi.

2. Agar ikkita vektorlarning chekli sistemalari o'zaro ekvivalent bo'lib, chiziqli erkli bo'lsa, ular bir xil sondagi vektorlardan to'zilgan bo'ladi.



Isboti. Agar ikkala vektorlar sistemalari bo'sh bo'lsa, teorema o'rinli. Faraz etaylik

u1 , u2 , . . . , un ва v1 , v2 , . . . , vs lar ekvivplent sistemalar bo'lib har biri chiziqli bog'lanmagan bo'lsin. U holda ilgarigi mavzudagi ikkinchi natijaga ko'ra r s va s r bo'lib, bo'lardan r=s kelib chiqadi.

Chekli vektorlar sistemasidagi elementar almashtirishlar deb quyidagilarga aytiladi:

1). Sistemadagi biror vektorni  songa ko'paytirish;

2). Sistemadagi biror vektorni  ga ko'paytirib ikkinchi bir vektorga qo'shish;

3). Sistemadan nol vektorni chiqarib tashlash yoki nol vektorni qo'shish.

1) va 2)-elementar almashtirishlarga xosmas, 3) ga esa xos almashtirish deyiladi.



1-teorema. Agar chekli sondagi vektorlarning biror sistemasi ikkinchi bir vektor sistemasidan element almashtirishlar yordamida hosil qilingan bo'lsa, bu ikki sistema o'zaro ekvivalent bo'ladi.

Isboti. Faraz etaylik ,

a1, a2 , . . . , am (1)

vektorlar sistemasi berilgan bo'lsin . Agar yangi sistema (1) dan 1) almashtirish natijasida hosil qilingan bo'lsa , u holda

a1, a2 , . . . , am (2)

sistema hosil bo'ladi va (1) hamda (2) larning ekvivalent ekanligi ta'rifdan bevosita kelib chiqadi . Agar yangi sistema



a1+ a2, a2 , . . . , am (3)

ko'rinishda bo'lsa ham (1) va (3) lar ekvivalentdir.

Endi vektorli fazolar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biriga ta'rif beramiz.

Ta'rif. Berilgan chekli sondagi vektorlar sistemasining bazisi deb uning chiziqli bog'lanmagan va berilgan sistemaga ekvivalent bo'sh bo'lmagan qismiy sistemasiga aytiladi.

Boshqacha so'z bilan aytganda berilgan vektorlar sistemasidagi har bir vektorni ifodalash mumkin bo'lgan, chiziqli bog'lanmagan, bo'sh bo'lmagan qismiy sistemadir.

2-teorema. Agar chekli vektorlar sistemasida hech bo'lmasa birorta noldan farqli vektor mavjud bo'lsa, bu sistema bazisga ega. Berilgan sistemaning har qanday ikkita bazisi bir xil sondagi vektorlardan to'zilgan bo'ladi.

Isboti. Faraz etaylik, chekli sondagi hech bo'lmasa birortasi noldan farqli bo'lgan vektorlar sistemasi

u1, u2 , . . . , uk , . . . , um (4)

berilgan bo'lsin. Bu sistemadagi nol vektorlarni tashlab yuborish mumkin, chunki hosil bo'lgan sistema (4) sistemaga ekvivalent bo'ladi. Shuning uchun ham u1 deb olishimiz mumkin. Agar (4) chiziqli erkli bo'lsa uning o'zi bazis bo'ladi. Agarda (4) sistema chiziqli bog'langan bo'lsa, u holda bu sistemadagi uk vektor o'zidan oldingi vektorlarning chiziqli kombinasiyasidan iborat bo'ladi, ya'ni u1, u2 , . . . , uk-1 , uk+1 , , . . . , um sistema (4) ga ekvivalent va kamida birta noldan farqli vektor o'nga qarashli. Shu jarayonni davom ettirib chekli qadamdan keyin birortasi ham qolganlarining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo'lmagan sistemaga ega bo'lamiz va u bazis bo'ladi.

Agar u1, u2 , . . . , uk va v1, v2 , . . . , vs lar berilgan sistemaning bazislari bo'lsalar, ular ekvivalent bo'ladi va demak k=s.

Ta'rif.Berilgan vektorlar sistemasining bazisini tashkil etuvchi vektorlar soniga shu sistemaning rangi deyiladi.

Faqat nol vektordan to'zilgan sistemaning va bo'sh sistemaning rangi nolga teng deb hisoblanadi.



Xossalari.

1. Agar u1 , u2 , . . . , uk L(v1 , v2 ,... , vm ) bo'lsa, u1 , u2 , . . . , uk vektorlar sistemasining rangi v1 , v2 ,... , vm vektorlar sistemasining rangidan katta emas.



Isboti. Agar u1 , . . .. , uk sistema faqat nol vektorlardan to'zilgan bo'lsa, uning rangi nolga teng va v1 ,... , vm sistemaning rangidan katta emas.

Agarda birinchi u1 , . . .., uk sistemada birorta noldan farqli vektor mav-jud bo'lsa, v1 ,... , vm sistema ham noldan farqli vektorga ega bo'ladi(teorema-ning shartiga ko'ra). U holda ikkala sistema ham bazisga ega. u1 , . . .., ur bi-rinchi sistemaning bazisi; v1 ,... , vs esa ikkinchi sistemaning bazisi bo'lsin. U holda v1 ,... ,vs sistema v1 ,... ,vm ga ekvivalent va demak L(v1 ,...,vs)= L(v1 ,..., vm).

Shunday qilib u1 , . . . , ur L(v1 ,... , vs ) va r s.

Natijalar:

1. Berilgan sistemaning rangi uning ixtiyoriy qismi sistemaning rangidan kichik emas.

2. Ekvivalent sistemaning ranglari o'zaro teng.

3. n- o'lchovli vektorli fazodagi Ixtiyoriy chekli sistemaning rangi n.

Haqiqatdan ham L(е1 , е2 ,... , еn)=Rn va a1 , ... , am , L(e1 , e2 ... , en)= Rn bo'lsa, 1 ga ko'ra a1, ... , am ning rangi e1 , e2 ... , en ning rangi n dan katta emas.

4. Agar chekli sistemaning rangi r ga teng bo'lsa, uning Ixtiyoriy k ta vek-tordan to'zilgan qismiy sistemasi k > r bo'lganda, chiziqli bog'langandir.

5. Agar


a1, ... , am (5)

sistemaning rangi



a1, ... , am ,b (6)

sistemaning rangiga teng bo'lsin. U holda b vektor (5) sistemadagi vektorlar orqali chiziqli ifodalanadi.



Isboti. Tushunarliki, agar ikkala sistemaning ham rangi nolga teng bo'lsa, teorema o'rinli. Faraz etaylik, (5)-sistemaning rangi r > 0 ga teng bo'lsin va a1, a2 ... , ar uning bazisi bo'lsin. U holda ikkinchi sistemaning ran-gi ham r ga teng bo'ladi va a1, a2 ... , ar sistema (6) ning qismi bo'lgani uchun a1, ... , ar ,b chiziqli bog'langan, demak, b L(a1 , ... , аr). U holda bL(a1,...,ar ..., am)

ya'ni b= 1 a1 + 2 a2 + ... + m am.



MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR.

1). Chiziqli bog'lanmagan maksimal sistema deb qanday sistemaga aytiladi?

2). Vektorlar sistemasining bazisi va rangi deb nimaga aytiladi?

3). a1 =(1,0,1), a2 =(1,1,1) vektorlar sistemasining rangi nechaga teng?




14 - 15 - MA'RO'ZA

MAVZU: MATRISALAR VA CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASI-

NING RANGI

R YE J A :

1. Matrisalar va ular ustida amallar.

2. Matrisaning rangi.

3. Chiziqli tenglamalar sistemasining rangi.



ADABIYOTLAR [ 1 , 2 , 3 ].
Matrisa deb elementlarni (ob'yektlarni) ma'lum tartibda olib to'zilgan jadvalga aytiladi. Masalan, ushbu

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

- - - - - - - - - (1)

am1 am2 ... amn

jadvalga n ta ustun va m ta satrdan to'zilgan matrisa deyiladi. Bundan keyin matrisalarni lotin alfavitining bosh harflari bilan belgilaymiz: A,B,.... Agar satr va ustunlari sonini ko'rsatish zarur bo'lsa Аmxn ko'rinishdagi belgilashdan foydalanamiz. (1) da ...  ko'rinishda belgilashning o'rniga (...)

yoki  ...  ko'rinishdagi belgilashlardan ham foydalaniladi. Agarda (1) da

m=n bo'lsa, o'nga n- tartibli kvadrat matrisa deyiladi. Barcha elementlari nollardan iborat bo'lgan matrisaga nol matrisa deyiladi.

Bosh diagonalida birlar qolgan joylarida esa nollardan iborat bo'lgan matrisaga birlik matrisa deyiladi . Masalan, ushbu matrisa n-tartibli birlik matrisadir


1 0 0 . . . 0

0 1 0 . . . 0



E= 0 0 1 . . . 0

.................

0 0 0 . . . 1 .

Agar bizga Аmxn = ( ai j) va B mxn = ( bi j) matrisalar berilgan bo'lsa, u holda ularning mos elementlari teng bo'lsagina bunday matrisalarga teng dyoyiladi. Demak,



Аmxn = B mxn ai j = bi j .

Endi matrisalar ustida bajariladigan amallarni qarab chiqamiz.

1.qo'shish. Matrisalarning yig'indisi ham tenglik singari bir xil rusumli matrisalar uchun aniqlangan. Аmxn =( ai j) va B mxn =( bi j) matrisalarning yig'indisi deb

Аmxn + B mxn = ( ai j + bi j) т tenglik bilan aniqlanuvchi matrisaga aytiladi. Boshqacha qilib aytganda matrisalarni qo'shish uchun ularning mos elementlari kushiladi.

Masalan: 1 2 3 a 1 b 1+a 3 3+b



А= a b c , В = c d e bo'lsa, A+B = а+с b+d c+e

dan iborat bo'ladi.

Tushunarliki Аmxn va B mxn matrisalarning yig'indisi ham mхn o'lchovli matrisa bo'ladi, ya'ni Аmxn + B mxn =(А+В )mxn .

Matrisalarni qo'shish quyidagi xossalarga ega:



1) А+В =В+А - kommutativlik, 2) A+(B+C)=(A+B)+C - assosiativlik,

3) A+О=О+A=A , bu yerda О nol matrisa.

2. Matrisani songa ko'paytirish. Matrisani songa ko'paytirish uchun uning barcha elementlari shu songa ko'paytiriladi, ya'ni  А=( ai j ) .

Misol . А = 1 2 3

4 a1 a2 bo'lsa, u holda

5A= 5 10 15

20 5a1 5a2 bo'ladi.


Xossalari :

1. () A= (a ) 2. ( + ) A= A+A

3. 1 A=A . 4. (A+B) = A+ B.

3. Matrisani matrisaga ko'paytirish. Matrisalarni ko'paytirish satrlarni ustunlarga ko'paytirish qoidasi bo'yicha amalga oshiriladi. Uning ma'noga ega bo'lishi uchun birinchi matrisaning ustunlari soni 2-matrisaning satrlari soniga teng bo'lishi kerak, ya'ni АmxnB nxk = C mxk . C mxk matrisaning ci j elementi A dagi i-satr elementlarini В даги j-устун dagi j-ustun elemenlariga mos ravishda ko'paytirib qo'shish natijasida hosil bo'ladi , ya'ni agar

a11 a12 ... a1 j ... a1n b11 b12 ... b1 j ... b1k c11 c12 ... c1 j ... c1k

a21 a22 ... a2 j ... a2n b21 b22 ... b2 j ... b2k c21 c22 ... c2 j ... c2k

A= - - - - - - - - - - - - - , B= - - - - - - - - - - - - , C= - - - - - - - - - - - -

ai1 ai2 ... ai j ... ain bi1 bi2 ... bi j ... bik ci1 ci 2 ... ci j ... cik

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

am1 am2 ... amj ... amn bn1 bn2 ... bn j ... bnk cm1 cm2 ... cm j ... cmk

bo'lsa,


ci j = ai1 b1 j + ai2b2 j + ... +ai j bi j + ... + ai nbn j (2)

bo'ladi.


Boshqacha qilib aytganda С=(сi j) matrisaning elementlari (2)-formula bilan aniqlanadi.

Xossalari: 1).(A B) C= A (B C) - matrisalarning ko'paytmasi assosiativ;

2). A E= E A=A

3). A(B+C)=A B+A C - matrisalarning ko'paytmasi qo'shishga

(B+C)A=B A+C A nisbatan distributivdir.

Bu xossalarning o'rinli ekanligini chap va o'ng tomondagi ixtiyoriy elementlarini hisoblab ko'rish yo'li bilan matrisalarning tenglik tushunchasidan foydalanib isbotlash mumkin. Uni biz talabalarga mustakil ish sifatida taklif qilamiz.



Misollar:
1 2 3 1 2 11+20+31 12+21+35 4 19

1). A= 1-1 2 , B= 0 1 , AB= 11-10+21 12-11+25 = 3 9

0 1-2 1 5 01+10-21 02+11-25 -2 -9 .
2). 0 1 1 2 -1 7 4 7 яъни

A= 2 3 , B= -1 7 , AB= -1 25 , B A= 14 20 , AB B A

Bu misoldan ko'rinadiki, matrisalarni ko'paytirish kommutativlik xossasi-ga buysinmaydi.

3). (Mustakil topshirik). Barcha n-tartibli matrisalar to'plamining additiv Abel gruppasi bo'lishini isbotlang.

Matrisaning rangi. A matrisaning satrlari m ta n o'lchovli gorizontal a 1 =(a11, a12 ,..., a1n ), a 2 =(a21 , a22 ,..., a2n ), . . . , a m =( am1 , am2 .,..., amn ) (3)

векторларни, устунлари эса n та m улчовли вертикал векторларни ташкил ки-лади. Уларни горизонтал векторлардан фарк килиш учун



a 1 =(a11, a21 ,..., am1 ), a 2 =(a12 , a22 ,..., am2 ), . . . , a n =( a1n , a2n .,..., amn ) (4)

куринишда белгилаймиз.



1-таъриф. a 1 ,a 2 , . . . ,a m vektorlar sistemasining rangi A matrisaning satrlar bo'yicha rangi, a 1, a 2, . . . , a n vektorlar sistemasining rangiga esa A matrisaning ustunlar bo'yicha rangi deyiladi.

1- teorema. Elementar almashtirishlar matrisaning rangini o'zgartir-maydi.

Isboti. Elementar almashtirishlarni satrlarga tadbik etaylik.

1). Matrisaning ixtiyoriy ikkita satrining o'rnini almashtirish (3) sistemadagi ikkita vektorning o'rnini almashtirishga mos keladi, shuning uchun ham uning rangi o'zgarmaydi.

2). Matrisaning biror satri (masalan i-catr) 0 soniga ko'paytirilgan bo'lsa, u holda (3) sistemadagi a i - vektor shu  soniga ko'paytirilgan bo'ladi, ya'ni

a 1 ,a 2 , . . . , a i , . . . ,a m (5)

sistema hosil bo'ladi. Faraz etaylik, (3) chiziqli erkli, lekin (5) esa chiziqli bog'langan bo'lsin. U holda hech bo'lmasa birortasi noldan farqli 1 , 2 , . . . , i , . . . , m sonlari mavjud bo'lib 1 a1 +2a2 +...+i (a i)+...+m a m=0

tenglik bajariladi. i0 deb olishimiz mumkin (aks holda (3)-sistema chiziqli bog'langan bo'lar edi). 0 bo'lganligi sababli i   0, demak, 1 a1 + +2a2 +...+(i )a i+...+m a m=0, ya'ni (3)-sistema chiziqli bog'langan, bu qarama-karshilik (5)-sistemaning chiziqli bog'lanmagan ekanligini ko'rsatadi.

3). Matrisaning j-satrining elementlari  ga (0) ko'paytirilib i-satrning mos elementlariga qo'shilgan bo'lsa, u holda



a 1 ,a 2 , . . . , a i +a j , . . . ,a m (6)

vektorlar sistemasiga ega bo'lamiz. Bizga ma'lumki, (3) va (6) vektorlar sistemalari ekvivalent, ya'ni ularning ranglari teng.



2-teorema. Har bir matrisaning satr bo'yicha rangi ustun bo'yicha rangiga teng.

Isboti. Biz (3) va (4) sistemalarning ranglarining teng ekanligini is-botlaymiz. (3) ning bazisi

a1 ,a2 , . . . ,ar (7)

(4) ning bazisi esa



a 1, a 2, . . . , a s (8)

bo'lsin. Biz r=s ekanligini isbotlaymiz. Faraz etaylik r bo'lsin.U holda (7) sistemadagi a i =(ai1 ,ai2 ,..., ais ,..., ain ), ( i=1,2,...,r) vektorlarning birinchi s ta koordinatalaridan foydalanib ushbu s ta noma'lumli r ta tenglamadan to'zilgan bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi



ai1x1 + ai2 x2 + ....+ ais xs =0, (i=1,2,...,r)

ni to'zib olamiz. r (1 , 2 , ....,s ) nolmas yechimga ega, ya'ni



ai11 + ai2 2 + ....+ ais s =0, (i=1,2,...,r). (9)

Bu (1 , 2 , ....,s ) yechim (3) dagi qolgan vektorlar ar+1 ,ar+2 , . . . ,am larning birinchi s ta koordinatalardan to'zilgan



ak1x1 + ak2 x2 + ....+ aks xs =0, (k= r+1,r+2,...,m)

sistemani ham qanoatlantiradi. Haqiqatan ham, ar+1 ,ar+2 , . . . ,am vektorlarning har biri (7) sistemadagi vektorlar orqali (bazis orqali) chiziqli ifodalanadi: ak =1k a1 + 2k a2 + ....+ rk ar , (k= r+1,r+2,...,m). Bundan (ak1, ak2 , , ...., akn ) = (1k a11 + 2k a21 + ....+ rk ar1 , . . . , 1k a1n + 2k a2n + ....+ rk ar n ) yoki



ak1 =1k a11 + 2k a21 + ....+ rk ar1 ,

---------------------------------------------



aks =1k a1s + 2k a2s + ....+ rk ar s ,

ak,s+1 =1k a1,s+1 + 2k a2,s+1 + ....+ rk ar,s+1 , (k=r+1,r+2,... ,n)

------------------------------------------------------

akn =1k a1n + 2k a2n + ....+ rk ar n .

Bu tengliklarning birinchi s tasini mos ravishda 1 , 2 , ....,s larga ko'pay-tirib qo'shsak (9) ga asosan ak11+ak2 2 + ....+aks s =1 (1k a11+2k a21 + ....+



+ rk ar1 )+2 (1k a12 + 2k a22 + ....+ rk ar2)+...+s(1k a1s + 2k a2s + ....+ rk ar s)=

= 1k( a11 1 + a12 2 + ....+a1s s) + 2k( a21 1 + a22 2 + ....+a2s s) + ... +

+ rk( ar1 1 + ar2 2 + ....+ars s)= 1k 0 + 2k 0 +...+ rk  =0 ni hosil qilamiz.

Demak,


ak11+ak2 2 + ....+aks s =0 (10)

(9) va (10) dan (8) ning chiziqli bog'langan ekanligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham 1 a 1 +2 a 2 +....+s a s =1 (a11 ,a21 ,..., am1 )+2 (a12 ,a22 ,..., am 2 )+ . . . +

+s (a1s ,a2s ,..., ams )= ( a111 + a122 + ....+a1ss), a211 + a222 + ....+a2ss), ... ,

+ am11 + am22 + ....+ams s)=(0,0, . . . ,0). Bu esa (8) ning chiziqli erkli ekanligiga ziddir. Demak, r< s bo'la olmas ekan. r > s xoli ham xuddi shunday karaladi. Shuning uchun ham r = s.



Chiziqli tenglamalar sistemasining rangi deb uning matrisasining rangiga aytiladi.

Agar nolmas satrga ega bo'lgan matrisadagi k-nolmas satrdagi birinchi noldan farqli element(k-1)-nolmas satrdagi birinchi noldan farqli elementdan o'ng tomonda tursa bunday matrisaga pogonali matrisa deyiladi. Tushunarliki matrisaning rangi uning pogonali ko'rinishidagi noldan farqli satrlar soniga teng.



Misol. Ushbu matrisaning rangini hisoblang: 2 -1 0 8

A= -4 2 0 -6

6 -3 0 9

2 -1 0 8 2 -1 0 8 2 -1 0 8 2 -1 0 8

-4 2 0 -6  0 0 0 10  0 0 0 1  0 0 0 0

6 -3 0 9 0 0 0 -15 0 0 0 -1 0 0 0 0 .

Shunday qilib, berilgan matrisaning rangi r(A)=2 .


Каталог: attachments -> article
article -> Axloqning kеlib chiqishi, unda ixtiyor erkinligining ahamiyati va axloq tuzilmasi
article -> Podsho Rossiyasi tomonidan O‘rta Osiyoning bosib olinishi sabablari va bosqichlari
article -> Siyosiy mafkuralarning asosiy ko'rinishlari
article -> Mehnat sohasida ijtimoiy kafolatlar tizimi. Reja: Ijtimoiy himoya qilish tushunchasi va uning asosiy yo’nalishlari
article -> Siyosiy madaniyat va siyosiy mafkuralar Reja
article -> O’zbek Adabiyoti tarixi: Eng qadimgi adabiy yodgorliklar
article -> Ma’naviyatning tarkibiy qismlari, ularning o’zaro munosabatlari va rivojlanish xususiyatlari. Ma’naviyat, iqtisodiyot va ularning o’zaro bog’liqligi
article -> Davlatning tuzilishi
article -> Reja: Geografik o‘rni va chegeralari
article -> Yer resurslaridan foydalanish va ularni muhofaza qilish Reja: Tuproq, uning tabiat va odam hayotidagi ahamiyati. Dunyo yer resurslari va ulardan foydalanish


Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa