Termiz davlat universiteti fizika- matematika fakulteti matematik tahlil kafedrasi



Download 0.82 Mb.
bet3/9
Sana25.06.2017
Hajmi0.82 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

REJA:

1. Qism gruppalar. Misollar.

2. Gruppalar va ularga misollar.

3. Gruppalarning sodda xossalari.

4. Umumlashgan assosiativ qonuni .

5. Gomomorf va izomorf gruppalar.

ADABIYOTLAR [1,2,3]

Faraz etaylik, bizga bitta binar t va unar  algebraik amal aniqlangan G bo'sh bo'lmagan to'plam berilgan bo'lsin. Agarda G to'plamning elementlari unda aniqlangan t amalga nisbatan assosiativlik qonuniga buysinsa, ya'ni:

1). a,b,c G (at b)t c=at(b t c) tenglikni qanoatlantirsa, G; t algebraga t amalga nisbatan yarim gruppa deyiladi. Agar G; t,* - yarim gruppa

2). a G, eG , at e = eta= a;

3). a G, a* G , at a* = a*ta= e;

shartlarni qanoatlantirsa, G; t,* ga t amalga nisbatan gruppa deyiladi.



е ga G = G; t,* gruppaning neytral elementi, a*ga esa a elementga simmetrik element deyiladi.

Agarda G = G; t,* gruppaning elementlari

4). a,b G at b = b t a

shartni qanoatlantirsa,G ga kommutativ gruppa yoki Abel gruppasi deyiladi.

Neytral elementga ega bo'lgan yarim gruppaga monoid deyiladi.

Agar М G bo'lib М ; t, * gruppa bo'lsa, bu gruppaga G = G; t,* gruppaning qism gruppasi deyiladi.



1-teorema. Agar G = G; t, * gruppa bo'lsa, uning ixtiyoriy Qism to'plami M ning t amalga nisbatan qism gruppa bo'lishi uchun:

1).  h,h h t h ;

2).  h, h-1 

shartlarning bajarilishi zarur va yetarlidir.



Isboti. Zaruriy shart. М ; t, * gruppa bo'lsin,u holda 1) va 2) shartlarning bajarilishi gruppa ta'rifidan bevosita kelib chiqadi.

Yetarli sharti. 1) va 2) shartlar bajarilsin. U holda М G qism to'plamning G ning qism gruppasi bo'lishini ko'rsatamiz. Shartga ko'ra h,h uchun h t h , ya'ni M to'plam t amalga nisbatan yopiqdir va h, h', h''  lar uchun h t (h't h'')=(ht h')t h'' o'rinli, chunki h, h', h''  G . 2) va 1) shartlardan ht h-1 = eM.

Demak, 1), 2), 3) shartlar bajariladi va М ; t, * - gruppa, ya'ni G ning qism gruppasi.

Misollar . 1. N-natural sonlar to'plamini arifmetik qo'shish amaliga nisbatan tekshiraylik. Ma'lumki, n,m N, m+n N.

1). m, n,e N, m+(n+e) =(m+n)+e bajariladi .

2). m, eN, m+e= e+m= m, e=0 N, ya'ni bu shart bajarilmaydi .

Demak, N= N; +  yarim gruppa ekan .

Endi shu to'plamni ko'paytirishga nisbatan tekshiraylik. m,n N m nN.

1). m,n,e N, m(n e)=(m n) e bajariladi.

2). m N , e=1N , m1 =1 m= m bajariladi .

3). m N, m'N, m m' = m' m =1 bo'lishi kerak.

m' =1/m N . Demak, bu shart bajarilmaydi . Shunday qilib N=  N,   monoid bo'lar ekan .

2. Barcha butun sonlar to'plami Z qo'shish amaliga nisbatan gruppa bo'ladi .



Z = Z; + da a ga teskari element (- a) hamda neytral element 0 bo'ladi .

Z = Z; + ga butun sonlarning additiv gruppasi deyiladi.

Endi Z ni ko'paytirishga nisbatan qarasak, Z =  Z; +  monoid bo'ladi, chunki a 0 ga (teskari) simmetrik element a-1=1/aZ.

3. Barcha rasional sonlar to'plami Q qo'shishga nisbatan additiv Abel gruppasi

Q= Q; + bo'ladi. Agar Q1=Q \{0} to'plamni qarasak, Q1= Q1;  ham multiplikativ gruppa bo'ladi.

4. Haqiqiy sonldar to'plamini qarasak, u holda R= R; + additiv Abel gruppasi; R1= R1;  esa multiplikativ Abel gruppasi bo'ladi. Bu yerda R1= =R \{0}.

5. m0 moduli bo'yicha chegirmalar sinflari {C0,С1, C2, ... , Cm-1}=Z / mZ to'plamida qo'shish amalini

Ci+j , agarda 0 i+j m-1 bo'lsa;



Ci +Cj = (*)

Ci+j-m , agarda i+j  m bo'lganda;

tenglik bilan aniqlasak, Z/mZ= Z/ mZ; + additiv Abel gruppasi bo'ladi. Bunda neytral element C0 ; Ci elementga qarama karshi element Cm-i sinf bo'ladi, chunki Ci+ Cm- = Cm = C0 .

6. m=6 modul bo'yicha chegirmalar sinflari to'plami Z/6Z={ C0 ,С1, C2, C3,С4, C5, } dan iborat bo'ladi. (*)ga ko'ra



_____________________________

C0 С1 C2 C3 С4 C5

__+_________________________



C0 C0 С1 C2 C3 С4 C5

_____________________________



C0 C0 С1 C2 C3 С4 C5

_________________________________________

C0 C0 С1 C2 C3 С4 C5

__________________________________

C0 C0 С1 C2 C3 С4 C5

_____________________________

C0 C0 С1 C2 C3 С4 C5

______________________________
Bu jadvaldan foydalanib gruppa ta'rifidagi 1), 2), 3), 4), shartlarning bajarilishini osonlik bilan tekshirish mumkin.

Z/6Z= Z/ 6Z; + - additiv abel gruppasi.

7). Z/mZ to'plamda ko'paytirish amalini

Cij , agarda 0  ij  m-1 bo'lsa;

Ci Cj =  (*)

Cr , agarda ij m va ij=mq+r bo'lsa;

tenglik bilan aniqlasak.  Z/ mZ; -multiplikativ monoid bo'ladi.

Bunda neytral element С1 bo'ladi, assosiativlik qonuni bajariladi, lekin ixtiyoriy Сi uchun Ci Cj = C1 shartni qanoatlantiruvchi Cj element mavjud emas.

Masalan, m=6 da C3 C0 = C0 , C3 C1 = C3 , C3 C2 = C0 , C3C3 = C3 , C3C4 = C0 , C3 C5 =C3, ya'ni C3 Cj = C1 tenglikni qanoatlantiruvchi Cj sinf mavjud emas.

8). М={1,-1} to'plamning arifmetik ko'paytirish amaliga nisbatan multiplikativ gruppa bo'lishligini isbotlang.

9). a+b3 ko'rinishdagi sonlar to'plamini a,b R bo'lganda ko'paytirish va qo'shish amallariga nisbatan gruppa bo'lish yoki bo'lmasligini tekshiring.

GRUPPANING XOSSALARI
1. Ixtiyoriy gruppada neytral element bir qiymatli aniqlanadi va gruppaning istalgan elementi uchun yagona teskari (simmetrik )element mavjud bo'ladi. Biz bu xossani ilgari umumiy holda isbotlagan edik.

2. Har qanday multiplikativ gruppada bo'lish munosabati o'rinli, ya'ni istalgan a va b elementlar uchun shunday x,y elementlar topiladiki, аx=b, yа=b tenglamalar yagona yechimga ega .



Isboti. ax=b tenglamani chap tomondan а-1 ga ko'paytirsak, а-1(ax)= а-1b yoki (а-1 a)x= а-1b ex = а-1b x= а-1 b ga ega bo'lamiz. x= а-1b bilan birga c ham ax=b tenglamaning yechimi bo'lsa, u holda c=e c=( а-1 a)c= а-1(ac); bu yerda ас =b bo'lgani uchun c= а-1b, ya'ni с= x.

3. Istalgan grupaning elementlari regulyar elementlardir .

Haqiqatan ham at b= at c b=c va bta= cta b=c kelib chiqadi. Gruppaning elementlariga simmetrik а' element mavjut bo'lgani uchun

а't(at b)= а't (аt c)  (а't a) t b=( а' t a)tc  et b=etc b=c .

Keyingi tenglik ham shuning singari isbotlanadi.

4. G, t - gruppaning ixtiyoriy n ta elementi shu gruppada aniqlangan algebraik amal t ga nisbatan assosiativdir .

Isboti. Isbotni yozuvda soddalik uchun ko'paytirish amaliga nisbatan olib boramiz.

1) n=1,2 da isbotning xojati yo'q;



n=3 da esa gruppa ta'rifidagi 1)-shartda berilgan.

Faraz etaylik, n=k da teorema o'rinli bo'lsin, ya'ni n ta ko'paytuvchining ko'paytmasi qavslarni qo'yish tartibiga bog'liq bo'lmasin. U holda a1 a2 ...aк =



k

=  ai deb yoza olamiz . Bu tenglikning ikkala tomonini aк+1 ga ko'paytirsak,



i=1 k l k

(a1 a2 ...aк )  aк+1 = (  ai )  aк+1 =  ai   ai aк+1



i=1 i=1 i=l+1

l k

Endi  ai va  ai lardagi ko'paytuvchilar soni k dan kichik shuning uchun



i=1 i=l+1

bu ko'paytuvchilar uchun xossa o'rinli .


Endi l k

ai ,  ai , aк+1



i=1 i=l+1 hadlar uchun (ularni 3ta element deb) assosiativlik qonunini qo'llasak l k

ai   ai aк+1



i=1 i=l+1

ifodaga va demak (a1 a2 ...aк )  aк+1 ifodada ham uning qiymati qavslarni qo'shish tartibiga bog'liq emas degan xulosaga kelamiz.

5. a1 ,a2 , ...,aк G elementlarining ko'paytmasiga teskari bo'lgan element

ak-1ak-1-1 ...a1-1 bo'ladi. (Tekshiring). a.a...a=an deb belgilaymiz , а0 = е .

6. Agar а G bo'lsa , u holda anG, nN bo'ladi.



GRUPPALARNING GOMOMORFLIGI

Faraz etaylik , G = G; -1 va H = H; -1 - multiplikativ gruppalar berilgan bo'lsin. Agar G ni H ga akslantiruvchi h akslantirish asosiy amallarni saqlasa , ya'ni



1) a,b G учун h(аb)= h(a) h(b) ,

2) a G, h(a-1) =(h(a)) -1

shartlar bajarilsa, h ga gomomorf akslantirish , G va H gruppalarga esa gomomorf (o'xshash) gruppalar deyiladi. Agar h:G H gomomorf akslantirish bo'lib G ni H ga (ustiga) o'tkazsa h ga epimorf akslantirish deyiladi .

Agar h:G H akslantirish o'zaro bir qiymatli akslantirish bo'lib, asosiy amallarni saqlasa bunday akslantirishga izomorf akslantirish deyiladi (xossalari bir xil). Bu holda G va H gruppalarga izomorf gruppalar deyiladi va GH ko'rinishda yoziladi.

G ni G ga (ustiga) akslantiruvchi izomorf h akslantirishga avtomorfizm deyiladi.

1-teorema . Agar h:G H akslantirish G dagi binar amal ( ni saqlasa, ya'ni

a,bG, h(ab)=h(a) h(b) tenglik o'rinli bo'lsa , u holda h G gruppa-ning birlik е elementini H gruppaning birlik elementiga o'tkazadi va



h:G H gomomorf akslantirish bo'ladi.

Isboti . Faraz etaylik, е G ning bir elementi bo'lsin va u h akslantirishda е' H elementga utsin , ya'ni е' = h(е) H. е' ning H uchun birlik element ekanligini ko'rsatamiz . 1) ga asosan

h(ee)=h(e) h(e) = е' е', ikkinchi tomondan е' =h(e)=h(e e). Demak, е' е' =е', ya'ni е' H birlik element. h ning gomomorf akslantirish ekanligini ko'rsatish uchun 2) shartni qanoatlantirishni ko'rsatish yetarli.

Faraz etaylik, a G bo'lsin. U holda G gruppa bo'lgani uchun a-1G va a a-1 = e G . (1) ga asosan bunlan h(a a-1) = h(a) h(a-1)= h(e)= e' H .

Demak, a G, h(a-1) =(h(a)) -1 , ya'ni h(a) ga teskari element.

Gruppalar to'plamidagi izomorflik munosabati ekvivalentlik munosabatidir (tekshirib ko'ring ).



Misollar. 1. Q* - barcha noldan farqli rasional sonlar to'plami va Q*=

= Q* ; , -1 esa rasional sonlarning multiplikativ gruppasi bo'lsin.

Q+=Q+; , -1  - musbat rasional sonlarning multiplikativ gruppasi bo'lsin. U holda h(a)=a, h:Q* Q+ (ya'ni h:aa) gomomorf akslantirish bo'ladi.

1-shart. h(a.b)=h(a).h(b), chunki ab=ab

2-shart. h(a-1) =(h(a)) -1, a-1=a-1 lar absalyut qiymatning xossalariga asosan bajariladi.

2. R+= R+; , -1  - musbat haqiqiy sonlarning multiplikativ gruppasi, R=R ; +, -  esa haqiqiy sonlarning additiv gruppasi bo'lsin, u holda f(x)=

=log x funksiyaning yordamidagi akslantirish f: R+ R izomorf akslantirish bo'ladi, chunki log (x.y)=log x+log y, log x-1 = - log x .

3. g (x) = 2x funksiya yordamida akslantirish (ya'ni f (x)=log2 x funksiyaga teskari funksiya bilan) g:R R+ ham izomorf akslantirish bo'ladi, chunki 2x+y = 2x 2y, 2-x = (2x )-1 .


Mavzuni mustaxkamlash uchun savollar

1). Gruppa deb nimaga aytiladi ?

2). Chekli gruppaning tartibi deganda nimani tushunasiz ?

3). Additiv va multiplikativ gruppaga ta'rif bering .

4). Qism gruppa deganda nimani tushunasiz ?

5). Gruppaning normal bo'luvchisi deb nimaga aytiladi ?

6). Lagranj teoremasini ayting .

7). Faktor gruppaga ta'rif bering .

8). Gomomorf gruppalar deb qanday gruppalarga aytiladi ?

9). Izomorf gruppalar deb qanday gruppalarga aytiladi ?



11-MA'RO'ZA

MAVZU :CHIZIqLI TENGLAMALAR SISTEMASI VA TUg'RI

BURCHAKLI MATRITSALAR

R YE J A :

1.Chiziqli tenglamalar sistemalari haqidagi umumiy ma'lumotlar .

2.Ekvivalent chiziqli tenglamalar sistemalari.

3.Chiziqli tenglamalar sistemasidagi elementar almashtirishlar .

4.Tug'ri burchakli matrisalar .
ADABIYOTLAR [1,2,3 ].
Ushbu sistemaga

a11 x1 +a12 x2 + ....+ a1n xn = b1

a21 x1 +a22 x2 + ....+ a2n xn = b2

.................................................. (1)



am1 x1 +am2 x2 + ....+ amn xn = bm

n ta noma'lumli m ta chiziqli tenglamalardan to'zilgan sistema deyiladi.

Bunda aij lar koeffisiyentlar (sonlar ), x1, x2 , ..., xn noma'lumlar, b1 , b2 ,..., bm lar ozod hadlar deyiladi . ai j koeffisiyentda birinchi indeks tenglamaning nomerini, ikkinchi indeks j esa nomalumning nomerini bildiradi. Agar (1)da b1 , b2 , ... , bm lardan birortasi noldan farqli bo'lsa, (1) ga bir jinsli bo'lmagan tenglamalar sistemasi, agar b1 = b2 = ... = bm = 0 bo'lsa , (1) ga bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi. (1) ni qisqacha ai1x1 +ai2 x2 + ....+ ain xn = bi , i=1,2,3, ... , m . (2)

ko'rinishda ham yozish mumkin.

n ta haqiqiy sondan to'zilgan tartiblangan n-lik (1, 2 , ..., n) ga n- o'lchovli arifmetik vektor deyilali.

(2) ning yechimi deganda uning har bir tenglamasini to'g'ri tenglikka aylantiruvchi 1, 2 , ..., n sonlarga aytiladi.

(1) -sistemani vektor tushunchasidan foydalanib quyidagicha yozish mumkin. (1)

ning noma'lumlar oldidagi koeffisiyentlardan to'zilgan vektorustunlarini



ni а11 а12 а1n b1

А(1)= а21 , А(2)= а22 а2n b2

 , ..... , А(n) = ,


Каталог: attachments -> article
article -> Axloqning kеlib chiqishi, unda ixtiyor erkinligining ahamiyati va axloq tuzilmasi
article -> Podsho Rossiyasi tomonidan O‘rta Osiyoning bosib olinishi sabablari va bosqichlari
article -> Siyosiy mafkuralarning asosiy ko'rinishlari
article -> Mehnat sohasida ijtimoiy kafolatlar tizimi. Reja: Ijtimoiy himoya qilish tushunchasi va uning asosiy yo’nalishlari
article -> Siyosiy madaniyat va siyosiy mafkuralar Reja
article -> O’zbek Adabiyoti tarixi: Eng qadimgi adabiy yodgorliklar
article -> Ma’naviyatning tarkibiy qismlari, ularning o’zaro munosabatlari va rivojlanish xususiyatlari. Ma’naviyat, iqtisodiyot va ularning o’zaro bog’liqligi
article -> Davlatning tuzilishi
article -> Reja: Geografik o‘rni va chegeralari
article -> Yer resurslaridan foydalanish va ularni muhofaza qilish Reja: Tuproq, uning tabiat va odam hayotidagi ahamiyati. Dunyo yer resurslari va ulardan foydalanish


Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa