Termiz davlat universiteti fizika- matematika fakulteti matematik tahlil kafedrasi

b = 

а_m1 а_m2 а_mn b_m
deb belgilab olsak, (1) dan

А⁽¹⁾ x₁+ А⁽²⁾ x₂ + ... +А⁽ⁿ⁾ x_n =b (3)

ni hosil qilamiz. (Ma'lumki vektorni songa ko'paytirish uchun uning barcha koordinatalari shu songa ko'paytiriladi).

Agar (1) sistema yechimga ega bo'lsa, bunday sistemaga birgalikdagi sistema, yechimga ega bo'lmasa birgalikda bo'lmagan sistema deyiladi. Agar (1) sistema faqat bitta yechimga ega bo'lsa, o'nga aniq sistema, cheksiz ko'p yechimga ega bo'lsa, (1) ga aniqmas sistema deyiladi. (Tushunarliki, (1) sistema yechimga ega bo'lsa ,u yagona yechimga ega yoki cheksiz ko'p yechimga ega bo'ladi).

М: a) 3x₁ -2 x₂+5x₃=6 sistema yechimga

2x₁+ x₂-3x₃=1 ega emas;

5x₁- x₂+2x₃=2
б) 3x₁ -2 x₂+5x₃=6 sistema yagona yechim (1, 1, 1)

2x₁- x₂+ 3x₃= 4 ga ega ;

x₁+ x₂+ x₃ = 2

в) x₁ - x₂ -x₃ = 2

2x₁+ 5x₂+x₃=4 sistema cheksiz ko'p yechimga ega .
Tushunarliki bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi doimo (0,0,...,0) yechimga ega. Bu yechim uning trivial yechimi deyiladi va uning noldan farqli yechimlarga ega bo'lish shartlari tekshiriladi. (2) sistema bilan birga
c_i1x₁ +c_i2 x₂ + ....+ c_in x_n = d_i , i=1,2,3, ... , m . (4)

cistema ham berilgan bo'lsin. Agar (2)-sistemaning har bir yechimi (4)-sistema yechimi bo'lsa , (4)-sistema (2) -sistemaning natijasi deyiladi.

Agar (2) ning yechimlari to'plamini A, (4) ning yechimlari to'plamini esa В deb belgilasak, А  В bo'ladi.

Agar (4)-sistema (2)-sistemaning natijasi, (2)- sistema esa (4)-sistemaning natijasi bo'lsa, u holda (2) va (4) sistemalarga o'zaro ekvivalentlik sistemalar deyiladi.

Ushbu almashtirishlarga (1)-chiziqli tenglamalar sistemasidagi elementar almashtirishlar deyiladi.

1). (1) sistemadagi biror (masalan, k-tenglamani) tenglamaning ikki to-monini   0 soniga ko'paytirish;

2). Sistemadagi ixtiyoriy 2 ta tenglamaning o'rinlarini almashtirish;

3). Sistemaning 2ta tenglamasini mos ravishda   0 va  0 sonlariga ko'paytirib natijalarini qo'shish;

4). Barcha koeffisiyentlari va ozod hadi nollardan iborat (agar shunday tenglamalar mavjud bo'lsa) tenglamalarni tashlab yuborish.

Teorema. Elementlar almashtirishlar natijasida hosil bo'lgan sistema dastlabki sistemaga tengkuchli sistemadir.

Isboti. Haqikatdan ham, agar qaralayetgan sistema (1) sistemadan 2) va 4) elementar almashtirishlar natijasida hosil qilingan bo'lsa, ularning ek-vivalent ekanligi ta'rifdan bevosita kelib chiqadi.

Faraz etaylik, (1) sistemaning birorta tenglamasi, masalan, i-tenglama-si   0 soniga ko'paytirilib, yangi sistema hosil qilingan bo'lsin.Bu siste-madagi i-tenglamadan boshqa tenglamalar (1)-sistemadagi tenglamalar bilan bir xil, shuning uchun ham (1)ning ixtiyoriy ₁, ₂ , ..., _n yechimini olib, uning yangi sistemadagi i-tenglama  a_i1x₁ +  a_i2 x₂ + ....+  a_in x_n = b_i ni qanoatlan-tirishini ko'rsatish kifoya. Haqikatdan ham

₁, ₂ , ..., _n (1) ning yechimi bo'lgani uchun a_i1₁ + a_i2 ₂ + ....+ a_in _n = b_i dan  a_i1₁ +  a_i2₂ + ....+ a_in _n= =( a_i1₁ + a_i2 ₂ + ....+ a_in _n )= b_i kelib chiqadi

Endi agarda yangi sistemadagi i-tenglama (1)dagi i-tenglama a_i1x₁+a_i2 x₂ + +.... +a_{i n} x_n = b_i ni  га ga j-tenglamani esa  ga ko'paytirib natijani hadlab qo'shish natijasida hosil qilingan bo'lsa, u holda yuqridagi singari muloxaza yuritib a_i1₁ + a_i2 ₂ + ....+ a_in _n = b_i va a_j1₁ + a_j2 ₂ + ....+ a_jn _n = b_j larga asosan ( a_i1 +a_j1 )₁ +( a_i1 +a_j2 )₂ + ....+ ( a_in +a_{j n} )_n=( a_i1₁ + +a_i2 ₂ + ....+ a_in _n )+ (a_j1₁ + a_j2 ₂ + ....+ a_{j n} _n )= b_i+ b_j tenglikka ega bo'lamiz . Shunday qilib teorema to'la isbotlandi .

Misollar: 1. 5х+4у=2

х- 4у=4 (1) yechimi (1; - 3/4 );

х+4у=-2 (2) bu cheksiz ko'p yechimga ega .

Demak, (2) sistema (1) sistemaning natijasi .

2. 2x₁ -3x₂ +x₃ =7 4х₁ -х₂ +3х₃ = -1

х₁ + х₂ -2х₃ =-4 ва 3х₁ -2х₂ - х₃ = 3

х₁ -4х₂ +3х₃ =11

sistemalarning ikkalasi ham aniqmas sistemalar bo'lib ularning yechimlari to'plamlari ustma-ust tushadi. (1) sistemadagi 1-tenglamadan 2-tenglamani ayirsak, (2)-sistemadagi 3-tenglama; qo'shsak, 2-tenglama hosil bo'ladi. (1)-sistemadagi 2-tenglamani 2ga ko'paytirib 1-tenglamaga qo'shsak ,(2)-sistemaning 1-tenglamasi hosil bo'ladi.

Ushbu (1)-sistemaning noma'lumlari koeffisentlaridan to'zilgan

a₁₁ a₁₂ .... a_1n

А= a₂₁ a₂₂ .... a_2n

.....................

a_m1 a_m2 .... a_mn

jadvalga (1) sistemaning matrisasi deyiladi.

a₁₁ a₁₂ .... a_1n b₁

B = a₂₁ a₂₂ ... a_2n b₂

....................................

a_m1 a_m2 .... a_mn b_m

advalga esa (1)-sistemaning kengaytirilgan matrisa deyiladi. a₁₁ , a₂₂ , a₃₃ ,... elementlar joylashgan diagonalga bosh diagonal deyiladi.

a_1n , a_2,n-1 , a_3,n-2 , ... elementlar joylashgan diagonalga esa ikkinchi diagonal deyiladi. Agar m= n bo'lsa, A ga n-tartibli kvadrat matrisa deyiladi.

1 0 0 ... 0

Е= 0 1 0 ... 0 matrisaga birlik matrisa deyiladi.

................

0 0 0 ... 1

Matrisadagi elementar almashtirishlar deb quyidagilarga aytiladi.

1). Ikkita satrining (ustunining) o'rnini almashtirishga;

2). Biror satridagi (ustunidagi) barcha elementlarni noldan farqli songa ko'paytirishga;

3). Biror satri (ustuni) dagi barcha elementlarni noldan farqli songa ko'paytirib, ikkinchi bir satr (ustun) elementlariga qo'shishga.

MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR

a). n ta nomalumli m ta chiziqli tenglamalardan to'zilgan sistemani yezing.

b). qanday chiziqli tenglamalar sistemasiga birgalikdagi sistema deyiladi?

v). Aniq va aniqmas, ziddiyatli sistemalar deb qanday sistemalarga aytiladi?

g). Matrisa deganda nimani tushunasiz?

ye). Ekvivalent (teng kuchli) chiziqli tenglamalar sistemalari deb qanday sistemalarga aytiladi?

j). Chiziqli tenglamalar sistemasidagi elementar almashtirishlar deb nimaga aytiladi?

z). Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi deb qanday sistemaga aytiladi?

12-MA'RO'ZA

MAVZU : n-O'LCHOVLI ARIFMETIK FAZO . CHIZIqLI BOg'LANGAN VA

CHIZIqLI BOg'LANMAGAN VEKTORLAR SISTEMALARI.

REJA:

1. n -o'lchovli arifmetik fazoning ta'rifi;

2. n-o'lchovli arifmetik fazoning xossalari;

3. Chiziqli bog'langan va chiziqli bog'lanmagan vektorlar sistemalari;

4. Chiziqli bog'lanmagan vektorlar sistemalarining xossalari;
ADABIYOTLAR [ 1,2,3].
1. n ta tartiblangan haqiqiy sonlar  ₁, ₂ ,..., _n dan to'zilgan (₁,₂, ...,_n) n- likka n-o'lchovli vektor deb aytiladi va ₁, ₂ , ..., _n larni vektorning koordinatalari deyiladi.

Barcha mumkin bo'lgan n -o'lchovli vektorlar to'plamini Rⁿ bilan belgilaymiz. Rⁿ dagi a=(₁, ₂, . . . ,_n) va b=(₁ ,₂ , . . . , _n ) elementlarning tengligi, yig'indisini va R dan olingan  soniga ko'paytmasini quyidagicha aniqlaymiz:

1). (а=b)  ( ₁₁ , ₂₂ , . . . , _n_n ) ;

2). a+b = (₁+₁ , ₂+₂ , . . . , _n+_n ) ;

3). a= ( ₁, ₂, ... , _n).

Tushunarliki, u holda a,b Rⁿ uchun a+b Rⁿ hamda R, aRⁿ uchun aR bajariladi.  soniga ko'paytirish amali Rⁿ dagi unar algebraik amal bo'lib, uni biz yezuvda qulaylik uchun  _ bilan belgilaymiz. (0 ,0, . . . , 0) vektor nol vektor deyiladi va  bilan belgilanadi.

2) ga asosan а+ = + а = а bo'lgani uchun  vektor qo'shish amaliga nisbatan neytral element bo'ladi .

(- 1) (₁, ₂, . . . ,_n) vektorga а= (₁, ₂, . . . ,_n) ga qarama- karshi vektor deyiladi. а+(-1) а= bo'lgani uchun (- 1) а= -а bilan belgilanadi .

1- таъриф. Rⁿ to'plamga unda aniqlangan qo'shish va songa ko'paytirish amaliga nisbatan (ya'ni  Rⁿ ; + ,  _  algebraga ) n-o'lchovli vektorlarning arifmetik fazosi (yoki qisqacha n- o'lchovli arifmetik fazo ) deyiladi. Biz uni Rⁿ bilan belgilaymiz.

Vektorlarni qo'shish va  songa ko'paytirish amallariga arifmetik fazo-ning asosiy amallari deyiladi.

2. Rⁿ = Rⁿ ; + ,  _  fazoning asosiy amallari quyidagi xossalarga ega:

1.  Rⁿ ; + ,  _  - algebra-dditiv Abel gruppasi . 2. Songa ko'paytirish amali assosiativ: ya'ni

   R,  a Rⁿ    a= ( a).

3. Songa ko'paytirish qo'shish amaliga nisbatan distrubitiv:

   R,  a,b Rⁿ   (a+b)= a+  b .

4. Vektorga ko'paytirish sonlarni qo'shishga nisbatan distributiv, ya'ni

   R,  a Rⁿ   +  a=a + a .

5.  a Rⁿ  1 a= a.

xossalarning o'rinli ekanligiga bevosita tekshirib ko'rish yo'li bilan ishonch hosil qilish mumkin. Uni biz talabalarga xavola qilamiz.

 Rⁿ ; + ,-  - gruppaga Rⁿ- arifmetik fazoning additiv gruppasi deyiladi.

3. Bizga Rⁿ=V fazoning a₁, a₂ , . . . , a_m vektorlari sistemasi berilgan bo'lsin. ₁a₁+ ₂ a₂ + . . . + _m a_m , ( ₁ , ₂ ,. . . , _m  R) ifodaga a₁, a₂ , . . . , a_m vektorlar sistemasining chiziqli kombinasiyasi deyiladi. Bu yerdagi ₁ , ₂ , . . . . . . , _m larga chiziqli kombinasiyaning koeffisiyentlari deyiladi. Agar koeffisiyentlardan birortasi noldan farqli bo'lsa, trivial bo'lmagan, aks holda, ya'ni barcha koeffisiyentlar nolga teng bo'lsa, trivial chiziqli kombinasiya deyiladi .

a₁, a₂ , . . . , a_m vektorlarning barcha mumkin bo'lgan chiziqli kombinasiyala-ridan to'zilgan L to'plamga shu vektorlaning chiziqli kobigi deyiladi.

Demak,

L=L(a₁, a₂ , . . . , a_m )={ ₁a₁+ ₂ a₂ + . . . + _m a_m  ₁ , ₂ ,. . . , _m  R }.

Osonlik bilan ko'rish mumkinki, chiziqli qobiq vektorlarni qo'shish, ayirish va  soniga ko'paytirish amallariga nisbatan yopiqdir.

2- ta'rif. Agar hech bo'lmaganda birortasi noldan farqli ₁, ₂, ... ,  _m sonlari mavjud bo'lib

₁a₁ + ₂ a₂+ . . . + _m a_m = 0 (1)

tenglik bajarilsa, u holda

a₁, a₂ , . . . , a_m (2)

vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan deyiladi. Agarda (1) tenglik faqat va faqat ₁ = ₂ =. . . = _m = 0 bo'lgandagina bajarilsa, (2) vektorlar sistemasiga chiziqli bog'lanmagan sistema deyiladi.

Masalan: e₁=(1, 0 , 0 , . . . , 0 ), e₂ =(0, 1 , 0, . . . , 0) , . . . , e_n =(0, 0, 0 , . . . , 1) birlik vektorlar sistemasi chiziqli bog'lanmagandir. Haqiqatdan ham,

₁e₁+ ₂ e₂ + . . . + _n e_n = 0 dan ( ₁, ₂ , . . . , _m )= 0 yoki ₁ = ₂ =. . . = _m = 0 kelib chiqadi.

4. X o s s a l a r i .
1. Nol vektor yoki o'zaro proporsional vektorlar qatnashgan har qanday vektorlar sistemasi chiziqli bog'langandir. Haqiqatdan ham, agar 0, a₂ , ..., a_m vektorlar sistemasi berilgan bo'lsa, u holda ₁ 0, ₂ =. . . = _m = 0 deb olsak, ₁0+ ₂ a₂ + . . . + _m a_m = 0 tenglik o'rinli bo'ladi. a₁=a₂ bo'lsa ( 0), ham shunday isbotlanadi.

2. a₁, a₂ , . . . , a_m (a₁ 0) vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan bo'lishi uchun undagi birorta vektorning qolgan vektorning chiziqli kombinasiyasi-dan iborat bo'lishi zarur va yetarlidir.

Isboti. Zarurligi. a₁, a₂ , . . . , a_m (a₁ 0) sistema chiziqli bog'langan bo'lsin. U holda

₁a₁ + ₂ a₂+ . . . + _m a_m = 0 (3)

tenglik bajariladi va bunda ₁, ₂ , . . . , _m larning hech bo'lmasa birortasi noldan farqli. Masalan, _k 0 va k shu shartni qanoatlantiruvchi eng katta indeks bo'lsin. Bu yerda k>1, aks holda, ₂ =. . . = _m = 0 deb olsak, ₁a₁ = 0 dan ₁= 0 kelib chiqadi. (3) ni a_k ga nisbatan yechsak: a_k =(-₁ /_k)a₁+(-₂ /_k)a₂+ . . . +(-_k-1 /_k)a_k-1+ (-_k+1 /_k)a_k+1+ . . . +(-_m /_k)a _m yoki '_s =(-_s /_k) deb bel-gilab olsak, a_k ='₁ a₁+'₂ a₂+ . . . +'_k-1 a_k-1 ga ega bo'lamiz.

Yetarli sharti. Faraz etaylik a_s=₁ a₁+₂ a₂+ . . . +_s-1 a_s-1 + _s+1 a_s+1+ . . .+

+_m a_m bo'lsin. U holda bu tenglikni ₁ a₁+₂ a₂+ . . . +_s-1 a_s-1 + _s a_s+

+_s+1 a_s+1+ . . . +_m a_m = 0 ko'rinishda yozish mumkin . Bu yerda _s = - 1  0 bo'lgani uchun a₁, a₂ , . . . , a_m vektorlar sistemasi chiziqli bog'langandir.

3. Agar berilgan sistemaning biror qismiy sistemasi chiziqli bog'langan bo'lsa, shu sistemaning o'zi ham chiziqli bog'langan bo'ladi.

Isboti. a₁, a₂ , . . . , a_k vektorlar sistemalari chiziqli bog'langan bo'lib a₁, a₂ , . . . , a_k , a_k+1, . . . , a_m sistemaning qismi bo'lsin. U holda hech bo'lmasa birortasi noldan farqli ₁, ₂ , . . . , _k sonlari mavjud bo'lib ₁ a₁+₂ a₂+ + . . . + _k a_k= 0 bo'ladi. Bundan ₁ a₁+₂ a₂+ . . . +_k a_k + 0 a_k+1+ . . . +0 a_m= 0

va ₁, ₂ , . . . , _k, 0, ... , 0 sonlarining hech bo'lmasa birortasi noldan farqli.

Demak, ta'rifga asosan a₁, a₂ , . . . , a_k , a_k+1, . . . , a_m vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan.

Natija. Agar berilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog'lanmagan bo'l-sa, uning ixtiyoriy qismiy sistemasi ham chiziqli bog'lanmagandir.

4. Agar a₁ , a₂ , . . . , a_m vektorlar sistemasi chiziqli bog'lanmagan bo'lib

a₁ , a₂ , . . . , a _m , v (4)

sistema chiziqli bog'langan bo'lsa , u holda v vektor

a₁ , a₂ , . . . , a _m (5)

sistemadagi vektorlar orqali yagona usulda chiziqli ifodalanadi.

Isboti. (4) sistema chiziqli bog'langan bo'lganligi sababli hech bo'lmasa birortasi noldan farqli bo'lgan ₁, ₂ , . . . ,  _m ,  sonlari mavjud bo'lib

₁ a₁+₂ a₂+ . . . +_m a_m + v = 0 (6)

tenglik bajariladi. Bu yerda yerda   0, aks holda (6)dan a₁₁ +₂ a₂+ . . . +

+_m a_m = 0 tenglik ₁, ₂ , . . . ,  _m larning birortasi noldan farqli bo'lganda bajarilishi kerak. Bu esa (5) ning chiziqli erkli ekanligiga ziddir.

(6) ni v ga nisbatan yechib

v = '₁a₁ + '₂a₂+ ... + '_m a_m (7)

ni hosil qilamiz.

Endi yagonaligini isbotlaylik. (7) bilan birga v= ₁a₁ + ₂a₂+ ... + _ma_m bo'lsa, u holda ( '₁ -₁) a₁ +( '₂ -₂) a₂+ ... + ( '_m -_m) a_m =0 bo'ladi. (5) cistema chiziqli erkli bo'lgani uchun '₁ -₁ =0, '₂ -₂=0, ... , '_m -_m =0 yoki '₁ = ₁, '₂ = ₂, ... , '_m = _m bo'ladi.

5°. Agar a L(b₁ , b₂ ,... , b_m ) va b₁ , b₂ ,... , b_m L(с₁ , с₂ ,... , с_s ) bo'lsa,

a L(c₁ , c₂ ,... , c_s ) bo'ladi.

Haqiqatan ham, a L(b₁ , b₂ ,... , b_m ) dan

a = ₁b₁ + ₂b₂+ ... + _m b_{m .} (8)

b₁ , b₂ ,... , b_m L(с₁ , с₂ ,... , с_s ) bo'lgani uchun esa
b₁= ₁₁с₁ + ₁₂ с₂+ ... + _1s c_s

b₂= ₂₁c₁ +₂₂ c₂+ ... + _2s c_s

.............................................. (9)

b_m=_m1c₁ + _m2c₂+ ... + _ms c_s .

(9) ni (8)ga olib borib qo'ysak

a=(₁ ₁₁ + ₂ ₂₁ + ... + _m _m1 )c₁+(₁ ₁₂ + ₂ ₂₂ + ... + _m _m2 )c₂+ . . . +

+(₁ _1s + ₂ _2s + ... + _m _ms )c_s yoki  _i =₁ _1i + ₂ _2i + ... + _m _{m i} ) deb belgilab olsak a= ₁с₁ +  ₂с₂+ ... +  _s с_s hosil bo'ladi,ya'ni a L(c₁ , c₂ ,... , c_s ).

Teorema. Agar a₁ , a₂ , . . . , a _m+1  L(b₁ , b₂ ,... , b_m ) bo'lsa, a₁ , a₂ , . . .,a _m+1

sistemasi chiziqli bog'langandir.

Isboti. m ga nisbatan matematik induksiya metodi bilan isbotlaymiz. a₁, a₂ , . . . , a _m+1 vektorlarning barchasini noldan farqli deb olamiz, aks holda teorema o'z o'zidan tushunarli. m=1 da a₁ , a₂ L(b₁) bo'lib, bundan a₁= =₁b₁ , a₂ = ₂b₂ ni, yoki ^-1₁ a₁ +(- ₂ )^-1 a₂ =0 , bu yerda ₁ , ₂  . Demak, a₁ , a₂

vektorlar chiziqli bog'langan va m=1 da teorema o'rinli.

Faraz etaylik, m= n-1 da teorema o'rinli bo'lsin. Biz uning m=n uchun o'rinli ekanligini isbotlaymiz. Bu holda a₁ ,a₂ , . . . , a_n+1  L(b₁ , b₂ ,... ,b_n) dan

a₁= ₁₁b₁ + ₁₂ b₂+ ... + _1n b_n

a₂= ₂₁b₁ + ₂₂ b₂+ ... + _2n b_n

.............................................. (10)

a_n= _n1b₁ + _n2b₂+ ... + _{n n} b_n

a_n+1= _n+1,1b₁ + _n+1,2b₂+ ... + _{n+1, n} b_n

Agar(10) da b_n ning oldidagi barcha koeffisiyentlar nolga teng bo'lsa, u holda a₁ ,a₂ , . . . , a_n L(b₁ , b₂ ,... ,b_n-1) va induktivlik farazimizga ko'ra a₁,a₂ , . . ., a_n

sistema va demak a₁ ,a₂ , . . . , a_n , a_n+1 sistema ham chiziqli bog'langan bo'ladi.

Agarda bu koeffisiyentlardan birortasi, masalan _{n+1, n} noldan farqli bo'lsa, u holda qolgan barcha tengliklardan b_n vektorni yuqotamiz:

a₁ -₁ a_n+1 ='₁₁b₁ + '₁₂ b₂+ ... + '_1,n-1 b_n-1

a₂ -₂ a_n+1 ='₂₁b₁ + '₂₂ b₂+ ... + '_2,n-1 b_n-1

.....................................................................

a_n -_n a_n+1 ='_n1b₁ + '_n2 b₂+ ... + '_n,n-1 b_n-1

hosil bo'ladi. Induktivlik farazimiega ko'ra a₁ -₁ a_n+1 , a₂ -₂ a_n+1, a_n -_n a_n+1

vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan, hech bolmasa birortasi noldan farqli bo'lgan ₁, ₂ , . . . ,  _n conlari mavjud bo'lib ₁ (a₁ -₁ a_n+1 )+₂ (a₂ --₂ a_n+1) +_n ( a_n -_n a_n+1 )=0 tenglik bajariladi yoki bundan ₁ a₁+₂ a₂+ ...+ +_n a_n+_n+1 a_n+1 = 0 hosil bo'ladi. Bu yerda _n+1 = -(₁₁ + ₂₂ +. . . +_n_n ).

Shunday qilib, a₁ ,a₂ , . . . , a_n , a_n+1 vektorlar chiziqli bog'langan. Teorema isbot bo'ldi.

Natijalar. 1). Agar a₁ , a₂ , . . . , a_k L(b₁ , b₂ ,... , b_m ) bo'lib, k> m bo'lsa

a₁ , a₂ , . . . , a_k vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan bo'ladi.

2). Agar a₁ , a₂ , . . . , a_k  L(b₁ , b₂ ,... , b_m ) bo'lib a₁ , a₂ , . . . , a_k vektor-lar sistemasi chiziqli bog'lanmagan bo'lsa, k m bo'ladi.

3). n o'lchovli arifmetik fazodagi har qanday n+1 ta va undan ortiq vektorlardan to'zilgan sistema chiziqli bog'langandir.

Bu 3- natija har qanday n o'lchovli vektor (₁ ,  ₂ , . . . ,  _n) ni birlik vektorlar orqali ifodalash mumkin ekanligidan, ya'ni (₁ ,  ₂ , . . . ,  _n)=

=₁ e₁ +  ₂ e₂ + . . .+  _n e_n  L(e₁ , e₂ ,... , e_n ) ekanligidan kelib chiqadi.