Sh. Merajova


Mustaqil bajarish uchun mashqlar



Download 1.42 Mb.
Pdf ko'rish
bet6/13
Sana20.09.2019
Hajmi1.42 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

Mustaqil bajarish uchun mashqlar 

Quyidagi aralash masalalarni yeching:  

1. u

tt

=u

xx

-4u(01);  u|

x=0

=u|

x=1

=0;  u|

t=0

=x

2

-x, u

t

|

t=0

=0. 

2. u

tt

+2u

t

=u

xx

-u(0

x=0

=u|

x=π

=0; u|

t=0

=πx-x

2

, u

t

|

t=0

=0. 

3. u

tt

+2u

t

=u

xx

-u(0

x

|

x=0

=0, u|

x=π

=0; u|

t=0

=0, u

t

|

t=0

=x. 

4. u

tt

+u

t

=u

xx

(01); u|

x=0

=t, u|

x=1

=0 ; u|

t=0

=0 , u

t

|

t=0

=1-x 

5. u

tt

=u

xx

+u(0

x=0

=2t, u|

x=2

=0 ; u|

t=0

=u

t

|

t=0

=0. 

6. u



tt

=u

xx

+u(0

x=0

=0, u|

x=l

=t,  u|

t=0

=0, u

t

|

t=0

=

l

x

 

7. u



tt

=u

xx

+x(0

x=0

=u|

x=π

=0;   u|

t=0

=sin2x,    u

t

|

t=0

=0 

8. u



tt

+u

t

=u

xx

+1(0

x=0

=u|

x=1

=0;    u|

t=0

=u

t

|

t=0

=0. 

9.  u



tt

-u

xx

+2u

t

=4x+8e

t

cosx         (0

x

|

x=0

=2t,  

t

u



2



;  u|

t=0

=cosx, 

u

t

|

t=0

=2x

10. 

u

tt

-u

xx

-2u

t

=4t(sinx-x)   (0

x=0

=3, u

x

|

x=π/2

=t

2

+t, ;  u|

t=0

=3 

u

t

|

t=0

=x+sinx. 

 

27 


11. 

u

tt

-3u

t

=u

xx

+u-x(4+t)+cos

2

3x



     (0

x

|

x=0

=t+1, 

  u|

x= π

= π(t+1) ; u|

t=0

=u

t

|

t=0

=x. 

12. 

u

tt

-7u

t

=u

xx

+2u

x

-2t-7x-e

-x

sin3x       (0

x=0

=0, 

  u|

x= π

= πt ; u|

t=0

=0,  u

t

|

t=0

=x. 

13. 

u

tt

+2u

t

=u

xx

+8u+2x(1-4t)+cos3x   (0

x

|

x=0

=t,  

;

2



|

2

t



u

x





 

u|

t=0

=0, u

t

|

t=0

=x. 

14. 

u

tt

=u

xx

+4u+2sin

2

x            (0

x

|

x=0

=u

x

|

x= π

=0;  

u|

t=0

=u

t

|

t=0

=0. 

15. 

u

tt

=u

xx

+10u+2sin2xcosx  (0

x=0

=u

x

|

x= π/2

=0 ;  

u|

t=0

=u

t

|

t=0

=0. 

16. 

u

tt

-3u

t

=u

xx

+2u

x

-3x-2t   (0

x=0

=0, u|

x= π

= πt; u|

t=0

=e

-x

sinx, 

u

t

|

t=0

=x. 

 

5.2 Parabolik turdagi tenglama 

Qisqacha  bir  jinsli  ingichka  sterjenda  issiqlik  tarqalish  masalasini 

ko‘rib  chiqamiz,  uning  yon  sirti  issiqlik  o‘tkazmaydi,  x=0  va  x=l   

chegaralarida  esa  nollik  temperatura.  Shu    masala  uchun  Furye  yoki 

o‘zgaruvchilarni  ajratish  usulini  bayon  qilamiz.  Bu  masala  quyidagi 

tenglamaga keladi: 

      

2

2



2

x

u

a

t

u





.   

 

 



 

 

         



(1) 

Boshlang‘ich shartlar: 

),

(

|



0

0

x



u

u

t



  

 

 



 

 

 



 

(2) 


Chegaraviy shartlar: 

,

0



|

0





x

u

0

|





l



x

u

.   


 

 

 



 

 

(3) 



Dastlab,  (1)  tenglamaning  xususiy  yechimlarini  quyidagi 

korinishda qidiramiz: 

)

(

)



(

)

,



(

t

T

x

X

t

x

u

   



 

 

 



 

 

 



(4) 

bu  funksiyalr  aynan  nolga  teng  emas  va  (3)  chegaraviy  shartlarni 

qanoatlantirsin. 


 

28 


 

(4)  funksiyani  (1)  tenglama  qo‘yib  quyidagi  oddiy  differensial 

tenglamalarga kelamiz: 

0

)



(

)

(



'

2





t

T

a

t

T

,   



 

 

 



 

 

 



(5) 

0

)



(

)

(



'

'





x

X

x

X

,  



 

 

 



 

 

 



(6) 

bu yerda 



const



 

Chegaraviy shartlar quyidagicha bo‘ladi: 



0

)

(



    

,

0



)

0

(





l



X

X

  

 



 

 

 



 

 

(7) 



Natijada biz Shturm-Liuvill (6)-(7) masalasiga kelamiz. 

 

Bu masalaning xos sonlari: 



,...

2

,



1

    


2







k

l

k

k



 

 

 



 

Va bu xos sonlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi: 



l

kx

x

X

k

sin



)

(





k



 bo‘lganda (5) tenglama quyidagi umumiy yechimga ega: 



t

l

a

k

k

k

e

a

t

T

2

)



(







shuning uchun  



l

x

k

e

a

t

T

x

X

t

x

u

t

l

ka

k

k

k

k



sin

)

(



)

(

)



,

(

2









 

funksiya har qanday 



k

a

 uchun (1) masalani va (3) chegaraviy shartlarni 

qanoatlantiradi. 

 

(2)-(3) shartlarni qanoatlantiruvchi (1) masalaning yechimini qator 



ko‘rinishida qidiramiz: 











1

1



sin

)

(



)

(

)



,

(

2



k

t

l

ka

k

k

k

k

l

x

k

e

a

t

T

x

X

t

x

u



 

 

 



 

 

 



(8) 

Agar bu qator tekis yaqunlashuvchii bo‘lib, uni t had bo‘yicha bir marta 



x    bo‘yicha  ikki  marta  differensiallash  mumkin  bo‘lsa,  u  vaqtda  qator 

yig‘indisi (1) tenglamani va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. 



 

29 


 

k

a

  doimiy  koeffisiyentlarni  shunday  aniqlaymizki  (8)  qator 

yig‘indisi  (2)  boshlang‘ich  shartlarni  qanoatlantirsin,  quyidagi 

tengliklarga kelamiz: 





1

0



sin

)

(



k

k

l

x

k

a

x

u

  



 

 

   



 

 

 



 

(9) 


(9)  formula 

)

(



0

x

u

  funksiyaning  (0,l)  intervalda  sinuslar  bo‘yicha  Furye 

yoyilmasini  beradi.  Bu  yoyilmaning  koeffisiyentlari  quyidagi  formula 

bilan topiladi: 



dx

l

x

k

in

s

x

u

l

a

l

k



0

0



)

(

2



 

Masala: Quyidagi masalani Furye usulida yeching. 

u

t

=u

xx

+u,  0

x=0

=0,  u|

x=l

=0, u|

t=0

=13x.    

      (10) 

Dastlab,  (1)  tenglamaning  xususiy  yechimlarini  quyidagi 

korinishda qidiramiz: 

)

(



)

(

)



,

(

t



T

x

X

t

x

u

,   



 

 

 



         

(4) 


bu  funksiyalr  aynan  nolga  teng  emas  va  chegaraviy  shartlarni 

qanoatlantirsin. 

 

(4)  funksiyani  (10)  masaladagi  tenglamaga  qo‘yib  quyidagi  oddiy 



differensial tenglamalarga kelamiz: 

 

0



)

(

)



(

'





t

T

t

T

,   



 

 

 



 

 

 



(5) 

0

)



(

)

1



(

)

(



'

'





x



X

x

X

,   



 

 

                       (6´) 



bu yerda 

const



 

Chegaraviy shartlar quyidagicha bo‘ladi: 



0

)

(



    

,

0



)

0

(





l



X

X

 



 

 

 



 

 

 



(7) 

Natijada biz Shturm-Liuvill (6´)-(7) masalasiga kelamiz. 

 

Bu masalaning xos sonlari: 



1

2









l

n

n



 

 

 



 

Va bu xos sonlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi: 



l

nx

x

X

n

sin



)

(





 

30 


n



 bo‘lganda (5) tenglama quyidagi umumiy yechimga ega: 



t

l

n

n

n

e

a

t

T













1

2

)



(



shuning uchun  

l

x

n

e

a

t

T

x

X

t

x

u

t

l

n

n

n

n

n



sin

)

(



)

(

)



,

(

1



2













 

funksiya har qanday 



n

a

 uchun berilgan masalani qanoatlantiradi. 

 

Berilgan masalaning yechimini qator ko‘rinishida qidiramiz: 



















1

1

1



sin

)

(



)

(

)



,

(

2



n

t

l

n

n

n

n

n

l

x

n

e

a

t

T

x

X

t

x

u



.  

 

n



a

  doimiy  koeffisiyentlarni  shunday  aniqlaymizki  qator  yig‘indisi 

boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin, quyidagi tenglikga kelamiz: 





1

sin


13

n

n

l

x

n

a

x



 

 

 



bu tenglik 

x

x

u

13

)



(

0



 funksiyaning (0,l) intervalda sinuslar bo‘yicha Furye 

yoyilmasini  beradi.  Bu  yoyilmaning  koeffisiyentlari  quyidagi  formula 

bilan topiladi: 

dx

l

x

n

in

s

x

l

a

l

n





0

13

2



 

koeffisiyentlarni  aniqlash  uchun  integralni  bo‘laklab  integrallaymiz, 

natijada: 

 


1

1

26







n



n

n

l

a

.  U  vaqtda  izlanayotgan  yechim  quyidagi 



ko‘rinishda bo‘ladi: 

 
















1



1

1

sin



1

26

)



,

(

2



n

t

l

n

n

l

x

n

e

n

l

t

x

u



. 

 

Mustaqil bajarish uchun mashqlar 

Quyidagi aralash masalalarni yeching

17. 

u

t

=u

xx

,  0

x=0

=0,  u|

x=l

=0, u|

t=0

=A=const. 

18. 

u

t

=u

xx

,  0

x=0

=0,  u|

x=l

=0, u|

t=0

=Ax(l-x). 

19. 

u

t

=u

xx

,  0

x=0

=0,  (u

x

+hu)|

x=l

=0, u|

t=0

=u

0

(x). 

20. 

u

t

=u

xx

,  0

x

-hu)|

x=0

=0,  (u

x

+hu)|

x=l

=0, u|

t=0

=u

0

(x). 


 

31 


21. 

u

t

=u

xx

,  0

x

|

x=0

=0,  u

x

|

x=l

=0, u|

t=0

= u

0

=const. 

22. 

u

t

=u

xx

,  0

x

|

x=0

=0,  u

x

|

x=l

=0, u|

t=0

=







 



2

   


agar      

        


0,

2

0



agar  

  

,



0

l

x

l

l

x

const

u

?

)



,

(

 



lim

t





t



x

u

 

23. 

u

t

=u

xx

,  0

x

|

x=0

=0,  u

x

|

x=l

=0, u|

t=0

=







 



2

   


agar      

        


,

)

(



2

2

0



agar  

  

,



2

0

0



l

x

l

x

l

l

u

l

x

x

l

u

,  

bu yerda u

0

=const. 

?

)



,

(

 



lim

t





t



x

u

 

24. 

u

t

=u

xx

,  01,  u

x

|

x=0

=0,  u|

x=1

=0, u|

t=0

=x

2

-1 

25. 

u

xx

 = u

t

+u,  0

x=0

=0,  u|

x=l

=0, u|

t=0

=1 

26. 

u

t

=u

xx

-4u,  0

x=0

=0,  u|

x=

 

π

 =0, u|

t=0

=x

2

- πx 

27. 

u

t

=u

xx

,  0

x

|

x=0

=1,  u|

x=l

=0, u|

t=0

=0 

28. 


u

t

=u



xx

+u+2sin2xsinx, 

,

2

0





x

 u

x



|

x=0


=u

2

|





x

=u|

t=0


=0 

29. 

u

t



=u

xx

-2u



x

+x+2t, 0

x=0

=0; u|


x=l

=t,  u|


t=0

=e

x



sinπx 

30. 

u

t

=u

xx

+u-x+25sin2xcosx,  

2

0





x

, u|

x=0

=0, u

x

1

|



2





x

,

 

u|

t=0

=x 

31. 

u

t

=u

xx

+4u+x

2

-2t-4x

2

t+2cos

2

x, 0

x

|

x=0

=0, u

x

|

x=π

=2πt, u|

t=0

=0. 

32. 

u

t

-u

xx

+2u

x

-u=e

x

sinx-t     0

x=0

=1+t,  u|

x=π

=1+t, 

u|

t=0

=1+e

x

sin2x 

33. 

u

t

-u

xx

-u=xt(2-t)+2cost, 0

x

|

x=0

=t

2

, u

x

|

x=π

=t

2

,  u|

t=0

=cos2x.  

34. 

u

t

-u

xx

-9u=4sin


2

tcos3x-9x

2

-2, 0π, u



x

|

x=0



=0, u

x

|



x=π

=2π, u|

t=0

=x

2

+2 

35. 

u

t

=u

xx

+6u+2t(1-3t)-6x+2cosxcos2x, 

2

0





x

; u

x

|

x=0



=1, 

2

|



2

2







t

u

x



u|

t=0

=x. 

36. 

u

t

=u

xx

+6u+x

2

(1-6t)-2(t+3x)+sin2x,  0π  u



x

|

x=0



=1, u

x

|

x=π

=2πt+1,  



u|

t=0

=x. 

37. 

u

t

=u

xx

+4u


x

+x-4t+1+e

-2

xcos


2

πx,  01,  u|

x=0

=t,  u|

x=1

=2t,  u|

t=0

=0. 

 

32 


Download 1.42 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
O’zbekiston respublikasi
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
o’rta maxsus
davlat pedagogika
axborot texnologiyalari
nomidagi toshkent
pedagogika instituti
texnologiyalari universiteti
navoiy nomidagi
guruh talabasi
samarqand davlat
toshkent axborot
nomidagi samarqand
toshkent davlat
haqida tushuncha
ta’limi vazirligi
xorazmiy nomidagi
Darsning maqsadi
vazirligi toshkent
Toshkent davlat
tashkil etish
Alisher navoiy
rivojlantirish vazirligi
Ўзбекистон республикаси
matematika fakulteti
pedagogika universiteti
sinflar uchun
Nizomiy nomidagi
таълим вазирлиги
tibbiyot akademiyasi
maxsus ta'lim
o’rta ta’lim
bilan ishlash
ta'lim vazirligi
fanlar fakulteti
махсус таълим
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
umumiy o’rta
Referat mavzu
fanining predmeti
haqida umumiy
Navoiy davlat
fizika matematika
universiteti fizika
Buxoro davlat
malakasini oshirish
davlat sharqshunoslik
Samarqand davlat