Sh. Merajova

3-misol.  Ushbu  tenglamani  yeching:  (Bu  yerda  ketma-ket  yaqinlashish 

usulidan foydalanamiz). 

 



  









x

dt

t

u

x

t

x

x

u

0

,

 

bunda 

 

x

x

f



 va 

1





 

Endi quyidagi munosabatlardagi hadlarni hisoblab chiqamiz:  

 

 

;

0

x

x

f

x

u





 

  





































x

x

t

t

x

x

x

t

x

t

tdt

x

t

x

u

0

3

3

3

0

2

3

1

;

!

3

2

3

2

3

 

 

  

























x

x

dt

t

x

t

x

u

0

5

3

2

;

!

5

!

3

 

  

























x

x

dt

t

x

t

x

u

0

5

3

3

;

!

7

!

5

 

va  hokazo.  Bu  ifodalarning  hosil  bo‘lishidagi  qonuniyat  ko‘rinib 

turibdi.  Ularning  yig‘indidsini  hisoblasak,  izlanayotgan  yechim  hosil 

bo‘ladi: 

 

x

x

x

x

x

x

u

sin

...

!

7

!

5

!

3

7

5

3













 

4-misol. Ushbu tenglama rezol’venta yoradami bilan yechilsin: 

 



  









x

dt

t

u

x

t

x

x

u

0

,

 

 

38 

Topamiz: 

 





t

x

x

t

t

x

K

K













,

1

 

  













 

 









 

 









 









 

















 



!

3

3

1

2

1

3

3

1

2

1

,

3

3

3

3

2

2

2

t

x

t

x

t

x

x

s

x

t

x

ds

s

x

ds

s

x

t

x

ds

s

x

t

x

s

x

ds

s

x

t

x

s

x

ds

x

t

s

x

s

x

ds

t

s

s

x

t

x

K

x

t

s

x

t

x

t

x

t

s

x

t

x

t

x

t

x

t































































































 

Xuddi shu usulda 

 

t

x

K

,

3

 ni topamiz: 

 















































x

t

x

t

t

x

ds

t

s

t

s

t

x

dt

t

s

s

x

t

x

K

!

5

!

3

1

!

3

,

5

3

3

3

 

va hokazo bularni 





 

 

 

...

,

,

,

,

,

3

2

2

1











t

x

K

t

x

K

t

x

K

t

x







 formulaga qo‘yib 

rezol’ventani topamiz:  



 

 

 







t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

























sin

...

!

5

!

3

,

,

5

3



 

U holda berilgan tenglamaning yechimi   

 













x

tdt

t

x

x

x

u

0

sin

 

bo‘ladi. O‘ng tomondagi integralni hisoblab quyidagi natijani olamiz:  

 

x

x

u

sin



 

 

Yuqorida ko‘rsatilga usullardan foydalanib quyidagi misollar yechilsin 

 

Mustaqil bajarish uchun mashqlar 

a) 







1

0

)

(

)

(

)

,

(

)

(

x

f

dy

y

y

x

K

x







 integral tenglamani quyidagi hollar uchun 

yeching: 

1. K(x,y)=x-1 

 

 

f(x)=x 

2. K(x,y)=2e

x+y 

 

f(x)=e

x

 

3. K(x,y)=x+y-2xy,   

f(x)=x+x

2

 

 b) 









1

1

)

(

)

(

)

,

(

)

(

x

f

dy

y

y

x

K

x







  integral  tenglamani  quyidagi  hollar  uchun 

yeching: 

4. K(x,y)=xy+x

2

y

2

 

 

 

 

f(x)=x

2

+x

4

 

5. K(x,y)=x

1/3

+y

1/3

 

 

 

 

f(x)=1-6x

2

 

 

39 

6. K(x,y)=x

4

+5x

3

y, 

 

 

 

f(x)=x

2

-x

4

 

7. K(x,y)=2xy

3

+5x

2

y

2

  

 

f(x)=7x

4

+3 

8. K(x,y)=x

2

-xy   

 

  

 f(x)=x

2

+x 

9. K(x,y)=5+4xy-3x

2

-3y

2

+9x

2

y

2

    

f(x)=x 

c)   















0

)

(

)

(

)

,

)

(

x

f

dy

y

y

Kx

x

  integral  tenglamani  quyidagi  hollar  uchun 

yeching: 

10. 

K(x,y)=sin(2x+y),   

 

f(x)=π-2x 

11. 

K(x,y)=sin(x-2y)   

 

         f(x)=cos2x 

12. 

K(x,y)=cos(2x+y),   

 

f(x)=sinx 

13. 

K(x,y)=sin(3x+y),   

 

f(x)=cosx 

14. 

K(x,y)=siny+ycosx  

          f(x)=1-



x

2

 

15. 

K(x,y)=cos

2

(x-y)   

 

          f(x)=1+cos4x 

d) 















2

0

)

(

)

(

)

,

(

)

(

x

f

dy

y

y

x

K

x

  integral  tenglamani  quyidagi  hollar  uchun 

yeching: 

16. 

x

x

f

y

x

y

x

y

x

K

3

cos

)

(

,

2

cos

2

cos

cos

cos

)

,

(









 

17. 

x

x

f

y

x

y

x

y

x

K

cos

)

(

,

2

sin

2

sin

2

cos

cos

)

,

(











 

18. 

x

x

f

y

x

y

x

y

x

K

sin

)

(

,

2

cos

2

cos

3

sin

sin

)

,

(











 

e)  Quyidagi  integral  tenglamalarning  barcha  xarakteristik  qiymatlarini 

va shu xarakteristikalarga mos xos funksiyalarini toping 

19. 

 

dy

y

y

x

x

)

(

2

1

)

sin(

)

(

2

0

























 

20. 

 

dy

y

y

x

x

)

(

2

1

)

(

cos

)

(

2

0

2

























 

21. 

 

dy

y

y

x

x

)

(

45

2

)

(

1

0

2

2





















 

22. 

 

dy

y

x

y

y

x

x

)

(

)

(

2

0

5

2

5

2























































 

23. 

 

dy

y

y

x

y

x

y

x

y

x

x

)

(

)

sin

4

sin

2

sin

3

sin

3

sin

2

sin

4

sin

(sin

)

(

2

0



























 

 

40 

f) 

24. 

a  va  b  parametrlarning  qanday  qiymatlarida  quyidagi 

tenglama yechimga ega va shu qiymatlardagi yechimini toping:  

?

2

)

(

3

1

2

12

)

(

2

1

0





























bx

ax

dy

y

y

x

xy

x





 

25. 

a parametrning qanday qiymatlarida quyidagi tenglama 

yechimga ega: 









?

1

)

(

)

3

4

(

3

4

15

)

(

1

0

2

2

x

ax

dy

y

y

y

x

x

x

y

x



















 

26. 



parametrning qanday qiymatlerida  

















2

0

)

(

)

(

)

2

cos(

)

(

x

f

dy

y

y

x

x

 

integral  tenglama  har  qanday 











2

,

0

)

(

C

x

f



uchun  yechimga  ega,  shu 

yechimni toping. 

g)  Barcha 



  va  ozod  hadga  kiruvchi  barcha  a,b,c  parametrlar  uchun 

quyidagi integral tenglamalarning  yechimini toping: 

27. 

 













2

/

2

/

)

(

)

cos

sin

(

)

(











b

ax

dy

y

y

x

y

x

 

28. 

 



















0

sin

)

(

)

cos(

)

(

b

x

a

dy

y

y

x

x

 

29. 

 















1

1

2

)

(

)

1

(

)

(

c

bx

ax

dy

y

xy

x







 

30. 

 













1

1

3

2

2

)

(

)

(

)

(

bx

ax

dy

y

xy

y

x

x







 

31. 

 













1

1

2

2

)

(

)

(

2

1

)

(

b

ax

dy

y

y

x

xy

x







 

32. 

 





















1

1

3

2

3

1

3

1

)

(

)

(

7

)

(

5

)

(

bx

ax

dy

y

xy

xy

x







 

33. 

 















1

1

2

2

)

(

1

1

)

(

bx

ax

dy

y

y

xy

x







 

34. 

 



















1

1

2

3

3

)

(

)

(

c

bx

ax

dy

y

y

x

x







 

35. 

 

















1

1

2

2

2

2

)

(

)

3

(

)

(

b

ax

dy

y

y

x

y

x

xy

x







 

 

41 

 

k) 

36.  K(x,y)  yadroning  xos  sonlarini  va  ularga    mos  keluvchi    xos 

funksiyalarini  toping  va  barcha 



,a,b,c  lar  uchun  quyidagi  tenglamani 

yeching 









1

1

)

(

)

(

)

,

(

)

(

x

f

dy

y

y

x

K

x





 

1. K(x,y)=3x+xy-5x

2

y

2

   

f(x)=ax 

2. K(x,y)=3xy+5x

2

y

2

 

 

f(x)=ax

2

+bx 

37. 

K(x,y)  yadroning  xos  sonlarini  va  ularga    mos  keluvchi    xos 

funksiyalarini  toping  va  barcha 



,a,b,c  lar  uchun  quyidagi 

tenglamani yeching 



















)

(

)

(

)

,

(

)

(

x

f

dy

y

y

x

K

x

 

1. K(x,y)=xcosy+sinx 

. 

siny  f(x)=a+bcosx 

2. K(x,y)=xsiny+cosx 

 

f(x)=ax+b 

l) Quyidagi integral tenglamalarni yeching va 







;

, y

x

R

rezolventasini 

toping 

38. 











1

1

)

(

)

(

)

sin(

)

(

x

f

dy

y

y

x

x







 

39. 













1

1

)

(

)

(

)

2

1

(

)

(

x

f

dy

y

xy

y

x







 

40. 

 























b

ax

dy

y

x

y

x

x

)

(

)

cos

sin

(

)

(

 

41. 

 

















2

0

)

(

)

(

)

2

sin

2

sin

sin

(sin

)

(

x

f

dy

y

yy

x

y

x

x

 

p)  Har  qanday 



  parametr  uchun  quyidagi  integral  tenglamalar 

yechimga  ega  bo‘ladigan  a,b,c  parametrlarning  barcha  qiymatlarini 

toping: 

42. 

 















1

1

2

2

2

)

(

)

(

)

(

c

bx

ax

dy

y

y

x

xy

x







 

 

42 

43. 

 















1

1

2

)

(

)

1

(

)

(

c

bx

ax

dy

y

xy

x







, bu yerda 

1

2

2

2







c

b

a

. 

44. 

 















1

1

2

2

)

(

1

1

)

(

b

x

dy

y

y

xy

x







 

45. 

 















1

1

2

1

)

(

)

3

1

(

)

(

bx

ax

dy

y

xy

x







 

46. 

 















1

1

1

)

(

)

(

)

(

b

ax

dy

y

y

x

x







 

47. 

 



















2

0

)

(

)

4

2

cos(

)

(

b

a x

e

dy

y

y

x

x

 

48. 

 















1

1

2

)

(

)

4

sin

2

sin

2

sin

(sin

)

(

c

bx

ax

dy

y

y

x

y

x

x







 

49. 

 















1

1

3

3

2

)

(

)

1

(

)

(

bx

ax

dy

y

y

x

x







 

q)  Quyidagi  integral  tenglamalrnig  xos  sonlarini  va  ularga    mos 

keluvchi  xos funksiyalarini toping: 

50. 

 

 

 

















1

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)

,

(

)

(

32

3

)

,

(

dy

dy

y

y

y

y

x

x

x

x







 

51. 

 











1

|

|

2

1

2

2

)

,

(

,

)

(

)

|

|

|

(|

)

(

y

x

x

x

dy

y

y

x

x







 

52. 

 













1

|

|

3

2

1

)

,

,

(

,

)

(

|

|

1

|

|

1

)

(

y

x

x

x

x

dy

y

x

y

x







 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43