Sh. Merajova

Mustaqil bajarish uchun mashqlar 

Quyidagi aralash masalalarni yeching:  

1. u

tt

=u

xx

-4u(01);  u|

x=0

=u|

x=1

=0;  u|

t=0

=x

2

-x, u

t

|

t=0

=0. 

2. u

tt

+2u

t

=u

xx

-u(0

x=0

=u|

x=π

=0; u|

t=0

=πx-x

2

, u

t

|

t=0

=0. 

3. u

tt

+2u

t

=u

xx

-u(0

x

|

x=0

=0, u|

x=π

=0; u|

t=0

=0, u

t

|

t=0

=x. 

4. u

tt

+u

t

=u

xx

(01); u|

x=0

=t, u|

x=1

=0 ; u|

t=0

=0 , u

t

|

t=0

=1-x 

5. u

tt

=u

xx

+u(0

x=0

=2t, u|

x=2

=0 ; u|

t=0

=u

t

|

t=0

=0. 

6. u

tt

=u

xx

+u(0

x=0

=0, u|

x=l

=t,  u|

t=0

=0, u

t

|

t=0

=

l

x

 

7. u

tt

=u

xx

+x(0

x=0

=u|

x=π

=0;   u|

t=0

=sin2x,    u

t

|

t=0

=0 

8. u

tt

+u

t

=u

xx

+1(0

x=0

=u|

x=1

=0;    u|

t=0

=u

t

|

t=0

=0. 

9.  u

tt

-u

xx

+2u

t

=4x+8e

t

cosx         (0

x

|

x=0

=2t,  

t

u









2

;  u|

t=0

=cosx, 

u

t

|

t=0

=2x. 

10. 

u

tt

-u

xx

-2u

t

=4t(sinx-x)   (0

x=0

=3, u

x

|

x=π/2

=t

2

+t, ;  u|

t=0

=3 

u

t

|

t=0

=x+sinx. 

 

27 

11. 

u

tt

-3u

t

=u

xx

+u-x(4+t)+cos

2

3x

     (0

x

|

x=0

=t+1, 

  u|

x= π

= π(t+1) ; u|

t=0

=u

t

|

t=0

=x. 

12. 

u

tt

-7u

t

=u

xx

+2u

x

-2t-7x-e

-x

sin3x       (0

x=0

=0, 

  u|

x= π

= πt ; u|

t=0

=0,  u

t

|

t=0

=x. 

13. 

u

tt

+2u

t

=u

xx

+8u+2x(1-4t)+cos3x   (0

x

|

x=0

=t,  

;

2

|

2

t

u

x











 

u|

t=0

=0, u

t

|

t=0

=x. 

14. 

u

tt

=u

xx

+4u+2sin

2

x            (0

x

|

x=0

=u

x

|

x= π

=0;  

u|

t=0

=u

t

|

t=0

=0. 

15. 

u

tt

=u

xx

+10u+2sin2xcosx  (0

x=0

=u

x

|

x= π/2

=0 ;  

u|

t=0

=u

t

|

t=0

=0. 

16. 

u

tt

-3u

t

=u

xx

+2u

x

-3x-2t   (0

x=0

=0, u|

x= π

= πt; u|

t=0

=e

-x

sinx, 

u

t

|

t=0

=x. 

 

5.2 Parabolik turdagi tenglama 

Qisqacha  bir  jinsli  ingichka  sterjenda  issiqlik  tarqalish  masalasini 

ko‘rib  chiqamiz,  uning  yon  sirti  issiqlik  o‘tkazmaydi,  x=0  va  x=l   

chegaralarida  esa  nollik  temperatura.  Shu    masala  uchun  Furye  yoki 

o‘zgaruvchilarni  ajratish  usulini  bayon  qilamiz.  Bu  masala  quyidagi 

tenglamaga keladi: 

      

2

2

2

x

u

a

t

u











.   

 

 

 

 

         

(1) 

Boshlang‘ich shartlar: 

),

(

|

0

0

x

u

u

t





  

 

 

 

 

 

 

(2) 

Chegaraviy shartlar: 

,

0

|

0





x

u

0

|





l

x

u

.   

 

 

 

 

 

(3) 

Dastlab,  (1)  tenglamaning  xususiy  yechimlarini  quyidagi 

korinishda qidiramiz: 

)

(

)

(

)

,

(

t

T

x

X

t

x

u



   

 

 

 

 

 

 

(4) 

bu  funksiyalr  aynan  nolga  teng  emas  va  (3)  chegaraviy  shartlarni 

qanoatlantirsin. 

 

28 

 

(4)  funksiyani  (1)  tenglama  qo‘yib  quyidagi  oddiy  differensial 

tenglamalarga kelamiz: 

0

)

(

)

(

'

2





t

T

a

t

T



,   

 

 

 

 

 

 

(5) 

0

)

(

)

(

'

'





x

X

x

X



,  

 

 

 

 

 

 

(6) 

bu yerda 

const





. 

 

Chegaraviy shartlar quyidagicha bo‘ladi: 

0

)

(

    

,

0

)

0

(





l

X

X

  

 

 

 

 

 

 

(7) 

Natijada biz Shturm-Liuvill (6)-(7) masalasiga kelamiz. 

 

Bu masalaning xos sonlari: 

,...

2

,

1

    

2

















k

l

k

k





 

 

 

 

Va bu xos sonlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi: 

l

kx

x

X

k



sin

)

(



. 

k







 bo‘lganda (5) tenglama quyidagi umumiy yechimga ega: 

t

l

a

k

k

k

e

a

t

T

2

)

(



















, 

shuning uchun  

l

x

k

e

a

t

T

x

X

t

x

u

t

l

ka

k

k

k

k





sin

)

(

)

(

)

,

(

2



















 

funksiya har qanday 

k

a

 uchun (1) masalani va (3) chegaraviy shartlarni 

qanoatlantiradi. 

 

(2)-(3) shartlarni qanoatlantiruvchi (1) masalaning yechimini qator 

ko‘rinishida qidiramiz: 































1

1

sin

)

(

)

(

)

,

(

2

k

t

l

ka

k

k

k

k

l

x

k

e

a

t

T

x

X

t

x

u





 

 

 

 

 

 

(8) 

Agar bu qator tekis yaqunlashuvchii bo‘lib, uni t had bo‘yicha bir marta 

x    bo‘yicha  ikki  marta  differensiallash  mumkin  bo‘lsa,  u  vaqtda  qator 

yig‘indisi (1) tenglamani va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. 

 

29 

 

k

a

  doimiy  koeffisiyentlarni  shunday  aniqlaymizki  (8)  qator 

yig‘indisi  (2)  boshlang‘ich  shartlarni  qanoatlantirsin,  quyidagi 

tengliklarga kelamiz: 









1

0

sin

)

(

k

k

l

x

k

a

x

u



  

 

 

   

 

 

 

 

(9) 

(9)  formula 

)

(

0

x

u

  funksiyaning  (0,l)  intervalda  sinuslar  bo‘yicha  Furye 

yoyilmasini  beradi.  Bu  yoyilmaning  koeffisiyentlari  quyidagi  formula 

bilan topiladi: 

dx

l

x

k

in

s

x

u

l

a

l

k







0

0

)

(

2

 

Masala: Quyidagi masalani Furye usulida yeching. 

u

t

=u

xx

+u,  0

x=0

=0,  u|

x=l

=0, u|

t=0

=13x.    

      (10) 

Dastlab,  (1)  tenglamaning  xususiy  yechimlarini  quyidagi 

korinishda qidiramiz: 

)

(

)

(

)

,

(

t

T

x

X

t

x

u



,   

 

 

 

         

(4) 

bu  funksiyalr  aynan  nolga  teng  emas  va  chegaraviy  shartlarni 

qanoatlantirsin. 

 

(4)  funksiyani  (10)  masaladagi  tenglamaga  qo‘yib  quyidagi  oddiy 

differensial tenglamalarga kelamiz: 

 

0

)

(

)

(

'





t

T

t

T



,   

 

 

 

 

 

 

(5) 

0

)

(

)

1

(

)

(

'

'







x

X

x

X



,   

 

 

                       (6´) 

bu yerda 

const





. 

 

Chegaraviy shartlar quyidagicha bo‘ladi: 

0

)

(

    

,

0

)

0

(





l

X

X

. 

 

 

 

 

 

 

 

(7) 

Natijada biz Shturm-Liuvill (6´)-(7) masalasiga kelamiz. 

 

Bu masalaning xos sonlari: 

1

2

















l

n

n





 

 

 

 

Va bu xos sonlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi: 

l

nx

x

X

n



sin

)

(



. 

 

30 

n







 bo‘lganda (5) tenglama quyidagi umumiy yechimga ega: 

t

l

n

n

n

e

a

t

T



































1

2

)

(



, 

shuning uchun  

l

x

n

e

a

t

T

x

X

t

x

u

t

l

n

n

n

n

n





sin

)

(

)

(

)

,

(

1

2





































 

funksiya har qanday 

n

a

 uchun berilgan masalani qanoatlantiradi. 

 

Berilgan masalaning yechimini qator ko‘rinishida qidiramiz: 

















































1

1

1

sin

)

(

)

(

)

,

(

2

n

t

l

n

n

n

n

n

l

x

n

e

a

t

T

x

X

t

x

u





.  

 

n

a

  doimiy  koeffisiyentlarni  shunday  aniqlaymizki  qator  yig‘indisi 

boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin, quyidagi tenglikga kelamiz: 











1

sin

13

n

n

l

x

n

a

x



, 

 

 

 

bu tenglik 

x

x

u

13

)

(

0



 funksiyaning (0,l) intervalda sinuslar bo‘yicha Furye 

yoyilmasini  beradi.  Bu  yoyilmaning  koeffisiyentlari  quyidagi  formula 

bilan topiladi: 

dx

l

x

n

in

s

x

l

a

l

n











0

13

2

 

koeffisiyentlarni  aniqlash  uchun  integralni  bo‘laklab  integrallaymiz, 

natijada: 

 

1

1

26











n

n

n

l

a



.  U  vaqtda  izlanayotgan  yechim  quyidagi 

ko‘rinishda bo‘ladi: 

 















































1

1

1

sin

1

26

)

,

(

2

n

t

l

n

n

l

x

n

e

n

l

t

x

u







. 

 

Mustaqil bajarish uchun mashqlar 

Quyidagi aralash masalalarni yeching: 

17. 

u

t

=u

xx

,  0

x=0

=0,  u|

x=l

=0, u|

t=0

=A=const. 

18. 

u

t

=u

xx

,  0

x=0

=0,  u|

x=l

=0, u|

t=0

=Ax(l-x). 

19. 

u

t

=u

xx

,  0

x=0

=0,  (u

x

+hu)|

x=l

=0, u|

t=0

=u

0

(x). 

20. 

u

t

=u

xx

,  0

x

-hu)|

x=0

=0,  (u

x

+hu)|

x=l

=0, u|

t=0

=u

0

(x). 

 

31 

21. 

u

t

=u

xx

,  0

x

|

x=0

=0,  u

x

|

x=l

=0, u|

t=0

= u

0

=const. 

22. 

u

t

=u

xx

,  0

x

|

x=0

=0,  u

x

|

x=l

=0, u|

t=0

=





















 

2

   

agar      

        

0,

2

0

agar  

  

,

0

l

x

l

l

x

const

u

. 

?

)

,

(

 

lim

t







t

x

u

 

23. 

u

t

=u

xx

,  0

x

|

x=0

=0,  u

x

|

x=l

=0, u|

t=0

=





















 

2

   

agar      

        

,

)

(

2

2

0

agar  

  

,

2

0

0

l

x

l

x

l

l

u

l

x

x

l

u

,  

bu yerda u

0

=const. 

?

)

,

(

 

lim

t







t

x

u

 

24. 

u

t

=u

xx

,  01,  u

x

|

x=0

=0,  u|

x=1

=0, u|

t=0

=x

2

-1 

25. 

u

xx

 = u

t

+u,  0

x=0

=0,  u|

x=l

=0, u|

t=0

=1 

26. 

u

t

=u

xx

-4u,  0

x=0

=0,  u|

x=

 

π

 =0, u|

t=0

=x

2

- πx 

27. 

u

t

=u

xx

,  0

x

|

x=0

=1,  u|

x=l

=0, u|

t=0

=0 

28. 

u

t

=u

xx

+u+2sin2xsinx, 

,

2

0







x

 u

x

|

x=0

=u

2

|





x

=u|

t=0

=0 

29. 

u

t

=u

xx

-2u

x

+x+2t, 0

x=0

=0; u|

x=l

=t,  u|

t=0

=e

x

sinπx 

30. 

u

t

=u

xx

+u-x+25sin2xcosx,  

2

0







x

, u|

x=0

=0, u

x

1

|

2







x

,

 

u|

t=0

=x 

31. 

u

t

=u

xx

+4u+x

2

-2t-4x

2

t+2cos

2

x, 0

x

|

x=0

=0, u

x

|

x=π

=2πt, u|

t=0

=0. 

32. 

u

t

-u

xx

+2u

x

-u=e

x

sinx-t     0

x=0

=1+t,  u|

x=π

=1+t, 

u|

t=0

=1+e

x

sin2x 

33. 

u

t

-u

xx

-u=xt(2-t)+2cost, 0

x

|

x=0

=t

2

, u

x

|

x=π

=t

2

,  u|

t=0

=cos2x.  

34. 

u

t

-u

xx

-9u=4sin

2

tcos3x-9x

2

-2, 0π, u

x

|

x=0

=0, u

x

|

x=π

=2π, u|

t=0

=x

2

+2 

35. 

u

t

=u

xx

+6u+2t(1-3t)-6x+2cosxcos2x, 

2

0







x

; u

x

|

x=0

=1, 

2

|

2

2











t

u

x

; 

u|

t=0

=x. 

36. 

u

t

=u

xx

+6u+x

2

(1-6t)-2(t+3x)+sin2x,  0π  u

x

|

x=0

=1, u

x

|

x=π

=2πt+1,  

u|

t=0

=x. 

37. 

u

t

=u

xx

+4u

x

+x-4t+1+e

-2

xcos

2

πx,  01,  u|

x=0

=t,  u|

x=1

=2t,  u|

t=0

=0. 

 

32