|
Masala:
z
xy
z
y
x
u
xyz
z
y
x
u
bt
ax
u
u
u
u
t
zz
yy
xx
tt
0
,
,
,
0
,
,
,
masalani (4) formula bilan yeching.
xyz
u
0
funksiyaga keraklicha marta
operatorni qo‘llaymiz:
xyz
u
u
0
0
0
;
0
0
0
0
)
,
,
(
0
0
0
0
0
1
zz
yy
xx
u
u
u
z
y
x
u
u
. Laplas operatorini
keyingi qo‘llashlarda ham nol chiqadi, demak hisoblashni shu yerda
to‘xtatamiz.
19
Xuddi shu hisoblashlarni
f
u ,
1
funksiyalr uchun ham bajaramiz:
z
xy
u
u
1
1
0
;
0
...
1
2
1
1
u
u
;
bt
ax
f
f
0
;
0
...
2
1
f
f
.
Hisoblashlarni (4) formulaga etib qo‘yamiz, natijada:
6
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
,
,
(
3
2
0
bt
axt
z
xy
t
xyz
d
b
ax
t
z
xy
t
xyz
t
z
y
x
u
t
yechimni olamiz.
Mustaqil bajarish uchun mashqlar
Quyidagi chegaraviy masalalarni yeching:
a) (n=1)
18.
u
tt
=u
xx
+6; u|
t=0
=x
2
, u
t
|
t=0
=4x
19.
u
tt
=4u
xx
+xt; u|
t=0
=x
2
, u
t
|
t=0
=x
20.
u
tt
=u
xx
+sinx; u|
t=0
=sinx, u
t
|
t=0
=0
21.
u
tt
=u
xx
+e
x
; u|
t=0
=sinx, u
t
|
t=0
=x+cosx
22.
u
tt
=9u
xx
+sinx; u|
t=0
=1, u
t
|
t=0
=1
23.
u
tt
=a
2
u
xx
+sin
x; u|
t=0
=0, u
t
|
t=0
=0
24.
u
tt
=a
2
u
xx
+sin
t; u|
t=0
=0, u
t
|
t=0
=0
b) (n=2):
25. u
tt
=∆u+2; u|
t=0
=x; u
t
|
t=0
=y
26. u
tt
=∆u+6xyt; u|
t=0
=x
2
-y
2
;
u
t
|
t=0
=xy
27. u
tt
=∆u+x
3
-3xy
2
; u|
t=0
=e
x
cos y;
u
t
|
t=0
=e
y
sinx
28. u
tt
=∆u+t siny; u|
t=0
=x
2
; u
t
|
t=0
=siny
29. u
tt
=2∆u; u|
t=0
=2x
2
-y
2
;
u
t
|
t=0
=2x
2
+y
2
30. u
tt
=3∆u+x
3
+y
3
; u|
t=0
=x
2
;
u
t
|
t=0
=y
2
31. u
tt
=∆u+e
3x+4y
; u|
t=0
=u
t
;
u
t
|
t=0
=e
3x+4y
32. u
tt
=a
2
∆u, u|
t=0
=cos(bx+cy); u
t
|
t=0
=sin (bx+cy)
33. u
tt
=a
2
∆u, u|
t=0
=r
4
; u
t
|
t=0
=r
4
, bu yerda
2
2
y
x
r
34. u
tt
=a
2
∆u+r
2
e
t
, u|
t=0
=0; u
t
|
t=0
=0
c) (n=3)
35.
u
tt
=∆u+2xyz, u|
t=0
=x
2
+y
2
-2z
2
;
u
t
|
t=0
=1
36.
u
tt
=8∆u+t
2
x
2
, u|
t=0
=y
2
;
u
t
|
t=0
=z
2
20
37.
u
tt
=3∆u+6r
2
, u|
t=0
=x
2
y
2
z
2
; u
t
|
t=0
=xyz
38.
u
tt
=∆u+6te
2
x
sin y cos z,
x
e
u
z
e
u
z
y
t
t
y
x
t
5
sin
,
2
cos
4
3
0
0
39.
u
tt
=a
2
∆u,
u|
t=0
=u
t
|
t=0
=r
4
bu yerda
2
2
2
z
y
x
r
40.
u
tt
=a
2
∆u+r
2
e
t
,
u|
t=0
=u
t
|
t=0
=0 bu yerda
2
2
2
z
y
x
r
41.
u
tt
=a
2
∆u+cos x sin ye
z
, u|
t=0
=x
2
e
y+z
; u
t
|
t=0
=sinxe
y+z
42.
u
tt
=a
2
∆u+xe
t
cos(3y+4z), u|
t=0
=xycosz;u
t
|
t=0
=yze
x
43.
u
tt
=a
2
∆u,
u|
t=0
=u
t
|
t=0
=cosr, bu yerda
2
2
2
z
y
x
r
4.
Issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun Koshi masalasi
)
0
(
)
0
(
2
t
C
t
C
sinfdan shunday
)
,
( t
x
u
funksiya topilsinki, bu
funksiya
n
R
x
,
0
t
da
)
,
(
2
t
x
f
u
a
u
t
tenglamani va quyidagi boshlang‘ich shartni qanoatlantirsin:
),
(
|
0
0
x
u
u
t
bu yerda
0
, u
f
- berilgan funksiyalar.
Bu masalaga issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun Koshining
klassik masalasi deyiladi.
Agar
)
0
(
2
t
C
f
funksiya va uning barcha ikkinchi tartibigacha
hosilalari har bir
T
t
0
sohada chegaralangan,
)
(
0
n
R
C
u
funksiya
chegaralangan bo‘lsa, u vaqtda Koshining klassik masalasining yechimi
mavjud, yagona va quyidagi Puasson formulasi orqali topiladi:
t
R
t
a
x
n
R
t
a
x
n
n
n
d
d
e
t
a
f
d
e
u
t
a
t
x
u
0
)
(
4
|
|
4
|
|
0
2
2
2
2
(
2
)
,
(
)
(
2
1
)
,
(
. (1)
Quyidagi formuladan ham foydalansa bo‘ladi:
0
1
0
1
2
1
0
,
,...,
)
(
)!
1
2
(
1
,...,
)!
(
)
,
(
k
n
k
t
k
n
k
k
d
x
x
f
t
k
x
x
u
k
t
t
x
u
. (2)
Masala. u
t
=4u
xx
+t+e
t
,
u|
t=0
=2. Koshi masalasini yeching.
21
Ushbu misolni yechish uchun (1) formuladan foydalanamiz.
Bizning holimizda
2
a
,
2
)
(
0
x
u
,
t
e
t
t
x
f
)
,
(
- berilganlar. Shu
qiymatlarni (1) formulaga etib qo‘yamiz:
2
1
0
)
(
1 6
)
(
1 6
)
(
2
2
)
(
4
2
2
2
1
)
,
(
I
I
d
d
e
t
e
d
e
t
t
x
u
t
t
x
t
x
,
(3)
bu yerda
d
e
t
I
t
x
1 6
)
(
1
2
2
1
va
t
t
x
d
d
e
t
e
I
0
)
(
1 6
)
(
2
2
)
(
4
. Integralarni
alohida-alohida hisoblaymiz.
,
2
2
integrali.
Puasson
-
2
t
4
-
2
1
t
-4
t
4
-
x
kiritamiz,
belgilash
4
2
1
2
2
2
2
1 6
)
(
1
d
e
d
e
d
e
t
d
d
t
x
d
e
t
I
t
x
demak,
2
1
I
.
t
t
x
d
d
e
t
e
I
0
)
(
1 6
)
(
2
2
)
(
4
- bu integralni hisoblashda ham yuqoridagi
kabi fikr yuritib, hisoblashlarni bajaramiz va quyidagi natijani olamiz:
1
2
2
2
t
e
t
I
. Ikkala integralni etib (3) ga qo‘yamiz, natijada quyidagi
yechimni olamiz:
1
2
)
,
(
2
t
e
t
t
x
u
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
