Sh. Merajova

Mustaqil bajarish uchun mashqlar 

Quyidagi tenglamalarning umumiy yechimini toping. 

8. yu

xx

+(x-y)u

xy

-xu

yy

=0. 

9. x

2

u

xx

+2xyu

xy

-3y

2

u

yy

-2xu

x

=0. 

10. 

 x

2

u

xx

+2xyu

xy

+y

2

u

yy

=0. 

11. 

 u

xy

-xu

x

+u=0. 

12. 

 u

xy

+2xyu

y

-2xu=0. 

13. 

 u

xy

+u

x

+yu

y

+(x-1)u=0. 

14. 

 u

xy

+xu

x

+2yu

y

+2xyu=0. 

 

14 

3. Ikkinchi tartibli giperbolik turdagi differensial 

tenglamalarga qo‘yilgan Koshi masalasi 

Biror  fizik  jarayonni  to‘la  o‘rganish  uchun,  bu  jarayonni 

tasvirlayotgan  tenglamalardan  tashqari,  uning  boshlang‘ich  holatini 

(boshlang‘ich  shartlarni)  va  jarayon  sodir  bo‘ladigan  sohaning 

chegarasidagi holatini (chegaraviy shartlarni) berish zarurdir. 

Shunday  qilib,  aniq  fizik  jarayonni  ifodolovchi  yechimni  ajratib 

olish uchun qo‘shimcha shartlarni  berish zarurdir. Bunday qo‘shimcha 

shartlar boshlang‘ich va chegaraviy shartlardan iboratdir. 

 

Jarayon  sodir  bo‘layotgan  soha 

n

R

G



  bo‘lib, 

S

  uning  chegarasi 

bo‘lsin. 

S

 ni bo‘laklari silliq sirt hisoblaymiz.  

Differensial  tenglamalar  uchun, asosan,  3  turdagi  masalalar  bir  biridan 

farq qiladi. 

a) Koshi  masalasi.  Bu  masala,  asosan  giperbolik  va  parabolik 

turdagi tenglamalar uchun qo‘yiladi; 

G

soha butun 

n

R

  fazo bilan 

ustma ust tushadi, bu holda chegaraviy shartlar bo‘lmaydi. 

b)  Chegaraviy masala elliptik turdagi tenglamalar uchun qo‘yiladi; 

S

  da  chegaraviy  shartlar  beriladi,  boshlang‘ich  shartlar  tabiiy 

bo‘lmaydi. 

c) Aralash  masala  giperbolik  va  parabolik  turdagi  tenglamalar 

uchun  qo‘yiladi; 

n

R

G



  bo‘lib,  boshlang‘ich  va  chegaraviy 

shartlar beriladi. 

Har  qanday  masalaning  mohiyati  berilgan 





E



  funksyailarga 

asosan  uning 

u

E

u



  yechimini  topishdan  iboratdir,  bu  yerda 

u

E

  va 



E

  - 

metrikalari 

u



  va 





  bo‘lgan  qandaydir  metrik  fazolardir.  Bu  fazolar 

masalaning qo‘yilishi bilan aniqlanadi. Masalaning yechimi tushunchasi 

aniqlangan  bo‘lib,  har  bir 





E



  elementlar  yagona 

u

E

R

u





)

(



  yechim 

mos kelsin. 

 

15 

Agar 

0







 uchun shunday 

0

)

(







 sonni ko‘rsatish mumkin  bo‘lib, 

)

(

)

,

(

2

1















  tengsizlikdan 







)

,

(

2

1

u

u

u

  tengsizlik  kelib  chiqsa,  masala 







E

E

u

,

 fazolar juftida turg‘un masala deyiladi. 

Bunda 

)

(

i

i

R

u





, 

u

i

E

u



, 





E

i



, 

,...

2

,

1



i

  masalaning  yechimi  berilgan 

shartlar 

(boshlang‘ich 

va  chegaraviy  shartlar,  tenglamaning 

koeffisientlari, ozod hadi va h.k.) ga uzluksiz bog‘liq bo‘ladi. 

Agar tekshirilayotgan masala uchun ushbu 

1) ixtiyoriy 





E



 uchun 

u

E

u



yechim mavjud; 

2) 

u

 yechim yagona; 

3) masala 







E

E

u

,

 fazolar juftligida turg‘un shartlar bajarilsa, masala 







E

E

u

,

  fazolar  juftligida  korrekt  (to‘g‘ri)  qo‘yilgan  yoki 

to‘g‘ridan to‘g‘ri korrekt masala deyiladi. 

Aks  holda  masala  korekt  qo‘yilmagan  masala  deyiladi,  ya’ni 

yuqoridagi talablardan kamida bittasi bajarilmay qoladi. 

Yechim  boshlang‘ich  shartlarga  uzluksiz  bog‘liq  bo‘lmasligi  ham 

mumkin. 

 

3.1 Koshi masalalarini yechish 

Masala. Quyidagi Koshi masalasini yeching:  

xu

xx

-u

yy

+

2

1

u

x

=0 ; 

 

0

,

0

,

0

0











x

u

x

u

y

y

y

. 

Dastlab,  tenglamani  kanonik  ko‘rinishga  keltiramiz. 

22

11

2

12

a

a

a







 

ifodaninig  qiymatini  hisoblaylik. 

x





,   

0



x

bo‘lgani  uchun  tenglama 

giperbolik. Yangi 



 va 



 o‘zgaruvchilkarga o‘tamiz : 

y

x





2



, 

y

x





2



 almashtirish yordamida berilgan tenglamani kanonik 

ko‘rinishga keltiramiz. Kanonik ko‘rinishi quyidagicha: 

0





u

.  Berilgan 

tenglamaninig umumiy yechimi : 



 



y

x

g

y

x

f

y

x

u









2

2

)

,

(

. 

 

16 

Bu  yechimlar  orasidan  Koshi  shartlarini  qanoatlantiruvchi  yechimni 

topamiz. Bu uchun quyidagi tenglamalar sistemasini yechamiz : 

   

 

 

















0

2

'

2

'

2

2

x

g

x

f

x

x

g

x

f

y

y

. 

Natijada 

   

2

2

2

x

x

g

x

f





  yechimlarni  olamiz,  shu  natijalarni  keltirb 

umumiy  yechimga  qo‘ysak,  Koshi  masalasining  yechimini  olamiz : 

x

2

|

y

|

   

0,

   x

,

4

)

,

(

2









y

x

y

x

u

. 

 

Mustaqil bajarish uchun mashqlar 

Quyidagi Koshi masalalarini  yeching :  

1.  u

xy

=0 ; 

 

1

,

,

0

2

2











x

x

u

u

x

y

y

x

y

. 

2.  u

xy

+u

x

=0 ; 

 













x

u

x

u

x

y

x

x

y

1

,

sin

. 

3.  u

xx

-u

yy

+2u

x

+2u

y

=0 ; 

 













x

u

x

u

y

y

y

,

0

,

0

0

. 

4.  u

xx

-u

yy

-2u

x

-2u

y

=4; 

 

















y

y

u

y

u

x

x

x

,

1

,

0

0

. 

5.  u

xx

+2u

xy

-3u

yy

=2; 

 















x

x

x

u

u

y

y

y

,

cos

,

0

0

0

. 

6.  u

xy

+yu

x

+xu

y

+xyu=0 ; 

 

1

,

,

0

2

5

3

3













x

e

u

u

x

x

y

y

x

y

. 

7. xu

xx

+(x+y)u

xy

+yu

yy

=0 ; 

 

0

,

2

,

2

1

3

1











x

x

u

x

u

x

y

x

x

y

. 

8.   u

xx

+2(1+2x)u

xy

+4x(1+x)u

yy

+2u

y

=0 ; 

  













y

u

y

u

x

x

x

,

2

,

0

0

 

 

17 

9.  x

2

u

xx

-y

2

u

yy

-2yu

y

=0 ;   

 

0

,

,

1

1











y

y

u

y

u

x

x

x

. 

10. 

x

2

u

xx

-2xyu

xy

-3y

2

u

yy

=0 ; 

 

0

,

,

0

4

7

1

1











x

x

u

u

y

y

y

. 

11. 

 yu

xx

+x(2y-1)u

xy

-2x

2

u

yy

-

0



x

u

x

y

 

 

0

,

1

,

0

2

0











x

u

x

u

y

y

y

 

12. 

 yu

xx

-(x+y)u

xy

+xu

yy

=0 

 

0

,

,

0

2

0











x

x

u

x

u

y

y

y

 

13. 

 u

xy

+2u

x

+u

y

+2u=1, 0; 

  

x

u

x

u

y

x

x

y

x













1

1

,

 

14. 

 xyu

xy

+xu

x

-yu

y

-u=2y,   0



 

 

1

,

1

1

1













x

u

y

u

xy

y

xy

 

15. 

 















y

x

u

u

y

x

u

y

x

xy

,

0

,

2

)

(

1

 

 

x

u

x

u

x

y

x

x

y











1

,

2

 

16. 

 

1

2

,

1

,

0

2

2



















y

x

y

x

u

y

u

x

u

u

y

x

yy

xx

 

)

2

,

0

(

),

2

,

0

(

),

(

)

(

1

1

2

0

1

1

0

1

C

u

C

u

x

u

u

x

u

u

y

y

y













 

17. 

 

















y

x

x

u

e

u

yy

x

xy

,

,

4

2

 

 

1

,

cos

2

5











x

u

x

x

u

x

y

y

x

y

 

 

3.2 Koshining klassik masalasi 

)

0

(

)

0

(

1

2







t

C

t

C

  sinfdan  shunday 

)

,

( t

x

u

  funksiya  topilsinki,  bu 

funksiya 

0



t

 da  

)

,

(

2

t

x

f

u

a

u

tt







  

tenglamani va quyidagi boshlang‘ich shartlani qanoatlantirsin: 

),

(

|

0

0

x

u

u

t







),

(

|

1

0

x

u

u

t

t







 

Bu yerda 

1

0

,

,

u

u

f

 - berilgan funksiyalar. 

 

18 

Bu masalaga Koshining klassik masalasi deyiladi. 

Agar quyidagi shartlar bajarilsa,  

),

0

(

1





t

C

f

 

)

(

1

2

0

R

C

u



, 

)

(

1

1

1

R

C

u



, n=1; 

),

0

(

2





t

C

f

 

)

(

3

0

n

R

C

u



, 

)

(

2

1

n

R

C

u



, n=2,3; 

u vaqtda Koshining klassik  masalasining yechimi  mavjud, yagona 

va quyidagi formulalar orqali topiladi: 

Dalamber formulasi bilan, agar n=1 bo‘lsa: 





 



























t

t

a

x

t

a

x

a t

x

a t

x

d

d

f

a

d

u

a

at

x

u

at

x

u

t

x

u

0

)

(

)

(

1

0

0

)

,

(

2

1

)

(

2

1

)

(

)

(

2

1

)

,

(

















.                       (1) 

Puasson formulasi bilan, agar n=2 bo‘lsa: 



















 











at

x

t

t

a

x

x

t

a

d

u

a

x

t

a

d

d

f

a

t

x

u

|

|

2

2

2

1

0

)

(

|

|

2

2

2

|

|

)

,

(

2

1

|

|

)

(

)

,

(

2

1

)

,

(































                                                                                                     

















a t

x

x

t

a

d

u

t

a

|

|

2

2

2

0

|

|

)

,

(

2

1













.                                                                    (2) 

Kirxgof formulasi bilan, agar n=3 bo‘lsa: 































































at

x

at

x

at

x

dS

u

t

t

a

dS

u

t

a

d

a

x

t

f

x

a

t

x

u

|

|

0

2

|

|

1

2

)

|

|

2

)

(

1

4

1

)

(

4

1

|

|

,

|

|

1

4

1

)

,

(

























.        (3) 

2



n

 bo‘lganda ushbu formulalarning o‘rniga quyidagi formuladan ham 

foydalansa bo‘ladi:  























































0

1

0

1

2

2

1

1

2

1

2

1

0

2

2

,

,...,

)

(

)!

1

2

(

,...,

)!

1

2

(

,...,

)!

2

(

)

,

(

k

n

k

t

k

k

n

k

k

k

n

k

k

k

d

x

x

f

t

k

a

x

x

u

a

k

t

x

x

u

a

k

t

t

x

u







,   

(4) 

bu yerda 



 - Laplas operatori bo‘lib, 

,...

2

,

1

,

0



k

marta mos ravishda 

f

u

u

,

,

1

0

 - 

funksiyalarga qo‘llanilgan.