4-Ma’ruza Birinchi tartibli bir jinsli tenglamalar. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar. Bernulli tenglamasi. To’la differensialli tenglamalar

---

1 

 

4-Ma’ruza 

Birinchi tartibli bir jinsli tenglamalar. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar. 

Bernulli tenglamasi. To’la differensialli tenglamalar.  

 

Ma’ruza rejasi:  

1. Birinchi tartibli bir jinsli tenglamalar.  

2. Bir jinsliga keltiriladigan tenglamalar. 

3. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar. 

4. Bernulli tenglamasi.  

5. To’la differensialli tenglamalar.  

 

Birinchi tartibli bir jinsli tenglamalar.  Birinchi tartibli bir jinsli tenglamalar o’zgaruvchilari 

ajraladigan tenglamaga keltiriladi. 

1-Ta’rif.  Agar 

         funksiyaning  har  bir  argumenti  ixtiyoriy     o’zgarmasga 

ko’paytirilganda funksiyaning o’zi 

 

 

 ifodaga ko’paytirilsa, ya’ni 

                   

 

        

tenglik o’rinli bo’lsa, 

        funksiya    tartibli bir jinsli funksiya deb ataladi. 

 

Masalan, 

            

 

   

 

  funksiya  uchinchi  tartibli  bir  jinsli  funksiya  bo’ladi, 

chunki 

                          

 

      

 

   

 

   

 

   

 

     

 

         

2-Ta’rif. Agar 

 

 

                                                                 (1) 

tenglamada 

        funksiya nolinchi tartibli bir jinsli funksiya bo’lsa, (10) tenglama bir jinsli 

differensial tenglama deb ataladi. 

 

(1) tenglamani 

                                                                            (2)     

ko’rinishda yozish mumkinligini ko’rstamiz.  

►Agar 

        nolinchi tartibli bir jinsli funksiya bo’lsa, ta’rifga ko’ra 

           

 

                        

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglikda  

        deb olsak 

            (

 

 

 

 

 

)     (  

 

 

)     (

 

 

)  

    nisbatning funksiyasini hodil qildik.◄ 

 

(2) bir jinsli tenglama 

                                                                             (3) 

𝑦

 

  𝑔 (

𝑦

𝑥

)

 

---

2 

 

almashtirish yordamida o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltiriladi. 

 

Haqiqattan ham, 

       va  

 

   

 

      ifodalarni (2) tenglamaga qo’ysak 

 

 

             

tenglama hosil bo’ladi. Hosilaning boshqa belgilanishidan foydalansak, 

   

  

  

           

o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz. Uning umumiy yechimini (yoki umumiy 

integralini)  topib,  topilgan  yechimda 

   o’zgauvchi  o’rniga       nisbatni  qo’ysak,  dastlabki 

berilgan tenglamaning umumiy yechimini (integralni) topamiz. 

1-Misol. Koshi masalasini yeching: 

  

  

 

 

 

(       (

 

 

))  

          

►O’zgaruvchilarni almashtiramiz: 

   

    

 

 

       

  

  

   

  

  

     

ularni berilgan tenglamaga qo’yamiz: 

 

  

  

                   

Uni ixhchamlab, o’zgaruvchilarni ajratamiz: 

  

      

 

  

 

 

va integrallaymiz 

 

  

      

   

  

 

  

 

       

    

   

  

 

  

Integrallarni topamiz: 

  |    |     | |        yoki |    |      

bundan esa 

     

  

 tenglikni hosil qilamiz. Endi dastlabki 

  o’zgaruvchiga qaytamiz: 

 

 

   

  

 

Natijada 

      

  

  berilgan  differensial  tenglamaning  umumiy  yechimini  hosil  qildik. 

Boshlang’ich  shartni  inobatga  olgan  holda 

   o’zgarmasning  qiymatini  topamiz.           

  

, 

     , ya’ni qidirilayotgan xususiy yechim       

 

 bo’ladi.◄ 

 

 

Bir jinsli tenglama ba’zan 

                                                                   (4)  

---

3 

 

differensial shaklda ham beriladi. Agar 

        va         funksiyalar bir xil tartibli bir jinsli 

funksiyalar bo’lsa (4) tenglama bir jinsli bo’ladi. 

 

(4) tenglamani 

  

  

   

      

      

 ko’rinishda  yozib  olib,  yuqoridagi almashtirishni bajarsak 

 

 

    (

 

 

) tenglamani hosil qilamiz. 

2-Misol.  

 

 

   

 

                tenglamaning umumiy integralini toping. 

►Tenglamani (1) ko’rinishda yozib olamiz: 

 

 

 

 

 

   

 

   

  

O’ng tomondagi kasrning surat va maxrajini 

 

 

 ifodaga bo’lamiz 

  

  

 

(

 

 )

 

   

   

 

 

 

natijada (2) shakldagi tenglama hosil bo’ldi. (3) almashtirishni olamiz: 

   

 

 

 

       

  

  

   

  

  

    

va ularni so’ngi tenglamaga qo’yamiz 

 

  

  

     

 

 

   

  

  

Uni ixchamlab, o’zgaruvchilarni ajratsak 

  

 

   

  

     

 

   

tenglamaga ega bo’lamiz. Uni integrallasak 

  | |             

 

          yoki    | |         

 

          

tenglik  hosil  bo’ladi  va  dastlabki 

   o’zgaruvchiga  qaytib,  so’ngra  ixchamlasak,  berilgan 

tenglamaning 

 

 

   

 

     umuiy integralini hosil qilamiz.◄