4-Ma’ruza Birinchi tartibli bir jinsli tenglamalar. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar. Bernulli tenglamasi. To’la differensialli tenglamalar

Bir jinsliga keltiriladigan tenglamalar. 

 

 

 

    (

       

 

 

   

 

   

 

)                                                           (5)   

tenglama  bir  jinsliga  keltiriladigan  tenglama  hisoblanadi,  bu  yerda 

          

 

   

 

   

 

  

o’zgarmas  sonlar.  Bu  tenglamani  bir  jinsliga  keltirish  uchun 

         ,             tenglik 

orqali  yangi 

   va     o’zgaruvchilar  kirirtiladi,  bu  yerda     va     sonlar  bo’lib,  ular  yuqorida 

berilgan  tenglama  bir  jinsli  bo’ladigan  qilib  tanlanadi.  Buning  uchun 

       ,          

tengliklarni va yuqoridagi almashtirishlarni (5) tenglamaga qo’yamiz: 

---

4 

 

  

  

 

  

  

    (

                     

 

 

     

 

     

 

     

 

     

 

)     (

                     

 

 

     

 

     

 

     

 

     

 

)  

  va   sonlarni 

{

                    

 

 

     

 

     

 

                                                (6) 

bo’ladigan qilib tanlaymiz. Natijada so’ngi tenglama bir jinsliga aylanib, 

  

  

    (

       

 

 

     

 

 

) 

ko’rinishni  oladi.  Uni  yechib 

         ,             formulalar  orqali  dastlabki     va    

o’zgaruvchilarga qaytsak (5) tenglamaning umuiy yechimini (integralini) hosil qilamiz. 

 

Agar 

|

 

 

 

 

 

 

|     

bo’lsa (6) sistema yechimga echimga ega bo’lmaydi. Biroq bu holda 

 

 

      

 

      , ya’ni 

 

 

     va  

 

     bo’ladi. Shuning uchun bu holda (5) tenglama 

 

 

    (

           

              

 

) 

ko’rinishni  oladi.  Bu  tenglamada 

             almashtirish  olsak,  u  o’zgaruvchilari 

ajraladigan tenglamaga aylanadi. 

 

Haqiqattan ham, 

  

  

       

  

  

 

va bundan 

  

  

 

 

 

  

  

 

 

 

  

Ularni yuqorida hosil qilingan tenglamaga qo’ysak, uning o’zgaruvchilari ajraladi: 

 

 

  

  

 

 

 

    (

     

      

 

)  

3-Misol.  

                                   tenglamaning umumiy integralini toping. 

►Tenglamani  

 

 

 

          

          

 

ko’rinishda yozib olamiz. 

         ,           deb yangi   va   o’zgaruvchilar kirirtamiz. U 

holda 

                 va ularni tenglamaga qo’yamiz: 

 

 

 

  

  

 

  

  

 

                   

                   

 

                     

                     

  

  va   noma’lumlarni 

{

              

               

bo’ladigan qilib tanlaymiz. 

 

So’ngi sistemani yechib 

              qiymatlarga ega bo’lamiz. Natijada tenglama 

  

  

 

      

      

 

---

5 

 

ko’rinishni oladi va u bir jinsli bo’ladi. Yuqoridagidek singari, 

       almashtirish yordamida 

hosil  qilingan  bu  bir  jinsli  tenglama  yechiladi.  So’ngra 

   va     o’zgaruvchilar  o’rniga  mos 

ravishda 

       va         ifodalarni  qo’yib,             

 

            berilgan  tenglamaning 

umumiy integralini topamiz.◄