|
И сбот. Аввал индукция методини қўллаб, ихтиёрий
п
учун
х„
ни қуриш мумкинлигини,
х п
нинг (3.5) оралиқда ётишлиги ва
\хп+х
—
х п\
<
7
]<уя
(
3
.
9
)
тенгсизликнинг бажарилишини кўрсатамиз.
Агар
п
= 0 бўлса,
х х =
с?(х0) бўлгани учун (3.9) тенгсизлик
(3.7) дан келиб чиқади.
Бундан ташқари,
у
\
<
<
8
бўлгани учун
\хх
— лг0| <
8
тенг-
сизлик бажарилиб,
х г
(3.5) оралиқда ётади. Энди фараз қилайлик,
х и х 2,
. . . ,
х п
лар қурилган бўлиб, улар (3.5) оралиқда ётсин
ва
\Хк
+1
—
хк\
< 7]<76
{к
= 0, 1, . . . ,
п
— 1)
тенгсизликлар бажарилсин. Индукция шартига кўра
х п
(3.5) да
ётади, ср (л:) (3.5) да аниқланган, шунинг учун ҳам
х
п + 1
= <р (
х
п)
ни қуриш мумкин. Теореманинг 1-шартидан
\х
п + 1
— х п\
= |<р
(хп)
— ср ( * „ -
1
)| <
д\хя
— Хп-
1
\
келиб чиқади. Лекин
х
п - 1
ва
хп
учун индукция шартига кўра
\хп
—
хп- Х\
< эд
" - 1
ўринли, демак, |х
„+1
—
х п\
< т )
9
л. Бу эса
х
п + 1
ва
х п
учун (3.9) тенгсизликнинг бажарилишини кўрсатади. Ниҳоят,
|^п
+1
—
Хй\
<
\х
п + 1
—
Хп\
+
\ХП
—
Хп-\\
+ . . . + | + —
Х(\
<
<
'ЧЯя
+ . . . + ■»1 = 7] .1~ ? п+1 < —
< 8
1
—ч
1
—Ч
муносабатлар
х п+\
нинг (3.5) оралиқда ётишини кўрсатади. Ш у
билан исбот қилиниши талаб этилган мулоҳаза тасдиқланди.
Энди {
х
п} нинг фундаментал кетма-кетлик ташкил этишини кўр-
сатамиз. (3.9) тенгсизликка кўра ихтийрий
р
натурал сон учун
\хп+р — х л\
< |х п+р
—
х п\
+ . . . + \х
„ + 1
—
х п\
<
< 7]
дп+Р~1
+ . . . + т)
< —— <
7
"
1
—?
ёки
\хп+р- х п\ < - ± д " .
(3.10)
1
—?
Бу тенгсизликнинг ўнг томони
р
га боғлиқ бўлмаганлиги ва 0 <
< <
7
<
1
бўлганидан {х„} кетма-кетликнинг фундаменталлиги ва
унинг лимити |=Н ш
х п
мавжудлиги келиб чиқади.
{хп}
кетма-кет-
П-УОО
>
лик (3.5) оралиқда ётгани учун
I
ҳам шу оралиқда ётади.
(3 .6 )
шартдан ®
(х)
нинг узлуксизлиги келиб чиқади, шунинг учун ҳам
х
п + 1
=
9
(х„)
тенгликда лимитга ўтиб, | (3.1) тенгламанинг илди-
зи эканини исбот қиламиз.
Энди
I
илдизнинг (3.5) оралиқда ягоналигини исботлаймиз. Фа-
раз қилайлик, | (3.1) тенгламанинг (3.5) оралиқдаги бошқа бирор
-4°
www.ziyouz.com kutubxonasi
илдизи бўлсин,
га кўра
ё, эканини кўрсатамиз. Ҳақиқатан ҳам, (3.6)
- <р (
1)1
< ? |
1— 1\,
0
< ? <
1
бўлгани учун бу мунссабат фақат
I
= £ бўлгандагняа
бажарилади.
Яқинлашиш тезлигини кўрсатувчи (3.8) тенгсизликни келтириб
чиқариш учуч (3.10) тенгсизликда
р
оо
лимитга ўтиш кифоя-
дир. Теорема исбот бўлди.
Изоҳ. Одатда, итерация методипи қўллаётганда иккита
х п _ ,
ва
х п
кет-
ма-кет яқинлашишлар берилган аниқлик билан устма уст тушса, шу аниқлик
билан
Ч ^ х п
деб олинади Умуман олгапда, бу фикр нотў^ридир Масалан,
х —
0,999л: тенглама!!и ьарайлик. Бу ерда ср (де) = 0.999лг, лабки яқинлашиш
х а
ни
1
га тенг деб олиб, бу тенгламани итерация метс ди
билан ечамиз. У ҳолда
х ,
—
0,999 ва
х п
—
х ,
= 0,001 бўлади, бу тенгламанинг
аниқ илдизи £ = 0 эса
х ,
дан 0,999 га фарқ қилади.
Юқорида айтилган фикрни ([акат |
у'(х)\
<
<7
бўлиб,
д
бирдан анча кичик
бўлгандагина қўллаш мумкин. Бунинг тўғрилигини
<7
<
_
1
_
2
бўлганда қуйида-
гича кўрсатиш мумкин. Бунинг учун
/ ( х )
=
х
— <р
(х)
деб оламиз, у ҳолда
/(£ ) = 0 ва
/ ' ( х ) —
1 —
<р'(х)
> 1 — \хп —
Ч ( х п)\ = \ / ( х п ) — / ( ^ 1 ~ \х п
— £\
[/'(6я)1 > (1 —
я ) \ х п ~ ~
£|
$
( х п>
£))>
демак
\хп
^ ^
\х п
Ч ( х п )
1
1
—Ч
ва (3.6) га к^ра
I
Х п
—
ср
( х п)\ =
|<р
( х п _ , )
—
( х п )\ < д \ х п — Х п _ гу
Бу тенгсизликлардан эса
.
Я
ҳосил бўлади. Агар, хусусий ҳолда,
<7
< -^- Деб олсак,
|ь
х п \
<
\ х п
х п_,\
-
бўлади, яъни бу ҳолда
\ х п
—
х п _ , \ < ь
дан | £ —
х п
| < е келиб чиқади.
М и с о л. Итерация усули билан
/ ( х ) = х* —
80х + 32 = 0
(3.11
тенгламанинг мусбат илдизлари 5 та ишончли ракам билан топилсин.
Е ч и ш. Штурм методиии кўлла'\ бу тенгламанинг мусбат илдизлари
ва
Чч
ларнинг мос равишда (0; 0,5) ва (8,5; 9) оралиқларла ётишини кўрамиз.
Итерация методини қўллаш учуи (3.11) тепгламани каноник кўринишда ёзиш
керак. Буни кўп усуллар билан бажариш мумкин. Лекин ҳар доим ҳам каио-
ник кўринишдаги
у ( х )
функция георема шартини камоаглантиравермайди.
(
3
.
11
) тенгламаки унга эквивалент бўлгак, масалан, қуйидаги уч хил кўри-
нишда ёзиш мумкин:
х = х 3
— 79х + 32 = (р/л:)
(3.12)
41
www.ziyouz.com kutubxonasi
®ки
* з + Э
2
еки
* =
ў
80* — 32 г <Р
з
(
аг
).
(3.13)
(3.14)
Ҳар иккала илдиз атрофида ҳам
чч(х)
лар ҳосилага эга бўлгани учун тео-
ремадаги (3.6) шартни | <р/(л:)| < ди <рг(х) ларнинг қайси бири теорема шартини қаноатлантиришини кўрайлик,
<р,'(х) = З
а
:3
— 79 бўлгани учун ҳар иккала илдиз атрофида ҳам
\ у
1
(х)\
> 1,
демак (3.12) тенглама учун итерация жараёни уЗоқлашади. Энди (3.13) тенг-
дамани текширайлик, <р'
2
(л:)= 5^!. Бундан (0; 0.5) сралиқда |<р'
2
(л:)| <
~ г
=
о 0
о 2
0
«=<
7
<
эканлигини кўрамиз, яъни
ни топиш учун (3.13) тенгламага ите-
рация методини қўллаш мумкин. Дастлабки яқинлашишни
х 0 =
0,5 Деб олиб,
кейинги тўртта яқинлашишни ҳисоблаймиз:
Х \
(0,5
)3
+ 32
!
80
0,4015625; лг
2
= 0,4008094; лг
3
= 0,40080487;
л
:4
= 0,40080483.
Демак, 5 та ишончли рақами билан ^ = 0,40080 деб олишимиз мумкин.
Табиийки, (3.13) тенгламада иккинчи илдизни ҳам итерация методи би-
лан топишга ҳаракат қиламиз. Лекин бу мумкин эмас, чуики (8,5; 9) оралиқ
учун
\
2
'(х)\
<
д <
1 шарт бажарилмайди. Шунииг учун ҳам (3.14) тенгламани
текшириб кўрайлик:
<Рз'(*) =
_____ 80_____
3 ^ (8 0 * — 32)2
Бундан кўрамизки, (8,5; 9) оралиқда |<р'(л")|< — < —, шу
сабабли (3.14)
тенгламадан
ни топишимиз мумкин.
Нолинчи яқинлашишни
х 0 =
9 деб оламиз, кейинги яқинлашишлар 2-жад-
валда келтирилган. Демак, 5 та ишончли раками билан олинган қиймат
=
= 8,7371 га тенг бўлади.
2- жадвал
1
п
хп
0
9
1
8,828
0
8,7688
3
8,7483
4
8,7412
5
8,7386
6
8,7376
7
'8,7373
8
8,7372
9
8,7371
10
8,7371
42
www.ziyouz.com kutubxonasi
Итерация методи яқинлаши-
у
шини тезлаштиришнинг бир усу-
ли
ҳақида. Итерация методининг
яқинлашиши ёки узоқлашиши
\
илдизнинг кичик атрофида ф'(Х)
ҳосиланинг
қийматига
боғлиқ
эканлигини юқорида кўрган эдик.
Лекин Ж . X. Вегстейн 1958 йил-
да итерация методини шундай
________
ўзгартиришни таклиф қилган эди-
0
хп+< $
2п
ки, буни қўллаганда ср'(Х) нинг
қиймати ҳар қандай бўлганда
10
-чизма,
ҳам итерация жараёни яқинлаша-
ди. М абодо |ср/ ('д :)|< 1 тенгсизлик бажарилса, у вақтда оддий
итерация жараёнига нисбатан Вегстейн жараёни тезроқ яқин-
лашади.
.
Вегстейн усули
\ я /
в
/
1
>4,
/
1
\с
!
___ ___
1
X
л: = ф (х )
(3.15)
формуладан топилган
х
п + 1
ни
г
п + 1
=
2
„ +
(1
—
ч)х
п + 1
(3.16)
формула ёрдамида
г
п + 1
билан алмаштиришдан иборат бўлиб, бун-
да
<7
— керакли равишда танлаб олинган миқдордир.
<7
нинг қийма-
тини аниқлаш учун
10
- чизмадан фойдаланамиз.
Фараз қилайлик,
х п+г
(3.15) формула ёрдамида
г п
орқали топил-
ган бўлсин, яъни
х п+\
=
+ ( гп).
У вақтда
А
ва
В
нуқталарнинг
координаталари мос равишда
(гп,
ф
( г п))
ва
(хп+и
*п+
1
) бўлади.
Бундай ҳолда
г п+:
учун энг қулай қиймат
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
