|
М
нуқтанинг абсцис-
сасидир. Уни топиш учун
АВ
кесма устида
С (гп+и х п+
1
)
нуқта-
ни оламиз. Энди (3.16) нинг ҳар иккала томонига
— дгп — (1 —
—
д)г
п + 1
ни қўшиб,
Я {Ап
^я
+ 1
)
(1
?)(^п
+ 1
•Я-я+с)
(3.17)
ни ҳосил қиламиз. Чизмадан фойдаланиб, (3.17) ни
? Л С = - ( 1 - ? ) Я С
(3.18)
кўринишида ёзишимиз ва
В С ^ М С ^ - А С - ч ' ( х п), (
(3.19)
тенгдикларнинг ўринли эканлигини кўришимиз мумкин, бу ерда
х
п + 1
< х п< г п.
Я
нинг тақрибий қийматини топиш учун <р
'(хп)
ни
равишда қуйидагича алмаштирамиз:
^
~ & П- 0
хп+X - хп
т
\ х п )
—=
^
^
7
777
*
гп-1
хп
гп-Х
(3.18) — (3.20) лардан
тақрибий
(3.20)
43
www.ziyouz.com kutubxonasi
'Ч
\ - ч
вс
АС
- ¥ ( х п)
х п+1
х п
гп ~ гп-1
ни ҳосил қиламиз ва
д
нинг тақрибий қийматини топамиз:
'п+1
1
я
+1
—
х п
+
г п-
п
ч
(3.16) ва (3.21) формулалардан кўрамизки,
(3.21)
2
’
я
+1
— ^л
+1
(•*л
+1
х п)(х п +
1
г п)
х п
+ 1
гп
+
г п —
1
х п
(3.22)
Бу формула
х п+\
ўрнида ишлатиладиган
г п+х
нинг қийматини бе-
ради. Вегстейн усулини амалда қўллаш учун илдизнинг нолинчи
яқинлашиши
х 0
га бир марта оддий итерацияни қўллаш керак.
Бу биринчи қадамдан сўн гд
:„+1
ни топиш учун эса (3.15) форму-
лани
х
п+1
= ф (гл) кўринишда қўллаймиз. Биз бу ерда бу жараён-
нинг оддий итерация жараёнига нисбатан тезроқ яқинлашишики
қатъий равишда асослаб ўтирмасдан мисол келтириш билан чегара-
ланамиз.
М и с о л . Ушбу
/ ( х ) — х 3
х
—
1000
=
0
теигламанинг энг катта мусбат илдизи Ш
~ 10
аниклик билан топилсин. Из-
ланаётган илдязнинг нолинчи яқинлашиши сифатида
+ 0= 1 0
ни олишимиз
мумкин. Бу тенгламани
х =
1000
—
х 3
(3 23)
кУринишда ёзиб оламиз. Бу ҳолда
у'(х) = — Зх1
*
ва <р'(10) = — 300 булади;
Демак, (3.23) тенгламага оддий итерацияни қўллаб бўлмайди. Бу тенгламанннг
ечимини Вегстейн усули билан топилган кетма-кет яқинлашишлари Ю
-10
аниқлик билан 3- жадвалда келтирилган.
3- жадвал
п
хп
4
-
1
“ ? (
гп )
гп
хп
+1
” т
(хп
)
0
10
*10
10
1
0
*0
0
2
1000
9,9
—
1000
3
29,7
10,1
—999000
4
—30,3010
9,9658
—9/8.10
18
5
10,2310
9,966655
•'
6
9,97016
9,66667791
7
9,966666
9,966666790
8
9,4666667906
9,96666679061
9
9,9666667906
9,96666679061
Бу жадвалпинг учинчи устуиида (3.22) формула ёрдамида топилган
г
лар
келтирилгап, охиргп усгун эса оддий итерация усулининг узоқлашишини.
кўрсатиш учун келтирилган. Юлдузча билан белгиланган қийматлар иккинчи
устундаги мос қийматлар билан устма-уст тушади, чунки Вегстейн усулини
қўллаш учун
п > 2
бўлиши керак,
”
44
www.ziyouz.com kutubxonasi
Ҳисоблаш
хатосининг
итерацион жараённинг яқинлаши*
шига таъсири.
Биз олдинги пунктларда итерацион жараённинР
идеал моделини кўриб чиққан эдик. Бу моделда {.*;„} кетма-кетлик-
нинг барча элементлари абсолют аниқ ҳисобланган деб фараз қи-
линган эди. Аслида эса қўлда ҳисобланаётганда ҳам, машинада
ҳисобланаётганда ҳам, биз амалларни чекли мнқдордаги рақамлар
устида бажарамиз. Бунинг натижасида, яъни яхлитлаш ҳисобидан,
ҳисоблаш хатоси келиб чиқади. Итерациянинг биринчи қадами-
да
х г =
ф
(
х
0) ўрнига унга яқинроқ бўлган
х х
ни ҳосил қиламиз.
Бу ерда
х г
— л
:0
=
70
ҳисоблаш хатоси ҳосил бўлади. Иккинчи қа-
дамда эса хато икки сабабга кўра ҳосил бўлади: биринчидан
Ф(х)
функцияда
х {
ўрнига
х {
қўйилади, иккинчидан
ф
(
яҳ
) яхлит-
лаш хатоси билан ҳисобланади. Демак, топилган
х 2
қиймат фақат
тақрибий равишда ф(х4) га тенг: X; = ф(х
1
) ~Ь Ть Т
1
—Ҳисоблаш ха-
тосидир.
Шундай қилиб, итерация методини қўллаётганда
х
п+1
= Ц>(хп}
(п =
0
,
1
,
2
. . . .) кетма-кетлик ўрнига
Хп
+ 1
= (р(х
п)
+ т«, (« = 0, 1, 2, . . .)
кетма-кетликка эга бўламиз, бу ерда у,, — ҳисоблаш хатоси.
Юқорида исбот қилинган теореманинг хулосаси
{х,,}
кетма-
кетликка тааллуқли бўлгани учун, агар.биз қўшимча шарт қўйма-
сак, бу хулоса
{хп}
кетма-кетлик учун ўринли бўлмайди, ҳатто бу
кетма-кетлик | илдизга яқинлашмаслиги ҳам мумкин. Шунинг учун
қуйидаги теоремани исбот қиламиз.
2- теорем а. Фараз қилайлик,
ф
(
л
:) дастлабки яқинлашиш
х 0
ва
х
п+1
=
ч(хп)
+ т„,
Х0 = х 0,
п =
0, 1, 2, . . .
(3.24)
тенгликлар билан аниқланган
{хп}
кетма-кетлик қуйидаги шартлар-
ни қаноатлантирсин:
1
)
ф
(
гс
) функция
\х
— х 0\
< 5
(3.25)
оралиқда аниқланган бўлиб, бу оралиқдан олинган ихтиёрий икки-
та х ва
у
нуқталар учун
|Ф
(х)
— ф (у)| <
д\х — у\
(
0
< <
7
< 1)
(3.26)
тенгсизликни қаноатлантирсин;
2
)
сонлар учун
'
] Т п К т ^ .
( 0 < ^ ^ 1 ) , л = 0 , 1, 2 , . . .
(3.27)
4Э
www.ziyouz.com kutubxonasi
тенгсизликлар ўринли бўлсин;
3) қуйидаги
'
|х 0 -
ф
(
х
0)|
(З-28)
тенгсизликлар бажарилсин. У ҳолда
1) д: =» ф(д:) тенглама (3.25) оралиқда ягона | ечимга эга,
:
2
) агар
0 < ^ < 1
бўлса,
{хп}
кетма-кетлик
I
га яқинлашади,
3) агар
цх
=
1
бўлса,
х п
миқдорлар
К - £ | < Г =
7
(Т + ^ л)
(3.29)
тенгсизликни қапоатлантиради.
И сбот. Теореманинг биринчи тасдиғи 1 - теоремадан келио чи-
қади. Қолган тасдиқларни исботлаш учун биз
^
т
\хт —
т
2
<
7
т _ ' ?
1/_1
(т
= 1, 2, . . .)
(3.30)
тенгсизликларнинг ўринли эканлигини кўрсатамиз.
Аввал шуни таъкидлаб ўтиш керакки, агар
х т
(3.30) тенгсиз-
ликни қаноатлантирса, у (3.25) оралиқда ётади.
Ҳақиқатан қам, (3.30) дан 0 < ^ < 1 ни ҳисобга олиб,
•-
/л
\хт ~ Хт
I
2
Ят- 1
<
(3.31)
1
=1
4
га эга бўламиз.
1
-теоремани исэот қилиш жаразнида
\хт —
+ 1 < т 4 +
(3-32)
ни келтириб чиқарган эдик. Кейин бу тенгсизликлардан ва (3.28)
дан
.
\хт
—
х 0\
<
\хт
—
х т\
+
\хт
—
х 0\
< уЭ— +
8
келиб чиқади.
Энди биз (3.30) тенгсизликни исбот қилишга ўтамиз, бунинг
учун математик индукция методини қўллаймиз. (3.24) ва (3 .2 7 )
дан
п —
0
бўлганда
( + — + | = |Т о !< Т
•
келиб чиқади, бу эса (3.30) нинг
т =
1 бўлганда ўринли эканли-
гини кўрсатади, Энди фараз қилайлик, (3.30)
т
=
п
бўлганда
ўринли бўлсин, унинг
т = п
+
1
бўлганда ҳам ўринли бўлишини
кўрсатамиз. (3.24) дан д
:„+1
=
ц>(хп)
ни айириб,
Хп
+ 1
—
Х
п + 1
=
<р(х„)
—
<р(х„)
+
•46
www.ziyouz.com kutubxonasi
пи ҳосил қиламиз.
х п
ва
х п
лар (3.25) оралиқда ётади, шунинғ
учун ҳам (3.26), (3.27) ва (3.30) тенгсизликларда
т
=
п
деб
олиб,
\х
п + 1
— Хп+х\
< | ?(£„) — ф(х„)| + | т п| < ? К — ^ Л| + ТГ9"<-
: т ? 2
<г
1=1
,п—
1 /у1
—1
41
п+1
+ т
я1
= т 2
чп+1~1 ч\~1
■
(= 1
п
ии ҳосил қиламиз.
Демак, (3.30)
т — п
+ 1 учун тўғри экан. Энди теореманинг
2 ),3)- тасдиқларини исбот қиламиз. (3.8) ва (3.30) тенгсизликлар-
га кўра
К - | | < | х „ - х „ | + |х п - | | ^ т |
1
^ - Ч { - 1+
(3.33)
Агар
0
< <
5
т <
1
бўлса, у ҳолда
п
->
оо
да
2
Яп~1 Я[~х
<
п
(т а х
(Я, Я
1
)
I"-1 - > о
1=1
бўлгани учун, (3.33) дан
Пт
х п — I
П-+00
.
келиб чиқади. Агар ^ = 1 бўлса, (3.33) дан (3.29) келиб чиқади.
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
