Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

кўпҳаднинг илдизларидан фарқли 
а
ва 
Ь(а<сЬ)
сонларни олиб, х ни 
а
дан 
Ь
гача ўзгартирганда
Н х)
учун тузилган Штурм қаторида нечта ишо.ра адмашиниш-
лар йўқолса, 
!(х)
нинг 
(а, Ь)
оралиқда худди шунча ҳақиқий
илдизлари мавжуд бўлади.
Штурм теоремаси илдизларни ажратиш масаласини тўла
ҳал қилади, лекин Штурм қаторини тузиш билан боғлиқ бўлган
ҳисоблашлар кўп вақт талаб қилади.
Штурм теоремасининг қўлланилиши қуйидагичадир. Аввад (1.3)
тенгламанинг барча илдизлари ётган оралиқнинг чегаралари аниқ-
ланади. Топилган 
[а, Ь\
оралиқ 
нуқталар Силан ки шк оралиқ-
чаларга бўлинади. Штурм теоремаси ёрдамида тенгламанинг 
[аь
в /+
1
] оралиқдаги илдизларининг сони аниқланади. Агар бу оралиқ-
да илдизларнинг сони биттадан кўп бўлса, оралиқ иккига бўлина-
ди ва ҳар бир оралиқ учун Штурм теоремаси қўллачилади. 
Бу
жараённи шу пайтгача давом эттирамизки, токи ҳар бир оралиқча-
лардаги илдизлар сони биттадан ортмасин. III уни ҳам зслатиб ўтиш
керакки, Штурм қаторидаги 
У/ х )
функцияларни мусбат сонларга
кўпайтириш ёки бўлиш мумкин, бундан ишора алмаштиришлар со-
ни ўзгармайди.
М и с о л. Штурм методи ёрдамида
/ ( х) = х* — 4хз
4
- 
\2х
+
1 = 0
тенгламанинг илдизлари ажратилсин. Штурм қаториии тузамиз, 
/ ' ( х )
=
4х
э— 
— 12х
2
+ 12, буни 4 га қисқартириб, 
/ х(х) = х э
— Зх
2
+ 3 га эга бўламиз; 
/ ( х )
ни 
/ х(х)
га бўламиз:
_
4 Х 3 
4
. 12х + 1 
I ҳз _ Зҳ
2
4
- з _
х
4
— Зх
3
+
Зх
I х — 1
— х
3
+ 9х + 1
— х
3
+ Зх
2
— 3
— Зх
2
+
9
х + 4.
Демак, /
2
(х) = Зх
2
— 
9
х — 4. Энди /,(х ) ни /
2
(х) га бўламиз, бунинг учун 
/ х(х) ни аввал 3 га кўпайтириб оламиз:
Зх
3
— 9х
2
+ 9 
Зх
2
— 9х — 4
Зх
3
— 9х
2
— 4х 
х
4х + 9 
-
бу ердан /з(х ) = — 4х — 9. Ниҳоят, 16 /
2
(х) ни /
3
(х) га бўламиз:
48х2 — 144х — 64
- - 4х — 9
48х2 + !08х
— 12х + 63
— 252х — 64 
~ 252х — 567
+ 503.
Ҳосил бўлган қолдиқни 503 га бўлиб тескари ишора билан о л сак,/ф х) =я 
*= — 1 келиб чиқади.
32
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Шундай қилиб, Штурм каторининг элементлари қуйидаги функциялардан 
иборат: 
/ ( х ) — х*
— 
4х3
+
12х
+ 1, 
/\(х)
=
х 3
— 
Зх2
+ 3, /
2( х )
=
Зх
2
— 
9х
—4, 
/з(х)
= —
4х
— 9, 
/ ,/ х ) =
— 1. Бу Штурм қаторидаги ишора алмашинишлар 
1
-жадвалда келтирилган.
1- жадвал
...... 
—
—
—
—
со
0
- 1
-
2
+ оо
812
п
/ (
л
:)
+
Ч"
_
4*
■
■
+
51 §п 
/ х(х)
—
+
—
—
51£Т1/2(Х)
+
—
+
+
+
81
§
п
?3(
х
)
+
—
—
—
—
518П 
/ 4(Х)
—
—
~
ишора алмашинишлар сони
3
1
2
3
'
Бу жадвалнинг иккянчи ва охирги устунларини солиштириб кўрсак, берил- 
ган тенглама иккита ҳакиқий илдизга эга эканлигига ишонч ҳосил қиламиз. 
2- ва 3 - устунлардаи эса бу илдизлар манфий эканлиги келиб чиқад.т 5- 
устун билан 4-усгун ва 4- устун билан 3- устунни солиштириш натижаспда 
бу илдизларнинг (—
2
, —
1
) ва (—
1
, 
0
) оралиқларда ётишини кўрамиз.
2- §. КЎПҲАД ВА УНИНГ ҲОСИЛАЛАРИ ҚИЙМАТЛАРИНИ ҲИС05ЛАШ 
ҲАМДА КЎПҲАДНИ КВАДРАТИҚ УЧҲАДГА БУЛИШ
. 
Алгебраик тенгламаларнинг илдизларини топиш билан боғ-
лиқ масалаларда кўпҳадлар ва уларнинг ҳосилалари қиймат-
ларини кўп нуқталарда ҳисоблашга тўғри келади, бундай ҳи-
соблашларни биз олдинги параграфда ҳам учратган эдик.
Айрим методларда эса кўпҳадни кўпҳадга бўлганда ҳосил бўл-
ган бўлинма ва қолдиҳнинг қийматини топиш керак бўлади.
Биз бу параграфда мана шу амалларнинг эфф,ектив усуллари-
ни кўриб чиқамиз.
Горнер схем аси . Фараз қилайлик, коэффициентлари 
а0, аи
.
. . , 
ап
ҳақиқий сонлардан иборат
Рп(х)
=
а0х 11
 +
а хх п~1
+ . . . +
а
п ~ 1
 х + ап
кўпҳаднинг