Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

Агар ф (л:) ёки ф (л:) чизиқ-
ли функция, масалан ф (
х ) ~
= а х- \- Ь
бўлса, у вақтда (1.2)
тенгламачинг илдизларини ажра-
тиш соддалашади. Фақат 
а
ва 
Ь
1
=
0
21
,
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

козффициентлари билан фарқ қилади-
ган бир хил типдаги бир нечта тенг-
ламаларнинг 
илдизларини 
ажратиш
учун график усули қулайдир. Чунки
бу ерда илдизларни ажратиш (илдиз-
ларни тақрибий топиш) битта тайин
у
= ф (л:) функция 
графиги билан
ҳар хил 
у = ах
 +
Ь
тўғри чизиқлар
кесишиш нуқталарининг абсциссалар-
ини тогишдан иборатдир. Бу типга
х п 
ах -\- Ь —
0 кўринишдаги тенг-
ламалар мисол бўла олади.
М асалан, 
х3 + 2х
— 1,2 = 0 
ва
х3
— 1,2* + 0,1 = 0 тенгламалар илдиз-
ларининг тақрибий қийматлари то-
пилсин. Буни ечиш учуи 
у — х3
 
ку-
бик параболани чизамиз. 
Сўнгра 
у =
 — 2 х + 1 ,2 ва 
у = 1,2х
—0,1
тўгри чизиқларнинг парабола 
билан 
кесишиш нуқталарининг
абсциссаларини топамиз.
4 - чизмадан кўриниб турибдики, биринчи тенглама фақат бйтта
ҳақиқий илдизга эга бўлиб, 
иккинчи тенглама зса учта
= — 1,1, £2 =^0,1 ва 
зг 1 
ҳақиқий илдизларга эгадир. Агар
/ ( г )
= 0 тенгламанинг комплекс илдизларини топиш керак бўлса,
г
 =
х
 +
1у
деб олиб, бу тенгламани
А( х, у)
+
1Д(х, у)
= 0
кўринишда ёзиб оламиз, бу ерда / ,
(х, у)
ва / 2 
(х, у)
ҳақиқий
х
ва 
у
ўзгарувчиларнинг ҳақиқий функциялари. Бу тенглама эса
қуйидаги иккита
ЎАх,
У) = 0, 
/ 2(х,
у) = 0
тенгламалар системасига тенг кучлидир. 
Энди 
/ \ ( х, у)
= 0 ва
/ 2(х, у)
= 0 эгри чизиқларни чизиб, уларнинг кесишган нуқта-
ларини топамиз. Кесишиш нуқталарининг абсцисса ва ординатала-
ри / (
г
) = 0 тенглама ечимларининг мос равишда ҳақиқий ва мав-
ҳум қисмларини беради.
А лгебраик тенгламаларнинг ҳақиқий илдизларини а ж р а -
тиш . Алгебраик
/ ( х )
=
а0х п
 +
а хх п~х
+ . . . +
ап-\Х
 +
ап
 = 0 
(1.3)
генгламанинг илдизларини ажратиш масаласи яхши ўрганилган ва
анча осондир. Қуйидаги теоремаларнинг биринчиси бошқаларига
нисбатан умумийроқдир, чунки у комплекс илдизларнинг ҳам че-
гараларини беради. Биз ҳар доим (1.3) тенгламада коэффициентлар
ҳақиқий ва 
а0
+ 0, 
ап
+ 0 деб оламиз.
1 -т еор ем а. Агар
А =
шах
, А х
= т а х
1<А<п
а0
0<А<п-1
ап
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

бўлса, у ҳолда (1.3) тенгламанинг
барча илдизлари
г
1
1 + А
<
\х\
 < 1 +
А
=
Н
ҳалқа ичида ётади (5- чизма).
И сбот. Фараз қилайлик, 
\х\
 > -1
бўлсин. 
Модулнинг 
хоссаларига
кўра
|/ ( х ) | = [а0х * ( 1 + - ^ + . . . + - ^ )
1 
1 
а0х
а0х п]
> \айх п\
1 
- А ( ±
• • • +
+1—1
\а0х п
 |
+ / — 1 — 
А
+ 1 - 1
Агар биз бу ерда 
\х\
> 1 +
А
деб олсак, у ҳолда 
\/{х)\
> 0 тенг-
сизлик келиб чиқади. Бошқача қилиб айтганда, 
х
нинг бу қий-
матларида / ( х ) кўпҳад нолга айланмайди, яъни (1.3) тенглама ил-
дизга эга бўлмайди. Шу билан теореманинг ярми исбот бўлди.
Теореманинг иккинчи ярмини исоотлаш учун 
х = —
деб 
олиб,
/ ( * ) =
~ § ( у )
га эга бўламиз, бу ерда 
§(у)
=
апуп
 +
ап-хуп~1
 +
+ . . . + а 0. Теореманинг исбот қилинган қисмига кўра 
§(у)
кўп-
ҳаднинг 
у к
— илдизлари (ноллари)
хк
|у*1 =
1
+ А|
< 1 +
тенгсизликни қаноатлантиради, бундан эса
1**1 >
1
1+А
келиб чиқади.
Э с л а т ма . Бу теоремалаги 
г
ва /? сонлар (1.3) тенглама мусбат илдиз- 
ларининг қуйи ва юқори чегаралари бўлади. Шунга ўхшаш 
— Я
ва 
— г
сон- 
лар манфий илдизларининг мос равишда қуйи ва юқори чегараси бўлади. 
Илдизларнинг чегаралари учун бу теоремадаги баҳо анча қўполдир. Қуйи- 
даги теоремалар бунга нисбатан анча яхшироқ баҳоларни беради.
2-т ео р ем а (Лаграчж теоремаси). Агар (1.3) тенгламаншгг ман-
фий коэффициентларидан энг биринчиси (чапдан ўнгга томон ҳи-
соблаганда) 
ак
бўлиб, 
В
манфий коэффициентларнинг абсолют
қийматлари бўйича 
энг каттаси бўлса, у ҳолда мусбат илдизлар-
нинг юқори чегараси
Н - 1 + / 1
 
(1.4)
сон билан ифодаланади.
29
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

И сбот. Бу ерда ҳам 
х > I
деб оламиз. Агар 
/ (х)
кўпҳадда
манфий бўлмагдн 
барча 
+ , 
'аъ 
, ак- Х
коэффициентларини
ноль 
билан алмаштириб, қолган барча 
ак, аь+и . . . , ап
коэффи-
циентларини эса —
В
манфий сон билан алмаштирсак, кўпҳаднинг
қиймати фақат камайиши мумкин, шунинг учун ҳам
/ ( х ) > а 0х п
 — 
В(хп~к
 +
х п~к~1
 + . . . + ! ) _
-
=
а 0х п
 — 
В
 
----- 1
тенгсизликка эга бўламиз. Бундан эса 
х
> 1 бўлганда
п—к+1
/г—&+Х
/ ( х )
>
а0х п
— 
В
 —
— 1 =
} - 
[а0х к~Қх
 — 1) — 5 ] >
п-к+1
> ^ Г Г [а0( х - \ ) к - В \
келиб чиқади. Демак,
1 +
т У -
=
%
бўлганда 
/ ( х )
> 0 га эга бўламиз, яъни (1.3) тенгламанинг барча
х +
мусбат илдизлари ас; <
В
тенгсизликни қаноатлантирар экан.
3- 
теор ем а (Ньютон теоремаси). Агар 
х = с >
 0 учун 
/ ( х )
кўпҳад ва унинг барча 
/ ’(х), /"(х),
. . . , /<
п>(х
) ҳосилалари но-
манфий бўлса: 
/ (к)( с ) >
0 (Уг = 0, 
1, . . . , 
п),
у ҳолда 
В
=
с
ни (1.3) тенгламанинг мусбат илдизлари учун юқори чегара деб
ҳисоблаш мумкин.
И сбот. Тейлор формуласига кўра 
.
/ ( х ) = / ( с ) + / ' ( с ) ( х — с)
+ . . . + - ^ г ^ -
(х - с)п.
Теорема шартига кўра 
х
>
с
бўлганда бу тенгликнинг ўнг томони
 
мусоатдир. Демак, (1.3) тенгламанинг барча 
х+
мусбат илдизлари
д:+ <
с
тенгеизликни қаноатлантиради. 
.
Бу теоремалар фақат мусбат илдизларнинг юқори чегарасинн
аниқлайди. Қуйидаги: 
.
/ г(Х)
= ( — 1)"/( — 
х)
=
а 0х п
 — 
ахх п~1 + а 2х п~2
 — . . . + ( — 1 
)па,„
• 
/ Қ х )
=
х п/
 
=
а пх п
 +
ап-
1
Х
п~1 + . . . +
а хх
 +
а 0,
/ г (х )
= ( - л:)"/( ~ зг) =
а пхП ~ ап-
1
Хп~
1 + . . . + ( - 1 
)па0
кўпҳадларга юқоридаги теоремаларни қўллаб, 
/ ( х ) , / Қ х ) , / 2(х),
/ з ( х )
лар мусбат илдизларининг юқори чегаралари /?0, 
/?з ва
/?3 ларни мос равишда топган бўлсак, у вақтда (1.3) тенглама-
нинг ҳамма 
х+
мусбат илдизлари — <
х+
 
/? ва ҳамма 
х~
ман-
/?2
фий илдизлари эса — /?, <
• — тенгсизликларни қаноатлан-
тирар экан.
30
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Қуйидаги мисолда биз юқорида келтирилган методларни қўллаб
уларнинг натижаларини солиштирамиз.
М и с о л . Қуйидаги тенглама ҳақиқий илдизларининг чегараси топилсин:
/ (
а
: ) =
л
:4 — 5лг2 + 8х — 8 = 0. 
(1.5)
2- теоремани қўллаймиз, бу ерда 
а0 —
1, + = 8. Демак, 
К
= 1 + 8 = 9, яъни
(1.5) тенгламанинг илдизлари (— 9; 9) оралиқда ётар экан.
Энди Лагранж теоремасини қўллаймиз: 
а0 =
1. й = 2, 
В
= 8. Бу қиймат- 
ларни (1.4) формулага қўйиб, мусбат илдизларнинг юқори чегараси учун
Д = 1 + | / ^ , = 1 + 2)Г2 < 3,84
ни ҳосил қиламиз. Кейии (1.5) тенгламада 
х
ни 
— х
га алмаштирсак,
ўх{х)
= 
х*
— 5*2 — 8д: — 8 = 0 
"
(1.6)
тенглама келиб чиқади. Бу тенглама мусбат илдизининг юқори чегараси 
учун ҳам 
Я <
3,84 тенгсизлик келиб чиқади. Яъни Лагранж теоремасига .кў- 
ра (1.5) тенгламанинг илдизлари ( — 3,84; 3,84) оралиқда жойлашган экан.
Ньютон методини қўллайлик. Бу ерда 
/ ( х) — х*
— 
5х2
— 
8х
— 8, 
/ ' ( х ) =
= 4х3— 
10х —
8, 
/ ”(х)
12х2 — 10, 
/'"(х) —
24х, 
/™(х)
= 24. Кўриниб ту-
рибдики, л: > 2 учун / 1У(х) > 0, 
ў"(х)
> 0, 
/ " ( х)
> 0 ва 
/ ' ( х ) >
0. Осонгйна 
пайқаш мумкинки, 
х >
2 б.ўлса, 
/ ( х)
ҳам фақат мусбат қиймат қабул қила- 
ди, яъни с = 2 мусбат илдизларнинг юқори чегараси экан. Худди шунинг- 
дек, 
ў ( х ) =
0 тенглама мусбат илдизларининг юқори чегараси 
с
= 3 эканли- 
гига ишонч ҳосил қиламиз. Демак, (1.5) тенгламанинг илдизлари (— 3; 2) 
оралиқда ётар экан.
Ҳар учала метод натижаларини солиштиреак, Ньютон методи гарчи кўп- 
роқ меҳнат талаб қилса-да, илдизлар чегаралари учун яхшироқ натижа бе- 
риши кўринади. 
■