|
дЧ\
дУ
3,6, 2
3,4(2,1 + 5) — 1
< 0,27;
т а х
Бундан
т а х
д
дх
д
1
+ 3,4
< 0,42;
д
дх
| ' 2 /3 ,4 + 21 §3,4
дУ
- +
| < 0,81; т а х
/ |
д
+
дУ
1 1
дх
ду
< 0,42.
Демак,
<7
= 0,81 ва итерация жараёни яқинлашади. Кетма-кет яқинлашиш-
ларни
1к
+ 1
= | / - *(У*
2
5>---- - '
Ук+1
=
+ З,е+А.
(* =
0
,
1
,
2
, . . .)
0
формулалар ёрдамида олиб борамиз. х* ға
ук
кетма-кет яқинлашишларнинг
қийматлари 4- жадвалда келтирилган. Шундай қилиб, тақрибий ечим сифа-
тида
51 = 3,487; 5
2
= 2,262
>ни олишимиз мумкин.
5- §. ТЕНГЛАМАЛАРНИ ЕЧИШНИНГ ЮҚОРИ ТАРТИБЛИ ИТЕРАЦИОН
МЕТОДЛАРИ
Умумий мулоҳазалар. Аввал оддий итерация методи билан
танишганимизда кўрган эдикки,
хп (п =
0
,
1
,
2
, . . . ) тақрибий
кийматлар кетма-кетлиги
£
ечимга яқин бўлса, хато
гп
=
5
— х п
умуман айтганда,
=
Ч'
(^) е
п- 1
қонун билан ўзгаради, яъни
п-
қадамдаги хато
(п —
1
)- қадамдаги
хатога пропорционалдир. Агар |ср/ ( £ ) | <
1
бўлса, у вақтда
гп
хато
-махражи ф'(Н) га тенг бўлган геометрик прогрессия қояуни бўйи-
ча ўзгаради. Шундай методлар ҳам мавжудки, уларда
п-
қадамда-
ги хато
( п —
1
)- қадамдаги хатонинг
т-
даражасига пропорционал-
дир
(т
> 2), яъни
= Ф (Е)
Масалан,
Ньютон методида
хатонинг ўзгариш қонуни (
6
- § га қ.)
е _ _1
1 Ж ,2
П
2
/'(!)
~ п - 1
•56
www.ziyouz.com kutubxonasi
каби бўлэди. Бу ерда
п-
қадамдэги хато
(п
— 1)- қадамдаги хато-
иинг квадратига пропорционалдир, шунинг учун ҳам бу ерда
хато
квадратик қонун билан ўзгаради
деб айтилади.
Энди
итерация тартиби
деган тушунчани умумий ҳолда
киритамиз. Агар
Ф'(1) = 9 " а ) = — =
(5) =* 0, <Р(р>(?)/=0
бўлса, у ҳолда
х п
= ф (ЛГ„_
1
)
итерацион жараён
р-тар-пибга эга ёки унинг яқинлашиш тар-
тиби р
га тенг дейилади. Агар ? илдиз атрофида ш(х) функиия
р-
тартибли узлуксиз ҳосилаларга эга бўлса, у ҳолда Тейлор фор-
муласига кўра
Р - 1
<р(х) = <р (?) +
. (*)/е
к\
(5)
( * - ? ) * +
к=\
р(р> I
Р\
(4
(х - 1У,
б у ерда
7
]^ (х , |) .
Бундан итерациянинг тартиби
р
бўлганда
(
х
— 1У,
ўз навбатида
х„
р\
(Хп-1
- 1)Р
келиб чиқади.
Бу параграфда
/ (х)
= 0 тенгламанинг илдизлэрини тогиш учун
юқори тартибли итерэцион методни қуришнинг иккитасини кўриб
ўтамиз.
,
Ч ебиш ев метоци. П. Л. Чебишев 1ЯЗЗ йилда берилган
Д х )
функцияга тескари бўлган р-(у) ф/нкцияни Тейлор формуласи
ёрдамида тасвирлэш й/ ли би пи юҳори тартибля итерацияни қуриш
методини таклиф этди.
.
Фараз қилайлик,
Д х )
= 0 тенгламанинг
х
= ? илдизи
[а, Ь]
оралиқда ётсин ва
Д х)
функция ҳамда унинг етарлича юқори
тартибли ҳосилалари узлуксиз бўлсин. Бундая ташқари бу оралиқ-
нинг барча нуқталарида
Д ( х ) ф 0
бўлсин. У ҳолда
Д( х)
бу ора-
лиқда ўз ишорасини сақлайди ва
Д х )
монотон функция бўлиб,
х — Д у )
тескари фунчцияга эга бўлади. Тезкари функция
Д у )
Д х )
нннг ўзгариш соҳаси
[с, с1\
дэ аниқлзнган бўлиб,
Д х )
қанча
узлуксиз ҳосилаларга эга бўлса, у ҳам шунча узлуксиз ҳосила-
ларга зга бўлади. Тескари функциянинг таърифига кўра
х = 8 ( / ( х ) ) ( х £ [ а , Ь]),
у = = / ( о ( у ) )
( у £ ( с ,
й]).
(5. 1)
Демак,
? =
4
(
0
).
(
5
.
2
)
www.ziyouz.com kutubxonasi
Агар
у £
[с,
й]
бўлса, у ҳолда Тейлор формуласидан
I
=
т
= £(у - у ) = ё (у)
+ У (“ !)*
у{к)
+
+ ( - 1 Г — ^ ~ У Р,
(5.3)
бу ерда V) сони
0
ва
у
орасида ётади. Ёки
у
ўриига
/ ( х )
ни қў-
йиб ва £ (у ) *= л: ни назарда тутиб,
1 = ^ + 2 ( - 1 ) й - ^ ^ ^ » / <*>(+)+ ( - 1
у
/
р
(х )
(5.4)
ни ҳосил қиламиз. Агар
<Рр(+>^ * + . Ё (— 1);
" <к)^ х)) / к (х!
ь=\
деб белгилаб олсак, у ҳолда
л: =
цр(х)
(5.5)
тенглама учун
х — I
ечим бўлади, чунки
^ Ш =
? +
2
( -
1
)А + №[ р })
(£) = £ . ’
к^1
Бундан
‘
?
1
,
р - 1 ,
бўлганлиги сабабли
х п+1 = <рр(х„) (п — 0,
1, 2,
;
х 0£[а, Ь
] )
(5.6)
итерацион жараён
р-
тартибли бўлади. Агар
х 0
§ га яқин бўлса,
у ҳолда (5.6) билан аниқланган
{хп}
кетма-кетлик
I
га яқинла-
шади. Ҳақиқатан ҳам, <{/(£) =
0
бўлганлиги учун
I
нинг шундай
атрофи топиладики, у ерда
\
| <
<7
< 1 бўлади. Бундан эса
х 0
с га етарлича яқин бўлса {х„} итерацион
кетма-кетликнинг
яқинлашиши келиб чиқади.
Энди
9
р(х) нинг
/( х)
ва унинг ҳосилалари орқали ошкор ифо-
дасини топамиз. Бунинг учун (5.1) айниятдан кетма-кет ҳосилалар
оламиз: -
ё'(/(х) )/'(х) —
1,
.
ё"(/(х) ) Г \ х )
+
ё'(/(х) )Г(х)
= 0,
ё"'(/(х) ) Г \ х )
+
г ё "(/(х)
)/'(х)Г(х)
+
е'(/(х) )Г(х)
= о,
........................................................................................................
. . (5.7)
58
www.ziyouz.com kutubxonasi
Бу ердан биз кетма-кет
§ '{й х )
),
§"(?(х)
),
. . . .
(((х)
) ларни
ва шу билан бирга
у р(х)
ни аниқлаймиз. (5.6) итерация жараёни-
ни
р
нинг бир нечта конкрет қийматларида ошкор кўринишга кел-
тирамиз.
р
= 2
бўлганда
ср
2
(л:) = х -
ва х
я+1
=
.
(5.8)
Биз кейинчалик кўрамизки, бу жараён Ньютон жараёни билан
устма-уст тушади.
р —
3 бўлганда (5.5) ва (5.7) дан
Ъ ( х ) - Х - $ £
ва
Х п + г - Х п - у т
^ - у -
келиб чиқади. р = 4 учун
<Р
4
(х) = х
Л-у)
/'(*)
Г(х)ГЧх)
2
[/'(*) ]а
ва
V
- V
Я * я )
* ” { Х „ ) Р ( Х П)
п+>, л»; /'(хл)
2
[Л(х„)]з
/ " ( х ) / Ч х )
2
[ / ' (*)]з
Г ' ( х п
)
( Ч х п )
2
\/'(хп
)]3
(5.9)
Жх)
3 / " 2( х ) - / ' ( х ) Г ( х )
12
'
[/'(*)]*
(5.10)
/Ч*,,)
г / " 2(хп) - / ' ( х п)/'"(хп)
12
•
[ /'(*„)
]5
ни ҳосил қиламиз. Бу итерацион жараёнлар мос равишда 2, 3 ва
4- тартибли итерациялар бўлади.
Энди
вп
= | — х„ хатонинг нолга интилиш тезлигини баҳолай-
миз. Бунинг учун (5.4) тенгликда
х — х п
деб олиб, (5.6) ни на-
зарда тутиб, қуйидагини ҳосил қиламиз:
^
Хп+1
(— 1)р ? (Р>
(ў(ҳ))
Р'
/ р(х п),
(5.11)
бу ерда х | билан
х п
орасида ётади, / ( ! ) =
0
бўлганлиги учун
_
Л х а)
= -
[/(I)
-
( / х п)
)
=
- а
- х я) / ( х )
(5.12)
( х ҳам § билан
х п
орасида ётади). (
5
.
1 2
) ни (
5
.
1 1
) га қўямиз:
ё Р ( / ( X ) )
еп
+ 1
;
Р1
Қуйидаги
<7
=
т а х
х, х
6 1о.
Ь\
[ / ( х )
\
р
еР.
[/ (
х
) ]
р
(5.13)
белгилашни киритиб, (5.13) дан
| е
п+1
| <
д
|е„|Р
(5.14)
тенгсизликка эга бўламиз. Бу тенгсизликаи кетаа-кет қўллаб,
қуйидагиви ҳосил қиламиз:
59
www.ziyouz.com kutubxonasi
Р п
- 1
Р п ( Р -
2 ) - Ц
К \
<
ях+'р
+ • ■
■
• +
р""1
1«оГ
=
)
р - 1
К1-
Агар
|
г0 1 < 1 ва
ц
| е0 1 =
ш <
1 бўлса, у ҳолда
р
~
х
( 5 .1 5 )
бўлади, бу эса
(5 .6 ) итерациянинг ниҳоятда тез яқинлашишини
кўрсатади. Хусусий ҳолда <в <: Ю
- 1
ва | е0 1 < 1 бўлса, юқоридаги
(5 .8 ), (5 .9 ) ва (5.10) итерациялар учун мос равишда қуйидаги-
ларга эга бўламиз: р =
2
учун
К К Ю - 1, к | ^ ю —*, | £з| < Ю - 7, | е4 | < 10 1Ь; . . .
Р =
з
учун
|
51
| <
1 0
- 1, . | е з < 1 0 - ‘ , | е
3
1 < Ю -1 3 , |е
4
| < Ю - « ° , . . .
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
