Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

1- теорем а. Агар 
/ (х)
ва дастла^ки қиймат х
0
қуйидаги шзрт-
ларни қаноатлантирса;
1
 • 
/ ' ( х0)
 
ва
1
< 5 ;
2
.
/Н о)
<
V
Г (х0)
тенгсизлик ўринли бўлса;
3. / (
х )
функция
х -
х,,
 I <
8
(6.5)
(
6
.
6
)
(6.7)
оралиқда иккинчи тартибли узлуксиз 
/ " (х)
ҳосилага эга ва бу
орадиқнинг Сарча нуқталарида
I/ " ( * ) ! < * ’
бўлса;
4
. 
В, К,
 
сонлар учун
(
6
.
8
)
Н
-= 
ВҚ Г;
< ~
(6.9)
шарт бажарилса;
5. ҳамда
1
— ,/ 
1
—
2/1 
и
(
6
.
10
)
тенгсизлик ўринли бўлса, у ҳолда:
1
) (
6
.
1
) тенгламл (
6
./) орали .дг ! еаимга эга бўлдди;
2
)
я-И =
Х„
/' {лп}
(я =
0
, 
1
, 
2
, . . . )
( 6. П)
кетма-кет яқинлашишларнн қуриш мумкин ва улар 
%
га яқинла-
шади: ■
Н ш х „ = |;
П
->гх-
3) яқинлашиш тезлиги учун 
■
| 
5
-
х п | < / * - * „
(
6
.
12
)
баҳо ўринли бўлиб, бу ерда 
1п
эса
р ( 0
= - у
/ 2
 — 5".+ 5" =
0
 
(6 ЛЗ >
квадрат тенгламанинг кичик илдизи 
I
* учун 
/ 0
=
0
дан бошлаб
қурилган Ньютон кетма-кетлигининг 
п-
элементидир:
/ 
_ /
Р(*п)
.
« + 1
~~ « 
Р '
 
((п)
64
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

И сбот. (6.9) шартга кўра 0 < Л < у бўлганлиги учун 
Р{()
кўпҳаднинг
_!___
4
. 
1
 
қ .
№ 
2 
В
1—2 
Н
В‘
дискриминанти манфий эмас, шунинг учун ҳам тенгламанинг ҳар
иккала илдизи ҳақиқий ва осонлик билан кўриш мумкинки, ульр
мусбатдир. Дастлабки яқинлашиш 
(а
(6.13) тенгламанинг кичик
илдизи
24
г _
й 
Л
га яқин турганлиги учун 
(п (п =
 0, 1, 2, ...) кётма-кетлиги 
(*
га
яқинлашади ва шу билан бирга 
1а
 <
1Х
< /
<
... 
бўлади.
Индукция методини қўллаб, 
{ х п}
кетма-кетликни қуриш мум-
кинлигини, унинг барча элемеитларининг (6.7) оралиқда ётишини
ва
I 
Х п -{-1 
X п
 | <
( п -\-\ 
( п
баҳо ўринли эканлигнни кўрсатамиз. Аввал 
п —
0 ҳолни кўрайлик,
•Х0 (6.7) оралнқда ётганлиги ва 
/ ' { х а) Ф
 0 бўлганлиги учун 
Х\=*
«= 
х 0
— 
ни топамиз. 0 <
/г
<
бўлганда
/
[Хи) 
г
касрнинг (1 ,2 ]
1 - / 1
2 
п
1 
V
I — 2/х 
/
да ётиши кўриниб турибди. Демак, (6.10) га кўра
2
I 
х \ —
 *«1 =
Г (ха) 
7' 
Ш
<■>]<■
'
 1 - 2
п
Н
т) < 8 ,
яъни 
Х\
(6.7) оралиқда ётади. Шартга кўра 
(0
= 0,
Р
Ш) 
^
(\ ~
 
' 
= -р 
А 
(о ~ *1
Р'
<*о) 
в
ва 1^, — х 0 1 < т) бўлганлиги учун, (6.12) тенгсизлик я = 0 учун
ўринлидир.
Фараз қилайлик, х 0, х 1( . . . , 
х п
лар қурилган бўлиб, (6.7)
оралиқда ётсин ва улар учун 
■
, 
\ х к М — х ! г \ < ( к + \ — ( к
0, 1, 
1) 
(6.15)
тенгсизликлар бажарилсин.
Фаразга кура, 
х п
(6.7) да ётади ва / ( х „ ) , / ' ( х я) маънога эга.
Фақат 
/ ’ { х / ) ф Ь
эканлигини кўрсатиш керак. 13- чизмадан кўрн-
ниб турибдики, 
— Р ' { ( п) >
 0. Буни назарда тутио қуйидаги
?" 
1 
’
I / (*„) 1 = 1 /
(х0)
 + )
г ( ( ) с и \ > ъ - к \ х к - ~ х 0 \=*
■
Б - 2 1 0 5
6 5
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

- 
В
^ 1
(Хп 
Хп
—\ ) “Ь
(х п—
1 
Х„—
2
) ~Ь • • • Ч " 
(-^1
Х0)
|
§• ^[/л 
/ -
1
) 4" /л-1 — ^/
1
-
2
) 4* • • • 4" /« — А>)1 =
= ^ - К ( ( „ - ( 0) = ± - К ( п = - Р ' ( ( „ )
муносабатлардан [ / '
(хп)
 | > — 
Р' ((„)
 > 0 ни ҳосил қиламиз.
Энди / (
х
п) ни баҳолаймиз. Бунинг учун / (
х п)
нинг 
х „ - %
ат-
рофидаги Тейлор қатори ёйилмасидан фойдаланамиз:
К х п)
 =
/ ( Х п ~ \ )
 4- 
( х п - х п
- \ ) 
Г
 (л:л-
1
) 4
- \ к (с) 
(Хп 
- х п- , У
( с £ \ х п-\, х п\).
Бундан эса, (6.11) га кўра
К х п) = \ Г ( с ) ( х п - Х п- , ) \
Энди (6.8) ва индукция шарти (6.15) дан
| / ( + ) | < 4
(х п - х пК 2 < ^ ( 1 п - ( п- ху
 
(6.16)
желиб чиқади.
Шунга ўхшаш ҳисоблашларни 
Р ( ( п)
учун бажарсак:
Р( *п)
 
= 4
Р"(с) к - (п- г?
= - £ ( * « -
(п- , У
 
(6.17)
.ҳосил бўлади.
(6.16) — (6.17) лардан
1
К х п)
1
^ Р ( ( п)
тенгсизлик келиб чиқади. Демак,
\ х п+\ 
х
„ 1
 
\ ў ц Хп)
^
Р ' ((„)
 
г”+1 
+
■лъни (6.15) баҳо й = я + 1 учун ўринли эканлигини кўрамиз.
Энди фақат 
х„^л
нинг (6.7) оралиқда ётишлигини кўрсатсак кифоя.
Б у эса қуйидаги тенгсизликлардан келиб чиқади:
I 
Х„~\-\ 
х„
 | == | 
( х
„ ± 1
 
х„)
+ . • • 4“ 
(х^ 
х
0) ) ^
<
(^п+\ 
Ю
+ • • • 4- ( / Д) 
(р
+1 
(о — (/
1
+\
 <
^
1 — 
1 —2/г 
^
<
I
—
—
-------
У\
 < 0.
. . / „ } кетма-кетлик яқинлашувчи бўлганлиги учун у фундаментал
кетма-кетликни ташкил этади. 
(х„)
кетма-кетликнинг фундамечтал-
лиги қуйидаги
1 
Хп+р 
х п
 I = I 
(х п+р 
х п + р - \ )
4" ••• 4~ 
(+2
 + 1 
х п)
 I <
<
(^п+р 
(р+р—
1
) 4 “ ••• 4 “ / я + 1
(р) — (р+р 
К
тангсизликдан келиб чиқади. Демак, 
{х„}
кетма-кетликнинг лимити
мавжуд, 
бу 
лимитни | орқали белгилаймиз: £ = П т 
х„.
Агар
6 5
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

I 
х„ 
\ 
р — 
х п
I <
*п+р — *п
тенгсизликда 
р
 - > оо лимитга ўтсак, 
х п
нинг
(; 
1
а интилиш тезлиги учун (6.12) баҳога эга бўламиз.
Миҳоят, (6.11) тенгликда 
п
 ->• оо да лимитга ўтиб, 
| — д ^ н и
ҳосил қиламиз, бундан эса / ' (£) нинг чегараланганлигини ҳисобга
олсак, / ' ( |) = 0 келиб чиқади. Шундай қилиб, теорема тўла исбог
(>ўлди. 
-
Изоҳ. Теоремадаги (6.12) баҳо аниқ баҳсдир, чунки у (6.13) квадрат тенг- 
лама 
Р {()
= 0 учун аниқ тенгликка айланади.
10қоридаги (6.12) баҳодан фойдаланиш учун 
Р (() =
0 тенгламанинг ечи- 
мипи топиш ва бу тенглама учун 
{(„}
Ньютон кетма-кетлигини қуриш керак. 
Кулайлик учун квадрат тенгламада 
(
= г)т деб олиб, янги т ўзгарувчини кири- 
тамиз. Натижада
йтз — т + 1)
бўлади. Энди
:р(х) = у/гт2 — т + 1 = 0
(6.18/
кпадрат тенглама учун Ньютон кетма-кетлигини тузамиз: т0 = 0,
ЭН- 1 =
(« = 0, 1. 2, ...). 
(6.19);
1 _ / 1 _ 2 А _
,
--------
Л
------ булиб,
упга яқинлашади. Осонгина кўриш мумкинки 
(п — цхп.
Бу тенгламанинг кичик илдизи т*
кетма-кетлик
2 - теорем а. Агар 1- теореманинг шартлари бажарилса, | ■
аиирма учун
| £ - * я К о ^ г ( 2 Л )
2П~1 
^
баҳо ўринлидир.
И сбот. 
1
п
нинг таърифидан келиб чиқадиган
9 К ~ 1 ) + (% — 
1
) = 0
тенгликни назарда тутиб, Тейлор формуласидан
=
9
( ^ -
1
) +
{'п —
 Т - О У К -
1
) +
+ 4 9" (0 К ~ Э*-,)3 = у К ~
1
 )2
ни ҳосил қиламиз. Бундан ташқари
?' 
) =
\ + х ~
 + = ~ 9 
(Ч)-
1)2
9
'
( Ч )
2
1
—
п
тенгликларга эга бўламиз. Энди 
п
= 1, 2, ... лар учун
т„ < 2 (1 — 
2~п)
ва тл — 
хп ,л
< 21-л
(
6
.
20
) ’
(
6
.
21
) )
(
6
.
22
/
эканлигини кўрсатамиз. Бунинг учун индукция методидан фойдала-
намиз. т0 = 0 ва т^ = 1 бўлганлиги сабабли 
п
= 1 
учун ( 6 .2 2 /
ўринлидир. Энди фараз қилайлик, /е = 1, 2, ... , 
п
учун
2(1-2-*), ■с*-т*_1<21-*
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

бажарилсин. У ҳолда 0 
<
к
< +
эканлигини назарда тутиб, (6.21)
дан 
• 
•
1 
Н
, 
\2 ^ 1 
Л-22-2” 
п „
Х«+1 
Х« ~ 2 1—йт„(х« 
Хп-1 ) 
I—2Л (1—21-л) ^
ва
**+1
“ ^ +
(■'»+1
- ■*») <
2
(
1
-
2
" * ) +
2
- « =
2
(
1
—
2
“ л - 1 )
ларни ҳосил қиламиз. Сўнгра (6.19) ва 
ср(т*) 
= 0 дан
1
?'
(хв - 0
- - ■
«
р
' ( ^
1 7
) ^ ( " * ) - ?
( " « - 0
“ ( * * - ^ -
1
) ? '
К
_ 4) ]
келиб чиқади. Тейлор формуласидан эса
? С**) - ? К -
1
) — 
(** ~ ^ -
1
) ?'
(т„_,) =
— тв-1 )2 = у А (х * — т ^ ) 8,
- 
? ' ( ' ' * - ! ) =
А Л
- 1
—
1
ларга эга бўламиз.’ Демак,
__ _
__
Ь, ( ъ *
— Тп _ ] ) 1
* “ 2 1 - А г в_, 1
(6.22) тенгсизликка кўра
1
-
>
1
- 1
• 
2
(1
-
2
1-л) =
2
1-я.
Шунинг учун ҳам
х * - т
п < 2 " - 2к(ч.* - ч п_ х) \
 
(6.23)
Бу тенгсизликни 
п
 = 1, 2, ... лар учун кетма-кет қўллаймиз. Юқо-
рида т* = ----- ^ ------- < 2 эканлигини аитиб ўтган эдик, шунинг
учун ҳам (6.23) дан « = 1 бўлганда
■
т* —т ^ г - ^ т * —т0)> ^
2к