Yulduzlarning muntazam politoplari geometrisi

74-bet

74

6.4. Katta dodeca sferasiga markaziy proektsiya

xedra. Buyuk dodekaedron GD qurilishini eslang ,

§ 4da berilgan.

1) Buyuk dodekaedron GD ning tepalari bu tepaliklardir

A i

icosahedron I . Katta dodekaedron GD 12 ta tepalikka ega.

2) buyuk dodekaedron GD ning qirralari - ikosning qirralari

dihedral I of . Katta dodekaedron GD 30 qirraga ega.

3) Buyuk dodekaedr GD ning yuzlari 12 ta doimiy deb qabul qilinadi

beshburchaklar Q i

uning qirralari qirralardir

icosahedron I . Keling, ushbu beshburchaklarni sanab o'tamiz (ular belgilangan

turli xil ranglarda, shakl. 79):

1- savol : A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 2 ; 2- savol : A 3 A 1 A 6 A 9 A 8 A 3 ; 3- savol : A 4 A 1 A 2 A 8 A 7 A 4 ;

4- savol : A 5 A 1 A 3 A 7 A 11 A 5 ; 5- savol : A 6 A 1 A 4 A 11 A 10 A 6 ; 6- savol : A 1 A 5 A 10 A 9 A 2 A 1 ;

7- savol : A 8 A 12 A 11 A 4 A 3 A 8 ; 8- savol : A 7 A 3 A 2 A 9 A 12 A 7 ; 9- savol : A 2 A 6 A 10 A 12 A 8 A 2 ;

10- savol : A 6 A 5 A 11 A 12 A 9 A 6 ; 11- savol : A 5 A 4 A 7 A 12 A 10 A 5 ; 12- savol : A 7 A 8 A 9 A 10 A 11 A 7 .

Shakl 79. GD yuzlari

Eslatma, birinchidan, uchlari prognozlar deb a 1 , ..., А 12 kuni

S bu A 1 , ..., A 12 nuqtalarining o'zi . Yuzlari prognozlar Q 1 , ...,

Q 12 kuni S (bilan belgilanadi qilinadi Q 1 ), ..., ( Q 12 ), navbati bilan. Bular

( Q 1 ), ..., ( Q 12 ) proektsiyalar to'g'ri

sferik beshburchaklar. Har bir bunday beshburchak ( Q k )

Sahifa 75

75

beshta uchburchakdan tashkil topgan ( t 1 ), ..., ( t 20 ), burchaklariga teng

0,8p va maydon p ga teng. H, va 80-rasmda a ( Q 1 ) ko'rsatilgan.

Shakl 80. ( 1- savol )

A 1 , ..., A 12 nuqtalarining har biri beshtadan beshtasining tepasi

tygonlar ( Q 1 ), ..., ( Q 12 ). Ularning beshta burchagi yig'indisidan

bu tepalik 4 p ga teng , keyin ular mahallani ikki marta qamrab oladi

bu nuqta.

12 ko'pburchakning umumiy maydoni ( Q 1 ), ..., ( Q 12 )

12 p ga teng , shuning uchun bu ko'pburchaklar uch marta qoplanadi

soha. Va har bir A 1 , ..., A 12 nuqta - bu tarmoqlanish nuqtasi

bu qoplama ikkitadan ko'plikka ega.

Shunday qilib, S sharadagi markaziy proyeksiyasi bilan katta

tepaliklari S ga teng bo'lgan GD dodekaedrini olamiz

12 ta filial punkti bo'lgan uch marta Riemann qoplamasi (GD)

bu buyuk dodekaedrning tepalarida uzoq vaqt turib .

Umumiy Riman-Xurvits formulasi yaxshi ma'lum [9,

v. 598], bu bilan qoplangan yuzaning g turini bog'laydi

xil g * yoritmoq bilan qamrab yuzasi uchun i

ochkolar

shoxlangan va qoplamaning ko'pligi bilan m :

2 g * - 2 = m (2 g - 2) + S ( k i

- bitta).

Ko'rib chiqilayotgan holatda sharning turi g = 0, g * ( GD ) = 4,

a m = 3 va k i

= 2. Tekshiramiz: 2 · 4 - 2 = –6 + 12. To'g'ri!

Sahifa 76

76

6.5. Kichik yulduzcha shariga markaziy proyeksiya

dodekaedr.

Kichik stellated dodecahedron MSD kirish yo'li bilan tuzilishi mumkin

uning icosahedrida yozish orqali . Shunda cho'qqilar uning cho'qqisiga aylanadi

A i

bu ikosaedr I ning qirralari ning kichik diagonallari bo'ladi

Sahedron I , va yuzlari P i pentagramlardir

yuzlariga Q i yozilgan

buyuk dodekaedr GD . Bular 12 ta pentagram (81-rasm):

P 1 : A 2 A 4 A 6 A 3 A 5 A 2 ; P 2 : A 3 A 6 A 8 A 1 A 9 A 3 ;

P 3 : A 4 A 2 A 7 A 1 A 8 A 4 ; P 4 : A 5 A 3 A 11 A 1 A 7 A 5 ;

P 5 : A 6 A 4 A 10 A 1 A 11 A 6 ; P 6 : A 1 A 10 A 2 A 5 A 9 A 1 ;

P 7 : A 8 A 11 A 3 A 12 A 4 A 8 ; P 8 : A 7 A 2 A 12 A 3 A 9 A 7 ;

P 9 : A 2 A 10 A 8 A 6 A 12 A 2 ; P 10 : A 6 A 11 A 9 A 5 A 12 A 6 ;

P 11 : A 5 A 7 A 10 A 4 A 12 A 5 ; P 12 : A 7 A 9 A 11 A 8 A 10 A 7 .

Shakl 81 - MSD

Ushbu beshburchaklarning yadrolari odatiy beshburchak bo'ladi

M i

... Misol uchun, asosiy M 1 Pentagram R 1 : A 2 A 4 A 6 A 3 A 5 , VOL-

beshburchak Q 1 diagonallari tomonidan hosil qilingan, beshburchak bo'ladi

nik M 1 : X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 .

Sahifa 77

77

Va biz barpo qildik rivojlantirish P ( MSD polytope ning) MSD bilan

4.2-bet, markazlardan S 1 , ..., S 12 pentagrammalar P 1 , ..., P 12

segmentlarni o'zlarining cho'qqilariga, ya'ni "beshburchak" ga.

Endi biz MSD polyhedron dizayniga murojaat qilamiz va

uning S ( S ) sharchasida P ( MSD ) siljishi .

Doimiy beshburchaklar Q 1 , ..., Q 12 va ularga yozilgan

sohada P 1 , ..., P 12 pentagrammalari mos ravishda proyeksiyalanadi

ric beshburchaklar ( Q 1 ), ..., ( Q 12 ) va ularga yozilgan

sferik pentagramlar ( P 1 ), ..., ( P 12 ). S 1 , ..., S 12 ball

mos ravishda A 1 , ..., A 12 nuqtalarida proyeksiyalanadi . Rasmda -

ke 82 sharsimon pentagramni tasvirlaydi ( P 1 ).

Shakl 82. Sferik pentagram ( P 1 )

Sharsimon uchburchaklar ( A 1 A 2 A 5 ), ( A 1 A 5 A 3 ),

( A 1 A 3 A 6 ), ( A 1 A 6 A 4 ), ( A 1 A 4 A 2 ), unga qalam -

diagramma ( P 1 ), 0,2 π ga teng va shuning uchun sferikning maydoni

pentagram π ga teng . O'n ikkita sferik qalamning maydoni

P 1 , ..., P 12 teglari 12 π ga teng , ya'ni ular uch marta qoplanadi

soha S .

Ushbu qoplama 12 ta shoxchalarga ega: A 1 , ..., A 12 ,

chunki P ( MSD ) rivojlanishining o'zi dallanayotgan ko'plikka ega

ikkitasi S 1 , ..., S 12 nuqtalarida .

Shunday qilib, markaziy dizaynda ekanligi aniqlandi

kichik yulduzcha dodekaedrining P (MSD) rivojlanishining S sohasida

S sohaning MSD uch marta qoplanishi 12 ta shoxchadan iborat.

ko'plik ikki.

78-bet

Shunga qaramay, biz bunday qoplamaning haqiqiyligini tekshirib ko'rishimiz mumkin.

Riemann - Xurvits formulasi.

Mashqlar

1. Sfera qaysi ko'pburchaklarga 71 va shakllardagi ΣI va DD to'rlari bilan bo'linadi

72? Ularning burchaklari qanday?

2. 73-rasmdagi katta doiralarni to'ldiring. Qaysi ko'pburchaklar

sfera shu doiralar va to'rlarga bo'linadi ΣI, ΣD? Bularning burchaklari qanday?

ko'pburchaklar?

79-bet

79

§ 7. HUQUQNING Sferik tasvirlari

YULDUZ POLITOPLARI

7.1. Sharsimon tasvir haqida tushuncha. Biz qilmaymiz

polyhedraning sferik xaritasi haqida gapirish

vaziyatda, lekin biz oddiy yulduzlarni ko'rib chiqish bilan cheklanamiz

oddiy asosida qurilgan suhbatlashgan ko'pburchak

ikosaedr I , markaziy O bilan S birlik sharchasiga yozilgan .

Uning A 1 , ..., A 12 tepaliklari S sharda yotadi va tepaliklardir

Biz to'g'ri tarmoq Σ men va markazlari B 1 , ..., B 20 20

sohasiga uchburchakda S ichiga, S bo'lgan bir tarmog'i tomonidan bo'lingan

Σ Men , tarmoq uchlari bo'lgan Σ D yorig'i sohaga

12 ta beshburchak.

Agar O nuqtadan yuzga perpendikulyar nur tortilsa

Har qanday oddiy stellated M politopining G , keyin uning

G * ning S shar bilan kesishishi va sharsimon tasvir

bu yuzning Γ S sohada kengayishi (83-rasm).

Shakl 83

Buyuk ikosaedr yuzlarining sharsimon tasvirlari

B 1 , ..., B 20 nuqtalari va sharsimon tasvirlar

qolgan uchta oddiy ko'pburchak yuzlar

12 yuzi bo'lgan kov A 1 , ..., A 12 nuqtalaridir .

80-bet

80

A * polyhedral sharsimon tasvirni qurish uchun

burchagi V uch bilan A va yuzlar Г 1 ,, ..., Г k , u izchillik uchun zarur bo'lgan

S sohada G 1 *, ..., nuqtalarini katta yoylar bilan bog'lash kerak.

G k *, G 1 *. Siz sharda yopiq sharsimon polilinani olasiz

L *, bu sharning A * maydonini cheklaydi - sferik

V burchakning tasviri (84-rasm).

Shakl 84. A tepalikning sferik tasviri

L * polilinali o'zaro kesishishga ega bo'lishi mumkin, masalan

sferik pentagram.

Ichiga joylar tarmoq S I soha satrga S shar bor

dodekedr D va uning mintaqalari tepaliklarining tasvirlari

qaysi sof S D satrga soha S sharsimon tasvirlar bor

vertex icosahedron I ning ifodalari .

Eslatma soha parda ICOS yuzlarida projeksiyonlara S

hedron I - bu ver- ning sharsimon tasvirlari bilan qoplanishi

Dodekaedrning D va aksincha, S sharni proektsiyalar bilan qoplashi

Dodekaedrning yuzlari uning shar shaklida tasvirlanganligi

zheniyami vertex icosahedron I ning .

Ushbu bayonot ikki tomonlama huquqlarga ham taalluqlidir

tebranadigan stellated polyhedra. Keling, tekshirib ko'raylik.

7.2. Yulduz shaklidagi kichkina dodning sferik tasviri -

kaedra. Bunday holda, hamma narsa juda oddiy: sharsimon tasvir

kichik yulduzcha MSD dodekaedrining tepalari va proektsiyasi

buyuk dodekaedr GD ning yuzlari bir xil

sferik beshburchaklar ( Q i

). Keling, bunga ishonch hosil qilaylik.

81-sahifa

81

6-bo'limda barcha 12 ta pentagramlar keltirilgan

dodecahedron kichik stellated MSD yozilgan

icosahedron I . Masalan, 81-rasmdagi A 6 tepaligini ko'rib chiqing .

Yuqorida A 6 pentagramlar birlashadi: P 1 - ko'k, P 2 - ko'k

nyaya, P 9 - qora, P 10 - qizil, P 5 - sariq.

Fericheskim tasviri bilan P 1 nuqta A 1 ,

P 2 yuzining sferik tasviri A 2 nuqta , sferikdir

P 9 yuzining tasviriy tasviri A 9 nuqta , shar shaklida

P 10 yuzining tasviri A 10 nuqta va shar shaklida

P 5 yuzining tasviri A 5 nuqtadir . Sifatida Natijada, men qabul

Chili sharsimon image degan A 6 uch yil * A 6 kichik

stdated dodecahedron MSD konveks sharsimon

beshburchak ( A 1 A 2 A 9 A 10 A 5 ), ya'ni katta Q 6 yuzining proektsiyasi

dodekaedron GD (85-rasm).

Shakl 85. Yuqori A 6 MSD ning sferik tasviri

Kichik stelled MSD dodekaedrining yuzlarini sanab chiqish

§ 6da keltirilgan.

Kichik stodli dodekaedrning boshqa barcha tepalari haqida

MSD shunga o'xshash dalillarni amalga oshirishi mumkin. Shunday qilib oldin -

teorema ko'rsatilgan.

Teorema. Sferik uchun olingan sharning qoplamasi

kichik stellated dodecahedron MSD , mos keladi

Sahifa 82

82

markaz uchun olingan sharsimon qopqoq bilan

buyuk dodekaedron GD ni loyihalash .

7.3. Katta dodekaedrning sferik tasviri.

Biz ko'rib chiqayotgan buyuk dodekaedron GD ham o'ziga xosdir

uning tepalarida A i nuqtalari bor

... Va uning qirralari ko'pburchakdir

tepalari A i nuqtalar bo'lgan Q 1 , ..., Q 12 niklari

... Ular