Yaqinlashuvchi qatorning qoldig’i

28-misol. Ushbu

qatorni tekshiring.
Agarda bo’lsa

va ,natijada

Agarda bo’lsa ,u holda

yig’indining barcha hadlari nolga teng va yig’indi chegaralangandir. Demak, barcha larda

yig’indilar chegaralangandir.
Bundan tashqari ketma-ketlik monoton kamayib nolga intiladi.Aniqlanganlarni jamlasak, (3)qatorni Dirixle teoremasining shartlarini qanoatlantirishini va demakki (3) qatorning yaqinlashishini hosil qilamiz.
Dirixle teoremasidan ishorasi almashinuvchi qatorlar haqidagi Leybnits teoremasini keltirib chiqarish mumkin.Haqiqatan

qatorni qarasak, Leybnits teoremasiga ko’ra

va bo’lib, bundan tashqari

ekanligidan

Teorema (Abel) ketma-ketlik monoton va chegaralangan,

qator esa yaqinlashuvchi bo’lganida

qator ham yaqinlashadi.
Isboti. Shartga ko’ra ketma-ketlik chegaralangan, demak shunday son topiladiki, barcha larda bo’ladi.
Bizga berilgan bo’lsin.

qatorning yaqinlashuvchiligiga binoan shunday topiladiki, barcha larda va barcha butun larda

Shu sababli barcha larda va barcha butun larda

bo’lib, qator yaqinlashuvining yetarli shartiga muvofiq

qator yaqinlashadi deb xulosa qilamiz.
29-misol. Ushbu

qatorni tekshiring.
Dirixle teoremasiga ko’ra

qator yaqinlashuvchi, chunki ketma-ketlik monoton ravishda nolga intiladi hamda
qatorning xususiy yig’indilari 28-misolga ko’ra chegaralangan. Bulardan tashqari ketma-ketlik monoton va chegaralangan. U holda Abel teoremasiga ko’ra

qator ham yaqinlashadi.