Yaqinlashuvchi qatorning qoldig’i

Birinchi hol. (1) musbat qator bo’lsin.Belgilashlar kiritaylik:

Qaralayotgan holda (1) musbat qatorning yig’indisini A ga teng deb olganimiz uchun

tensizlik barcha n larda bajariladi, (2) qatorning aniqlanishiga ko’ra

bo’lgan sababli deb olganimizda

bo’ladi. (3) tengsizlik (2) qatorning yaqinlashuvchiligini ko’rsatib, yig’indisi
uchun

tengsizlik bajariladi. O’z navbatida (1) qator (2) qatorning hadlarini o’rinlarini almashtirishdan hosil bo’lgani uchun yuqoridagicha mulohazalarga ko’ra

tensizlikni hosil qiladi. Shuni isbotlamoqchi edik.
Ikkinchi hol. (1) qatorning hadlari ixtiyoriy ishorali bo’lsin.Teorema shartiga ko’ra

qator yaqinlashuvchi bo’lib , birinchi holgako’ra uning hadlarini almashtirishdan hosil bolgan har qanday qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi . Oxirgi jumla (1) qator absolyut yaqinlashuvchiligini ko’rsatadi . Bizga malumki absolyut yaqinlashuvchi qatorning yig’indisi shu qatorning musbat hadlaridan tuzilgan qator yig’indisidan manfiy hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilga qator yig’indisini ayirish natijasida teng. Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar tenglamasidagi belgilashlarimizga ko’ra , bu holda

bo’lib , bu yerda

Shunga o’hshash (2)ni ham

shaklida yozib olish mumkin bo’lib bu yerda

qatorlar mos ravishda qatorlarning hadlarini o’rinlarini almashtirishdan hosil bo’lgan qatorlardir.Birinchi holga ko’ra


Bo’lgandan (6) va (7) larga ko’ra teoremani to’g’riligiga kelamiz. Shu bilan teorema to’la isbot bo’ldi . Shartli yaqinlashuvchi qatorlar uchun isbotlangan teoremaning to’g’ri emasligiga misol yordamida ishonch hosil qildik.
27-misol. 24- misoldan ma’lumki ,

qator yaqinlashuvchidir. Qatorning yig’indisini A bilan belgilaylik. U holda

bo’lib, ikkala tomonni 2 ga bo’lish bilan aniqlaymizki,

Hosil bo’lgan bu qatorni dastlabki qator bilan yonma-yon yozib olaylik


Yaqilashuvchi bu qatorlarning qo’shsak

bo’lib tenglamaning chap tomonida turgan qator berilgan qatorning hadlarini o’rinlarini almashtirishdan hosil bo’lgan qator bo’lib , yig’indisi esa berilgan qator yig’indisidan farqlidir.
Qaralgan qator shartli yaqinlashuvchi qator bo’lib, bunday qatorlar uchun uning hadlarini o’rinlarini almashtirishda yig’indining o’zgarishi tasodifiy bo’lmay, balki quyidagi ajoyib teorema o’rinli ekan.