Yaqinlashuvchi qatorning qoldig’i

=3 , = , = , = , , ,

= , = , = , = ,
ko’rinishida bo’lib, xar ikkalasi xam <1 ga intiladi, natijada Koshi belgisiga ko’ra tekshirilayotgan qator yaqinlashadi. Yana

ketma-ketlikni qaraganimizda xam nisbatning limiti mavjud emasligiga

limitni esa mavjudligiga ozgina ishonch hosil qilish mumkin. Bunday hol tasodifiy bo’lmay balki Koshi tomonidan isbotlangan quyidagi teorema to’g’ridir .
Teorema . Musbat hadli { } ketma-ketlik uchun

limit mavjud bo’lganda

Limit ham mavjud va
=
Bo’ladi.
Isbot. Dastlab = >0 bo’lgan holni ko’raylik. U holda limitning ta’rifiga ko’ra ixtiyoriy uchun shunday p son topiladiki barcha n p larda
- < + (*)

Bo’adi . Ketma –ketlikning dastlabki cheklita hadlarini o’zgartirish uning yaqinlashishini buzmagani uchun (*)tengsizliklar barcha n 1 larda o’rinli deb olishimiz mumkin . Bundan tashqari ni - >0 shart bilan olingan deb hisoblaymiz. U holda hosil bo’ladigan

- < +
- < +

- < +
tengsizliklarni hisoblab ko’paytirsak
<

bo’lib , natijada

<

xamda
=1, = , =

bo’lganidan n ning qandaydir qiymatidan boshlab
- < +

Tengsizliklar bajarilida , bu esa

=
ekanligini bildiradi .
Endi =0 deb qaraylik . u holda n ning qandaydir qiymatidan boshlab 0< < tengsizliklarni yoza olamizki , yuqoridagi o’xshash ular barcha n 1 larda bajariladi deb qarashimiz mumkin.
Bu holda
0 < = <
yoki
0 <

Bo’lib , bu tengsizliklar

=0
Tenglikning to’g’riligiga olib keladi . Shu bilan teorema to’la isbotlandi .
Yuqorida isbotlangan teorema ko’rsatadiki musbat qator yaqinlashuvinng Koshi belgisi Dalamber belgisidan kuchliroq ekan . Xususan =1 bo’lganida Koshi belgisiga murojat qilmaslik kerak chunki bu holda =1 bo’ladi.
Makloren-Koshining integ’ral belgisi
Qator yaqinlashuvining quyidagi belgisi xosmas integralga asoslangandir.
Teorema (Makloren-Koshi). f(x) funksiya [1,+ ] oraliqda uzluksiz, musbat va m onoton kamayuvchi bo’lsin. U xolda xosmas integral va qator bir vaqtda yaqinlashadi .
Isboti. Teorema shartlariga ko’ra k va x bo’lganida

f(k+1) f(x) f(k)

bo’lib, tengsizliklarni integrallashga ko’ra

yoki
f , k
tengsizliklarni xosil qilamiz. Bu tengsizliklarda k=1,2,3,4……n-1 deb olib natijalarni xadlab ko’shsak

yoki
(*)
Tengsizliklar xosil bo’lada. Xosmas integral mavjud va A teng deb olaylik. U xolda f(x) >0 shartga ko’ra integral n bo’yicha monotom o’suvchiligidan ixtiyoriy n da . Natijada (*) tengsizliklarga ko’ra .
f(1)+f(2)+…+f(n) +f(1),
ya’ni musbat qatorning xususiy yig’indilari ketma – ketligi yuqoridan A+f(1) bilan chegaralangan.
Endi musbat qator yaqinlashuvchi va yig’indisi B ga teng deb olaylik .
U xolda yana (*) dan bo’lib, natijada xosmas
Integraling mavjudligiga kelamiz.
Eslatma. Isbotlash teorema yordamida qatorning tekshirish uchun oraliqda musbat , uzliksiz, monotom kamayuvchi xamda ixtiyoriy n yoki = f(n) bo’ladigon f(x) funksiyani aniqlashdan boshlash kerak . Buning uchun ning ifodasida n ni x ga almashtirishdan xosil bo’lgan funksiyani f(x) bilan belgilanadi.
22-misol. Ushbu

qatorni tekshiring.

Yechilishi. Tekskirilayotgan qator bo’lib n ni x ga almashtirishdan xosil bo’lgan f(x) = funksiyani qaraylik. Bu funksiya oraliqda musbat , uzliksiz, kamayuvchi va olishimizga ko’ra f(n)= .

U xolda
=

bo’lib, integral belgiga ko’ra , tekshirilyotgan qator uzoqlashadi

Maklaren - Koshi teoremasini isbotlashda xosil qilingan (*) tengsizliklar yordamida quydagi sodda ammo muhim natijani xosil qilish mumkin.
Faraz qilaylik f(x) funksiyani Koshi - Makloren teoremasining shartlarini qanoantlantirsin. Ushbu
f(n)+f(n+1)+…+ f(n+p)
yig’indini n va p musbat sonlar cheksizlikka intilganida o’rganaylik. Ma’lumki , umumiy xadi f(n) bo’lgan qator yaqinlashganida o’rganilayotgan yig’indi nolga intiladi, chunki u qatorning xar biri qator yig’indisiga intiluvchi n+p va n-1 - xususiy yig’indilari ayirmasidan iboratdir. (*) tengsizliklarga asosan

bo’lib, bunong ustiga =0 deb olsak , natijada

tenglikni xosil qilamizki oxirgi limit n va p larning qanday qonun bilan cheksizlikka intilishiga bog’liqdir. Shunday qilib biz quydagi teoremani isbotlaymiz.
Teorema. f(x) funksiya oraliqda musbat, uzluksiz va monotom kamayuvchi bo’lib , =0 bo’lsin. Agarda qator uzoqlashsa

bo’ladi.
23-misol. Ushbu
(
limitni toping.
Yechilishi. Bu yerda f(x)= bo’lib , u yuqoradidagi teoremaning shartlarini qanoantlantirgani uchun xamda p=n ekanligiga ko’ra teorema tasdiqlangan tenglikdan aniqlaymizki.
( = = =
= = = = ln2
demak,

( ln2
O’rni kelganda shuni eslatib o’tamizki, yaqinlashuvchi qatorlar uchun o’rinli bo’lgan ammo o’xshash xosmas integrallarda mavjud bo’lmagan quydagi xossa mavjuddir. Ya’ni , qator yaqinlashuvchi bo’lganida doimo f(n)=0 bo’ladi, ammo xattoki musbat f(x) uchun xam
Xosmas integralning yaqinlashishidan tenglik doimo kelib chiqarmaydi. Grafigi quyidagicha bo’lgan f(x) funksiyani qaraylik.
1

1 2 3
Funksiya uchun maksimum beradigan x= 1,2,3,…… nuqtalar ordinata birga teng bo’lib , n- uchburchakning asosi ga teng. Bunday uchburchakning yuzi ga teng bo’lib, n ning ixtiyoriy qiymatida va demak integral yaqinlashadi. Ammo ishonchimiz komilki f(x) nolga intilmaydi.

Ishorasi almashinuvchi qatorlar.

Leybnis teoremasi.
Agarda berilgan qatorning toq kelayotgan xadlari musbat va juft o’rinda kelayotgan xadlari manfiy bo’lsa ( yoki aksincha ) odatda bunday qatorni ishorasi almashinuvchi qator deyiladi.
Masalan,
1- - + -…..
qator ishorasi almashinuvchi qatordir. Qulaylik uchun qatorning birinchi xadini musbat deb olsak ishorasi almashinuvchi qatorni
+ - +…..+ +…..
ko’rinishda yozish mumkin bo’lib, bu yerda >0 .
Ishorasi almashinuvchi qatorlar uchun qator yaqinlashuvining sodda
Yetarli sharti quydagi Leybnis, teoremasinida ifodalangandir.
Teorema (Leybnis belgisi). Agarda

1. 
   > > >…..>0,
   
2. 
   =0
   

bo’lsa, u xolda ishorasi almashinuvchi
+ - +…..+ +…..
qator yaqinlashadi.
Isboti. Qatorning n - xususiy yig’indisini bilan belgilaydi. U xolda
=( ( +…. +(
Bo’lib, barcha ,…. ayirmalar musbatligiga ko’ra ( teorema shartiga ko’ra > ) { ketma - ketlik monotom o’suvchidir. Bundan tashqari . ni
= …. +( ]
ko’rinishda yozish mumkin bo’lib , natijada < . Demak { } qismiy ketma - ketlik monotom o’suvchi va chegaralangandir. U xolda Beyershtrass teoremasiga ko’ra = A limit mavjud. Buning yordamida aniqlaymiz,
= =
U xolda ketma - ketlikni ajratish xaqidagi teoremaga ko’ra =A tenglikga kelamizki bu esa tekshirilyotgan ishorasi almashinuvchi qatorning yaqinlashuvchi va yig’indisi A ga tengligini bildiradi.
Eslatma. Teoremani isbotlashga keltirib chiqardikki, doimo < bo’lib, natijada qator yig’indisi 0 < A < tengsizlik o’rinlidir. Oxirgi tengsizlik esa ishorasi almashinuvchi qatorning yig’indisi qatorning birinchi xadidan oshmasligini ko’rsatadi va biz bundan ishorasi almashinuvchi qatorning qoldig’ini baxolashda kelgusida foydalanamiz. 24-misol. Ushbu

1. 
   
   

qator tekshirilsin.
Yechilishi . Bu qatorda = bo’lib barcha n larda .

1. 
   >
   
2. 
   = 0
   

ya’ni Leybnis teoremasining shartlari bajarilgani uchun tekshirilyotgan qator yaqinlashadi.
Absolyut va shartli ya’qinlashuvchi qatorlar
Qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli shartini masalalar yechishga tadbiq qilish anchagina qiyinligi sababli ya’qinlashishini soddaroq bositalar bilan aniqlanishini mumkin bo’lgan qatorlar sinfini o’rganish zaruriyati tug’iladi:
Umuman olinganida qatorlarni xadlarining ishoralariga nisbatan quydagi uchta sinflarga ajratish mumkin:
xadlari qandaydir no’meridan bo’shlab musbat;
xadlari qandaydir no’meridan boshlab manfiy;
xadlarining cheksiz ko’pi musbat va cheksiz ko’pi.
Qatorning dastlabki cheklita xadlarini o’zgartirish qatorning yaqinlashishiga ta’sirqilmasligi (biz sinfni ko’zda tutayapmiz), xamda yaqinlashuvchi qatorning xamma xadlarini bir xil songa ko’paytirish mumkinligi ( sinf ) va sinflarni musbat qatorlarni tekshirish bilan o’rganish mumkinligini ko’rsatadi. sinfga kirgan qatorlarni o’rganishda bu sinfdan olingan ixtiyoriy
+ +…+ +…
Qatorning yaqinlashishini tekshirish bu qator xadlarining absolyut qiymatlarida tuzilgan
| + +…+ +…
Qatorni yaqinlashishini tekshirishga keltirish mumkin ekan.
Teorema (Koshi). Agarda
| + +…+ +…

qator yaqinlashsa, u xolda

qator ham yaqinlashadi va
(2)
bo’ladi.
Isboti.(1) qator yaqinlashuvchiligiga ko’ra

deb olib

Belgilashni kiritaylik.U holda

bo’lib natijada

Tengsizliklarga ko’ra musbat hadli

Qatorlar yaqinlashuvchidir.Ravshanki.

bo’lib,

deb olsak yaqinlashuvchi qatorlarni qo’shish va yaqinlashuvchi qatorlarni songa ko’paytirish haqidagi teoremaga ko’ra

ko’ra yaqinlashadi va
.

Aniqlashimizga ko’ra bo’ladi

bo’lib bu esa isbotlashimiz kerak bo’lgan (2) tengsizlikdir.Shu bilan teorema to’la isbot .
Teoremani isbotlashdagi belgilashlarga ko’ra

bo’lib,natijada teorema shartlarida belgilangan qatorning yig’indisini toppish uchun qatorning musbat hadlaridan tuzilgan qator yig’ondisiga manfiy hadlardan tuzilgan qator yig’indisni qo’shish kerakligi hosil qildi.
Tarif.Yaqinlashuvchi

Qatorni, uning hadlarini absolyut qiymatlaridantuzilgan

qator yaqinlashuvchi bo’lganidan asolyut yaqinlashuvchi qator deyiladi
Tarif.Yaqinlashuvchi

qatorni, uning hadlarini absolyut qiymatlaridan tuzilgan.

qator uzoqlashuvchi b’lganida shartli yaqinlashuvchi qator dayiladi.
24-misolda berilgan qator shartli yaqinlashuvchi qatordir.
Isbotlangan teorema yordamida qatorning absolyut yaqinlashuvchiligining quyidagi yetarli shartlarni keltirish mumkinki u bizga 3-sinfga kirgaanda qatorlarni tekshirish imkonini beradi.