Yaqinlashuvchi qatorning qoldig’i

Teorema. Eyler o`zgarmasi deb ataluvchi ushbu limit

mavjuddir.
Isboti. (1) tengsizliklarda k=1,2,3, … ,n -1 deb olishdan hosil bo`lgan tengsizliklarni hadlab qo`shsak,
1+
bo`lib, bundan esa
0< (
yoki
1>1+ (2)
Agarda 1+ deb olsak (2) ga ko`ra quyidan chegaralangan va (1) ga ko`ra

bo`lganidan monoton kamayuvchidir. Shu sababli Veyershtrass teoremasiga ko`ra

mavjud. Shuni isbotlash kerak endi.
Isbotlangan bu teoremadan garmonik qatorning n-xususiy yig`indisining cheksizlikka o`sish tartibini ko`rsatuvchi ajoyib
1+ (3)
tenglikni hosil qilamiz. O`rni kelganda shuni aytish mumkinki, dastlabki o`nli hadlari ko`rinishida bo`lgan Eyler o`zgarmasining ratsional yoki irrotsionalligi hozirgacha aniqlanmagan.
13-misol. (3) tenglikdan foydalanib
1
tenglikni isbotlang.
Isboti. Agarda isbotlanishi talab qilinayotgan tenglikning chap tomonidagi qatorning - xuxusiy yig`indisini bilan belgilasak,
1
=(1
= (1
=
bo`lib, (3) ga ko`ra ekanligidan
(4)
Bundan tashqari tenglikka ko`ra
(5)
(4) va (5) larni birgalikda

ya`ni isbotlanishi talab qilingan tenglikni hosil qiladi.

Sonli qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli sharti.
Bizga
(1)
qator berilgan bo`lsin. Ma`lumki, (1)qatorning yaqinlashishi bu qator uchun tuzilgan xususiy yig`indilar ketma-ketligi ning chekli limitga egaligini bildiradi.O`z navbatida ketma-ketlik chekli limitga ega bo`lishi uchun Koshi-kriteriysini qanoatlantirish zarur va yetarlidir, ya`ni ixtiyoriy >0 uchun shunday M>0 son topilib, barcha n>M va m>M larda
(*)
tengsizlikning bajarilishi ketma-ketlikning chekli limitga ega bo`lishi uchun zarur va yetarlidir.
Ta`rifga ko`ra
=
ekanini hisobga olsak, (1) qator yaqinlashuvchining zaruriy va yetarli shartini (*) dan hosil qilamiz:

1. 
   qator yaqinlashishi uchun ixtiyoriy >0 ga ko`ra M>0 son topilib, barcha n>M
   

va m>M larda

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir.