Yaqinlashuvchi qatorning qoldig’i

16-misol. Ushbu

qatorni tekshiring, bu yerda s-ixtiyoriy haqiqiy son.
Yechilishi. a) s bo`lganda ya`ni tekshirayotgan qatorning har bir hadi garmonik qatorning mos hadidan kichkina bo`lmagani sababli xususiy yig`indilari yuqoridan chegaralanmagan va bundan tashqari qator musbatligiga ko`ra yuqoridagi teoremadan kelib chiqadiki, tekshirayotgan qatorning yig`indisi + ga teng bo`lib, qator uzoqlashuvchidir.
b) s>1 bo`lganda s=1+ ( deb olaylik.
bilan tekshirilayotgan qatorning n- xususiy yig`indisini belgilab uning qismiy ketma-ketligini qaraylik. Hisoblasak,
<

va


Oxirgi tengsizlik ko`rsatadiki, qaralayotgan qatorning xususiy yig`indilari ketma-ketligi ning qismiy ketma-ketligi bo`lgan ketma-ketlik, yuqoridan son bilan chegaralangan. U holda ning o`zi ham shu son bilan chegaralangan bo`lib, teoremaga ko`ra tekshirilayotgan qator yaqinlashuvchidir. Demak,

qator

1. 
   s bo`lganda uzoqlashuvchi;
   
2. 
   s>1 bo`lganda yaqinlashuvchi.
   

Musbat qatorlarni taqqoslash haqidagi teoremalar
Musbat qatorlarni tekshirish uchun hadlarini qandaydir yaqinlashuvchi qatorning mos hadlaridan ortmasligini yoki qandaydir uzoqlashuvchi qatorning mos hadlaridan kichkina emasligini ko`rsatish bilan olib boriladiki, bunday taqqoslash quyidagisodda teoremaga asoslangandir.
1-teorema. Musbat
(1)
va
(2)
qatorlar berilgan bo`lib, barcha n larda
0 (3)
bo`lsin. U holda :

1. 
   (2) qator yaqinlashsa,(1)qator ham yaqinlashadi va
   

bo`ladi;

2. 
   (1) qator uzoqlashsa (2) qator ham uzoqlashadi.
   

Isboti. (2) qator yaqinlashuvchi va deb olaylik. U holda musbat qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli shartiga ko`ra barcha n larda bo`lib undan esa (3) ga ko`ra bo`ladi. Oxirgi tengsizlik esa (1) qatorning yaqinlashishini va yig`indisi B dan ortmasligini bildiradi. Shu bilan

1. 
   hol to`la isbotlandi.
   
2. 
   holning isbotini teskarisini faraz qilish bilan a) holdan osongina keltirib chiqariladi.
   

Eslatma. Qatorning dastlabki cheklita hadlarini o`zgartirish qatorning yaqinlashishini yoki uzoqlashishini o`zgartirmagani uchun (3) tengsizliklar n ning qandaydir qiymatidan boshlab bajariladi deb hisoblash mumkin.
Ba`zan amalda 1-teoremadan kelib chiqadigan, quyidagi teorema foydalanishga qulayroqdir.
2-teorema. Musbat

va

qatorlar uchun

limit mavjud bo`lsin. U holda 0Isboti. Ma`lumki teorema shartlarida ixtiyoriy >0 uchun n ning qandaydir qiymatidan boshlab

va bo`lgani uchun

tengsizliklar bajariladi. Oxirgi tengsizliklardan esa deb qaraymiz) 1- teorema va unga eslatma hamda yaqinlashuvchi qatorlarni songa ko`paytirish haqidagi teoremalar yordamida 2-teoremaning to`g`riligiga kelamiz.