Riman teoremasi.Shartli yaqinlashuvchi har qanday qator hadlarining o’rinlarini shunday almashtirish mumkinki, natijada hosil bo’lgan qatorning yig’indisi oldindan berilgan ixtiyoriy L (chekli son yoki ) ga teng bo’ladi.
Bu yerda teoremaning isbotini keltirmaymiz.
Absolyut yaqinlshuvchi qatorlarni ko’paytirish.
Bizga berilgan
va
qatorlar orqali hosil qilingan ushbu
qatorni berilgan (1) va (2) qatorlarning Koshi bo’yicha ko’paytmsi deyiladi.
Masalan.
geometrik qatorlarning ko’paytmasini topaylik.
Tarifga ko’ra:
bo’lib, xosil bo’lgan qator yaqinlashuvchiva yig’indisi berilgan yig’indilarning ko’paytmasiga tengdir. Bunday xolning ro’y berishi (3) qatorni (1) va (2) qatorlarning ko’paytmasi deb tariflash ma’noliligiga ishora bo’lib , bundan tashqari tasodifiy emasdir.
Teorema. Absolyut yaqinlashuvchi (1) va (2) qatorlarning Koshi bo’yicha (3) ko’paytmasi absolyut yaqinlashuvchi qator bo’lib, yig’indisi (1) va ( 2) qatorlar yig’indilarining ko’paytmasiga teng.
Isboti.Belgilashlar kiritaylik:
Dastlabki (1) va (2) lar yaqinlshuvchi musbat qatorlar bo’lgan holni qaraylik.
Quyidagi chaksiz jadvalni tuzaylik
Qaralayotgan holda jadvalning elementlari musbat bo’lib , bundan tashqari ko’paytma qatorning hadlari musbat va chiziqlar bilan tutashtirilgan hadlar yig’indilaridan iboratdir. U holda jadvaldan osongina ko’ramizki
ya’ni (3) musbt qatorning hususiy yig’indilari ketma-ketligi yuqoridan chegaralandir. Bu esa (3) ning yaqinlashuvchiligini, yani ning mavjudligini ko’rsatadi. Yana jadvalga murojat qilsak
bo’lib, bu tengsizliklarga ko’ra va limit mavjud.
Ekanligidan aniqlaymizki,
bo’ladi.Shu bilan teorema qaralayotgan holda to’la isbotlandi.
Edi (1) va (2) qatorlar ixtiyoriy absolyut yaqinlshuvchi bo’lgan holni qaraylik. Belgilashlarimizga ko’ra
bo’lib, tengsizlikning o’ng tomonida turgan yig’indi yaqinlashuvchi
bo’yicha ko’paytmasining n- xadidir. Bunday (musbat) xadlaridan tuzilgan ko’paytma qatorning yaqinlashuvchiligini yuqorida ko’rip o’tdik. Shu sababli
qator absolyut yaqinlashuvchidir. Bulardan esa o’z navbatida limitlarining mavjudligi kelib chiqadi. Ya’ni jadvaldan aniqlaymizki
Bo’ladi .Bu tengsizliklarga ko’ra tenglikdan aniqlaymizki,
yoki
Isbotlanishiga ko’ra,
mavjudligidan
bo’lib,shuni isbotlamoqchi edik. Teorema to’la isbotlandi.
Isbotlangan teoremaning shartlarini biroz kuchsizlantirish mumkin.
Masalan, qatorlardan birini yaqinlashuvchi va ikkinchisini absolyut yaqinlashuvchi deb olinganida ham Koshi ma’nosidagi ko’paytma qator yaqinlashuvchi bo’ladi.Ammo ikkala qator ham shartli yaqinlashuvchi bo’lganida ularning Koshi bo’yicha ko’paytmasini bildiruvchi qator uzoqlashishi mumkin.
Masalan,
qatorni qarasak, u Leybnits teoremasiga ko’ra yaqinlashuvchidir. Bu qatorni o’z-o’ziga ko’paytmasini aniqlasak,
bo’lib, bo’lganida
har ikkala qo’shiluvchisi musbatligiga ko’ra bo’ladi. Oxirgi tengsizlikdan aniqlaymizki,
Demak, ko’paytma qatorda ichkaridagi yig’indining har bir qo’shiluvchisi dan katta bo’lgani sababli,butun ifoda absolyut qiymati bo’yicha birdan katta bo’lib,natijada qator yaqinlashuvining zaruruiy sharti buzilgani tufayli ko’paytma qator uzoqlashuvchidir.
Do'stlaringiz bilan baham: |