Yaqinlashuvchi qatorning qoldig’i

Abel almashtirishi. H Qator yaqinlashuvining Dirixle va Abel belgilari

Bizga va haqiqiy sonlar berilgan bo’lsin. Ular yordamida

yig’indi tuzaylik. Agarda

belgilashlarni kiritsak, natijada

va

Demak,

bo’lib,S uchun hosil qilingan bu ko’rinishni Abel almashtirishi deyiladi.agarda oxirgi tenglikni

ko’rinishda yozib olsak, uni bo’laklab integrallash formulasini eslatishini his qilish qiyin emas.
Abel tengsizligi. Agar barcha larda yoki barcha larda

va ixtiyoriy uchun

bo’lsa,

bo’ladi.
Isboti: Qaralayotgan shartlarda ayirma ishorasini o’zgartirmagani sababli

Abel tengsizligida

ni yuqoridan chegaralovchi son larga bog’liqligini, ammo hadlar soniga bog’liq emasligini ta’kidlab o’tamiz.
Teorema (Dirixle).Bizga

qator berilgan bo’lib,unda ketma-ketlik monoton ravishda nolga yaqinlashuvchi va

qatorning xususiy yig’indilari ketma-ketligi chegaralangan bo’lsin.u holda


qator yaqinlashadi.
Isboti. Buning uchun qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli shartini tekshiramiz.
ketma-ketlik chegaralanganligi sababli shunday son topiladiki, barcha larda bo’ladi. Unga ko’ra ixtiyoriy va ixtiyoriy butun uchun

bo’ladi.
Bizga berilgan bo’lsin.Teoremaning shartiga ko’ra shunday topiladiki, barcha larda

bo’ladi. Endi deb hisoblab,

yig’indiga Abel tengsizligini qo’llaylik va (1) hamda (2) tengsizliklardan foydalanaylik. U holda

bo’lib, bu tengsizlik esa qator yaqinlashuvining yetarli shartidan iboratdir.