Xosmas integrallarning umumiy holi

2⁰. Dirixle-Abel’ alomati. Faraz qilaylik,

ixtiyoriy haqiqiy sonlar ketma-ketliklari bo`lib,

bo`lsin. U holda uchun
(4)
munosabat o`rinli bo`ladi.
Odatda, (4) munosabat Abel’ ayniyati deyiladi.
◄ Ravshanki, bo`ladi. Unda

yig`indi ushbu ko`rinishga
(5)
keladi. Bu tenglikning o`ng tomonidagi birinchi qo`shiluv-chini quyidagicha:
,
ikkinchi qo`shiluvchini esa quyidagicha

yozib olamiz.
Natijada (5) tenglik quyidagicha:


bo`ladi. ►
2-teorema (Dirixle-Abel’ alomati). Aytaylik,
(6)
qator berilgan bo`lsin. Agar:
1) ketma-ketlik kamayuvchi va u cheksiz kichik miqdor,
2) qatorning qismiy yig`indilari ketma-ketligi chegaralangan bo`lsa, (6) qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
◄ Agar qatorning qismiy yig`indisini

desak, unda teoremaning shartiga ko`ra, shunday son topiladiki, barcha uchun
(7)
bo`ladi.
SHartga ko`ra ketma-ketlik kamayuvchi va u cheksiz kichik miqdor. Unda ga ko`ra shunday topiladiki, da
(8)
bo`ladi.
Endi

yig`indiga Abel’ ayniyatini qo`llaymiz:
.

Natijada

bo`ladi.
(7) tengsizlikdan foydalanib topamiz:

Agar

bo`lishini e`tiborga olsak, unda

bo`lib, (8) munosabatga ko`ra

bo`ladi. Bundan Koshi teoremasiga ko`ra qatorning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi. ►
Misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin, bunda tayinlangan haqiqiy son.
◄ Agar bo`lsa, berilgan qator

garmonik qator bo`lib, u uzoqlashuvchi bo`ladi.
Aytaylik, bo`lsin. Berilgan qatorda

belgilashlarni bajaramiz.
Ravshanki, ketma-ketlik kamayuvchi va cheksiz kichik miqdor bo`ladi da .
Endi qatorning qismiy yig`indisi ni topamiz:


Keyingi munosabatdan, ga karrali bo`lmagan lar uchun

bo`lishi kelib chiqadi. Demak, ketma-ketlik chegaralangan. Unda berilgan qator 2-teoremaga ko`ra yaqinlashuvchi bo`ladi.►


Mashqlar

1. 
   Ushbu
   

munosabatda xatolik topilsin.

2. 
   Ushbu
   

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.