Xosmas integrallarning umumiy holi

1-eslatma. Koshi alomatidagi (2) va (3) tengsizliklar ning biror qiymatidan boshlab bajarilganda ham tasdiq o`rinli bo`ladi.
2-eslatma. Koshi alomatining limit ko`rinishidagi ifodasida bo`lsa, u holda (1) qator yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham bo`lishi mumkin.
2<sup>0</sup>. Dalamber alomati. Agar musbat hadli
(1)
qatorda barcha uchun
(4)
bo`lsa, (1) qator yaqinlashuvchi bo`ladi;
(5)
bo`lsa, (1) qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
◄ Aytaylik, (1) qator hadlari uchun

bo`lsin. Bu tengsizlikni quyidagicha

yozish mumkin.
Ravshanki,

qator (geometrik qator) yaqinlashuvchi. 50-ma`ruzada kelti-rilgan 3-teoremadan foydalanib, berilgan qatorning yaqin-lashuvchi bo`lishini topamiz.
(1) qator hadlari uchun

bo`lganda (1) qatorning uzoqlashuvchi bo`lishini aniqlash qiyin emas. ►
Dalamber alomatining quyidagi limit ko`rinishidagi tasdiqidan foydalaniladi.
Faraz qilaylik, musbat hadli (1) qatorda

limit mavjud bo`lsin. U holda :
1) bo`lganda (1) qator yaqinlashuvchi bo`ladi,
2) bo`lganda (1) qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
2-misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
◄ Berilgan qator uchun

bo`lib,

bo`ladi. Ravshanki,
.
Demak, , berilgan qator yaqinlashuvchi. ►
3-eslatma. Dalamber alomatidagi (4) va (5) tengsizlik-lar ning biror qiymatidan boshlab bajarilganda ham tasdiq o`rinli bo`ladi.
4-eslatma. Dalamber alomatining limit ko`rinishidagi ifodasida bo`lsa, u holda (1) qator yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham bo`lishi mumkin.
3⁰. Integral alomat. Faraz qilaylik, musbat hadli

qator berilgan bo`lsin. Ayni paytda, oraliqda beril-gan funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1) funksiya da uzluksiz,
2) funksiya da kamayuvchi,
3) da
4) .
Bunda berilgan qator ushbu

ko`rinishga keladi.
YUqoridagi shartlardan foydalanib, bo`lganda
, ya`ni
bo`lishini topamiz. Keyingi tengsizlikni oraliq bo`yicha integrallash natijasida
(6)
bo`lishi kelib chiqadi.
Endi berilgan

qator bilan birga ushbu
(7)
qatorni qaraymiz. Bu qatorning qismiy yig`indisi

bo`ladi.
Aytaylik, funksiya oraliqda funksiya-ning boshlang`ich funksiyasi bo`lsin:
Uni quyidagicha

ifodalash mumkin. Natijada

bo`ladi.
Agar da chekli songa intilsa, (bu holda (7) qatorning qismiy yig`indisi chekli limitga ega bo`ladi) unda (7) qator yaqinlashuvchi.
Binobarin, ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo`ladi. (6) munosabatga ko`ra berilgan qator-ning qismiy yig`indilaridan iborat ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo`lib, musbat hadli qatorlarning yaqinlashuv-chiligi haqidagi teoremaga muvofiq berilgan qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
Agar da bo`lsa, berilgan qator uzoqla-shuvchi bo`ladi.
SHunday qilib, quyidagi integral alomatga kelamiz.