Xosmas integrallarning umumiy holi

1-misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
◄ Ravshanki, bu qator hadlari uchun

tengsizlik o`rinli bo`ladi.
Natijada berilgan qatorning har bir hadi yaqinla-shuvchi qatorning (geometrik qatorning) mos hadidan kichik. 2-teoremaga muvofiq berilgan qator yaqinlashuvchi bo`ladi. ►
3-teorema. Faraz qilaylik, musbat hadli va qatorlarning umumiy hadlari uchun

bo`lsin. U holda:
1) bo`lib, qator yaqinlashuvchi bo`lsa, qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi.
2) bo`lib, qator uzoqlashuvchi bo`lsa, qator ham uzoqlashuvchi bo`ladi.
◄ Aytaylik, bo`lib, qator yaqinlashuvchi bo`lsin.
Ravshanki,
:

Bundan esa, qator yaqinlashuvchi bo`lgani uchun 2-teoremaga ko`ra qatorning yaqinlashuvchiligi kelib chiqishini topmaiz.
Aytaylik, bo`lib, qator uzoqlashuvchi bo`lsin.
Ravshanki, va bo`lishidan uchun ya`ni bo`lishi kelib chiqadi. 2-teoremadan foydalanib qatorning uzoqlashuvchi bo`li-shini topamiz. ►
Natija. Musbat hadli va qatorlar uchun

bo`lsa, u holda va qatorlar bir vaqtda yoki yaqinlashuvchi bo`ladi yoki uzoqlashuvchi bo`ladi.
2-misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
◄ Berilgan qator bilan birga uzoqlashuvchiligi ma`lum bo`lgan garmonik qatorni qaraymiz. Bu qatorlarnig umumiy hadlari uchun

bo`ladi. Demak, berilgan qator uzoqlashuvchi. ►
4-teorema. Aytaylik, musbat hadli va qator-lar uchun

bo`lsin
U holda:
1) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi,
2) qator uzoqlashuvchi bo`lsa, qator ham uzoqlashuvchi bo`ladi.
◄ Faraz qilaylik, qatorlar uchun

tengsizliklar bajarilsin. Bu shartdan quyidagi munosabat kelib chiqadi:
.
Keyingi tengsizlikdan topamiz:

Aytaylik, qator yaqinlashuvchi bo`lsin. Ravshanki, qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi. 2-teoremadan foydala-nib, qatorning yaqinlashuvchi bo`lishini topamiz. Xuddi shunga o`xshash qatorning uzoqlashuvchi bo`lishidan qatorning uzoqlashuvchi bo`lishi kelib chiqishi ko`rsa-tiladi. ►
YUqorida keltirilgan teorema va misollardan ko`rina-diki, musbat hadli qatorning yaqinlashuvchiligi yoki uzoqla-shuvchiligini bilgan holda, hadlari bu qator hadlari bilan ma`lum munosabatda bo`lgan (taqqoslangan) ikkinchi musbat hadli qatorning yaqinlashuvchiligi yoki uzoqlashuvchiligini aniqlash mumkin bo`lar ekan.