Xosmas integrallarning umumiy holi

50-ma`ruza
Musbat hadli qatorlar


1⁰. Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashuv-chiligi.
Faraz qilaylik,
(1)
qator berilgan bo`lsin.
Agar bu qatorda bo`lsa, (1) musbat hadli qator deyiladi.
Musbat hadli qatorlarda, ularning qismiy yig`indi-laridan iborat ketma-ketlik o`suvchi ketma-ketlik bo`ladi. Haqiqatan ham,
.
1-teorema. Musbat hadli

qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi uchun

ketma-ketlikning yuqoridan chegaralangan bo`lishi zarur va etarli.
◄ Zarurligi. (1) qator yaqinlashuvchi bo`lsin. Unda da ketma-ketlik chekli limitga ega bo`ladi. YAqinlashuvchi ketma-ketlikning xossasiga ko`ra chegaralangan, jumladan yuqoridan chegaralangan bo`ladi.
Etarliligi. ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo`lsin. Unda monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremaga ko`ra ketma-ketlik da chekli limitga ega bo`ladi. Demak, (1) qator yaqinlashuvchi. ►
Eslatma. Agar

musbat hadli qatorda, uning qismiy yig`indilaridan iborat ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan bo`lsa, u holda qator uzoqlashuvchi bo`ladi.


2⁰.Musbat hadli qatorlarda taqqoslash teoremalari.
Ikkita

musbat hadli qatorlar berilgan bo`lsin.
2-teorema. Faraz qilaylik va qatorlar uchun da
(2)
tengsizlik bajarilsin.
U holda:
1) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, qator ham yaqinla-shuvchi bo`ladi,
2) qator uzoqlashuvchi bo`lsa, qator ham uzoqla-shuvchi bo`ladi.
◄ va qatorlarning qismiy yig`indilari mos ravishda
,
bo`lsin. U holda (2) munosabatga ko`ra
(3)
bo`ladi.
Aytaylik, qator yaqinlashuvchi bo`lsin. Unda 1-teoremaga binoan ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo`ladi. Ayni paytda, (3) munosabatni e`tiborga olib, ketma-ketlikning ham yuqoridan chegaralangan bo`lishini topamiz. YAna 1-teoremaga ko`ra qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
Aytaylik, qator uzoqlashuvchi bo`lsin. Unda (3) muno-sabat va eslatmadan foydalanib, qatorning uzoqlashuv-chi bo`lishini topamiz. ►