Xosmas integrallarning umumiy holi

Dalamber alomati. Faraz qilaylik ,

qator hadlari uchun

limit mavjud bo`lsin. U holda:
1) bo`lganda, qator absolyut yaqinlashuvchi bo`ladi,
2) bo`lganda, qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
Koshi alomati. Faraz qilaylik,

qator hadlari uchun

limit mavjud bo`lsin. U holda:
1) bo`lganda, qator absolyut yaqinlashuvchi bo`ladi.
2) bo`lganda, qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
2<sup>0</sup>. Absolyut yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari.
Absolyut yaqinlashuvchi qatorlarning xossalarini keltiramiz.
1) Agar qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda bu qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
◄ Bu xossaning isboti 1-teoremadan kelib chiqadi.►
2) Agar
(1)
qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lib, sonlar ketma-ketligi chegaralangan bo`lsa, u holda
(5)
qator absolyut yaqinlashuvchi bo`ladi.
◄ SHartga ko`ra sonlar ketma-ketligi chegaralangan.Demak,
, da (6)
bo`ladi.
(1) qator absolyut yaqinlashuvchi. Unda Koshi teoremasiga ko`ra son olinganda ham ga ko`ra shunday topiladiki, va bo`lganda
(7)
bo`ladi.
(6) va (7) munosabatlardan foydalanib topamiz:

YAna Koshi teoremasidan foydalanib, qatorning absolyut yaqinlashuvchi ekanini topamiz. ►
3) Faraz qilaylik,
(1)
qator hadlarining o`rinlarini almashtirish natijasida ushbu
(8)
qator hosil qilingan bo`lsin.
Ravshanki, (8) qatorning har bir hadi (1) qatorning tayin bir hadining aynan o`zidir, ya`ni bo`ladi.
Agar (1) qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lib,uning yig`indisi ga teng bo`lsa, u holda bu qator hadlarining o`rinlarini ixtiyoriy ravishda almashtirishdan hosil bo`lgan (8) qator absolyut yaqinlashuvchi va uning yig`indisi ham ga teng bo`ladi.
◄ Aytaylik, (1) qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi ga teng bo`lsin.
(8) qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan qatorning qismiy yig`indisini bilan belgilaylik:

Agar deyilsa, unda va bo`lganda

bo`ladi.
(1) qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lgani sababli uning qismiy yig`indilari ketma-ketligi yuqoridan chegaralan-gandir. Binobarin, yig`indi ham yuqoridan chegaralangan bo`ladi. Unda musbat hadli qatorning yaqinlashuvchiligi haqidagi teoremaga ko`ra qator va ayni paytda qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi. Demak, qator absolyut yaqinlashuvchi. Uning yig`indisini deylik.
Endi berilgan qator hadlarining o`rinlarini ixtiyoriy ravishda almashtirishdan hosil bo`lgan

qator yig`indisini ga teng ekanini isbotlaymiz. Buning uchun ga ko`ra shunday topilib, da
(9)
bo`lishini ko`rsatish etarli bo`ladi.
Ixtiyoriy musbat sonni tayinlab olamiz. Modomiki, qator absolyut yaqinlashuvchi ekan, unda Koshi teorema-siga binoan olingan songa ko`ra shunday nomer topiladiki,
(10)
shuningdek, qatorning yaqinlashish ta`rifiga ko`ra
(11)
bo`ladi.
YUqoridagi natural son ni shunday katta qilib olamizki, qatorning dan katta bo`lgan nomerli ixtiyoriy qismiy yig`indisi
da
qatorning barcha dastlabki ta hadi qatnashsin.
Ravshanki,
.
Keyingi munosabatdan va (11) tengsizlikni e`tiborga olib topamiz.
(12)
Ma`lumki, bo`lganda qatorda qatorning barcha dastlabki ta hadi qatnashadi. Binobarin,

ayirma qatorning, har bir hadining nomeri dan katta bo`lgan ta hadining yig`indisidan iborat.
Endi natural sonni shunday katta qilib olamizki, bunda son yuqorida aytilgan barcha ta hadlarning nomerlaridan katta bo`lsin.

Unda
(13)

bo`ladi.
(12), (13) va (10) munosabatlardan foydalanib, (9) tengsizlikning, ya`ni

tengsizlikning bajarilishini topamiz. ►